2023-2024学年河南省高二年级上册期末数学（理）模拟试题（含解析）

2023-2024学年河南省高二上学期期末数学（理）模拟试题

一、单选题

1.已知α,6∈R,且”>6,则下列不等式恒成立的是（）

A.-<τB.InCZ>InZ?C.a2>b2D.a-c>b-c

ab

【正确答案】D

【分析】对于选项A、C,利用特殊值即可判断；对于选项B,由对数函数的定义域即可判断，对于

选项D,由不等式的可加性即可判断.

【详解】对于A,令α=l,⅛=-2,则满足4>b,但故A错误；

ab

对于B,若使lnα>lnb,则需满足a>b>0,但题中α,b∈R,故B错误；

对于C,同样令。=1,b=-2,则满足α>>,但"=lv∕=4,故C错误；

对于D,己知由不等式的可加性可得。-。>力-c,故D正确.

故选：D.

2.等比数列｛α,,｝为递减数列，若生6=6,/+牝=5,则g=（）

aI

321

A.-B.4C.-D.6

236

【正确答案】A

【分析】由〃。26=。3%=6结合％+%=5,可得〃3，%为方程f-5x+6=0的两个根，又〃“>〃向，

解得〃2，。3,再结合等比数列通项公式即可得出.

【详解】由｛%｝为等比数列，得生％=。3。5=6,又〃3+%=5,

・・・巴，%为方程Y一5χ+6=O的两个根，

解得%=2,4=3或%=3,%=2,

由｛¾｝为递减数列得%>⅛+ι,.•・%=3,%=2,

・_05_2

..q---τ,

a33

la.13

则-=T=J,

a1q2

故选：A.

3.下述四个结论：

①命题“若α=0,则而=0”的否命题是“若α=0,则必中0"；

②/-5x-6=0是X=T的必要而不充分条件；

③若命题"i”与命题"P或q''都是真命题，则命题q一定是真命题；

④命题”孙>《R,In(J⅞+1)2f”的否定是“VXeR,ln(x+l)≤x,'.

其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.②③C.④D.②③④

【正确答案】B

【分析】根据否命题，即可判断①；解出V-5x-6=0的解，即可判断②；根据逻辑联结词，即可

判断③；根据存在量词命题的否定，即可判断④.

【详解】对于①，根据否命题的概念，可知“若α=0,则而=0”的否命题是“若“≠0,则必片0”,

故①错误；

对于②，解f_5x-6=0可得，户-1或x=6,所以V-5x-6=0是尸-1的必要而不充分条件，故

②正确：

对于③，因为土为真命题，所以命题P为假命题；

因为命题“P或/是真命题，命题P为假命题，所以命题q为真命题.

故③正确；

对于④，根据存在量词命题的否定可知，“3⅞eR,ln(xf)+l)≥%”的否定是“VreR,ln(x+l)<x”,

故④错误.

综上所述，②③正确.

故选：B.

4.如图，在平行六面体ABeD-A与GA中，BD1=xAB+yAD+zΛ41,则为丫"的值为().

A.—1,191B.1,-1,1

C.1,1,—1D.-1,—1,—ɪ

【正确答案】A

【分析】利用向量线性运算可表示出BR,由此可确定χ,y,z的值.

【详解】BD∖=BB∖+BR,XBB1=A4,>B1D1=BD=AD-AB,

.∖BDλ=AAf+AD-AB=xAB+yAD+zAAi,：.x--\,y=l,z=l.

故选：A.

[X—3y+1≤O

5.若实数X,y满足约束条件.。、八，则z=x+2y的取值范围是()

[x+y-3≥0

A.(-∞,4]B.[4,+∞)C.[5,+∞)D.(-∞,+∞)

【正确答案】B

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最

小值从而确定目标函数的取值范围即可.

其中Z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,

Z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

fx-3y+l=O,、

联立直线方程：-,可得点A的坐标为：A2,1,

[x+y-3=n0

据此可知目标函数的最小值为：ZlnM=2+2x1=4

且目标函数没有最大值.

故目标函数的取值范围是[4,M).

故选：B.

求线性目标函数Z=Or+勿3厚0)的最值，当6>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，Z值最

大，在y轴截距最小时，Z值最小；当bVO时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，Z值最小，在

y轴上截距最小时，z值最大.

6.若4、/7、C构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是()

A.20>b+c^a+b+cB.b-2c›b+c^3c

C.a›b-c`b+cD.b+c>b-c`2b

【正确答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为α+"c=R+c)+gχ2α,则2"、b+c、α+6+c共面，A不满足条件;

对于B选项，因为3c=,+c)-伍-2c),贝心_2c、b+c、3c共面，B不满足条件；

对于C选项，假设〃、b-c、b+c共面，则存在力、4SR,

↑^^b+c=λa+μ{b-cj=λa+μb-μcf

A=O

因为〃、b、C构成空间的一组基底，贝人〃=1,该方程组无解，

-〃=1

假设不成立，故a、b-c、b+c不共面，

所以，a、b-c、b+c可以作为空间向量的一组基底，C满足条件；

对于D选项，因为2b=(θ+c)+,-c),则〃+C、b-c、2b共面，D不满足条件.

故选：C.

7.三国(220年-280年)是上承东汉下启西晋的一段历史时期、分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权.

元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗义》.小说中记载孙刘

联盟共同抗曹，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，出行以骑马为主.假如一匹马每个时辰能跑

30公里，每天都跑5个时辰，正好十天能从蜀国都城到达吴国都城.吴国都城位于蜀国都城正东，魏

国都城在蜀国都城的北偏东30,相距约IOOo公里，若魏国从都城派一谋臣骑马到吴国都城向吴王离

间孙刘联盟，则最快大约需要几天能到达吴国都城(√7=2.65)?()

A.七B.八C.九D.十

【正确答案】C

【分析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为A、B、C,可得出AB=IOOO公里，8C=1500公里,

ZABC=60,利用余弦定理求出4C,再除以150可得结果.

【详解】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为A、B、C,

2（魏）

由题意可知，AS=IOOO公里，8C=50*3xl0=1500公里,,ZABC=60,

22

由余弦定理可得AC=y∣AB2+BC2-2AB-BCcosZABC='UOOO+I500-2XIOOO×I5OO×^-

=500√7≈500X2.65=1325公里，

-1⅛32⅛5≈8.8（天），故谋臣大约需要9天才能到达目的地.

30x5

故选：C.

22

8.设在为椭圆C:二+A=l（α>8>0）的两个焦点，点P在椭圆C上,若IP耳∣,忸段,|P段成等差

Crb

数列，则椭圆C的离心率为（）

123

A.1B.—C.-D.■

23,4

【正确答案】B

由等差数列及椭圆的性质可得4c=2«,再由离心率公式即可得解.

【详解】设忻闾=2c∙,c∙>0,

因为IP耳I耳闻Jp闾成等差数列,

所以2|耳片=IP制+归闾即4c=2”，

c1

所以椭圆C的离心率e=—=；.

a2

故选：B.

9.己知关于）的一元二次不等式改2+版+£^0的解集为[2,3],则关于X的不等式＜√+bx+αWO的解

集为（）

A.ɪ,ɪB.[2,3]

C.[-2,-3]D.-ɪ,-ɪ

I.23.

【正确答案】A

【分析】由一元二次不等式解集可得。>0、b=-5a,c=6a,再代入c√+fer+α≤O求解集即可.

bc

【详解】由题设一2=5,-=6Ka>0,则。=-5α,c=6o,

aa

所以CX2+bχ+α=6θχ2-50r+α≤0，

即6χ2—5x+1=(3x—l)(2x—1)≤0>可得—≤Λ≤—.

故选：A

10.如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABC。-AAGA中，AB=AD=AAt=∖,

NBAD=ZBAA1=ZDAAt=60,,则AG的长为()

【正确答案】D

【分析】根据向量数量积的应用，由AG=A3+3C+CG=A3+Ar>+A4t以及模的计算公式即可求

出.

【详解】因为AG=AB+BC+CC∣=AB+AQ+",所以

AC「二(46+AO+Λ41)=AB-+AD^+AΛ1>2AB∙AD+2ΛB∙Λ41+2AD∙A41

=1÷1+1÷2×1×1×cos60÷2×1×1×cos60+2×1×Ixcos60=6.

故AG的长为布.

故选：D.

本题主要考查利用向量的数量积计算线段的长度，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.

11.已知数列他”)满足3q+3%+33%++3%="("eN*),4=log.,4,%=厂)一，数列｛%｝的

前〃项和为7；,则工ZZ弓I

【正确答案】D

【分析】根据题意，由条件可求得。，，从而得到口，C,,,再由裂项相消法可得

从而得到结果.

【详解】因为3q+3%+334++3Z=M〃eN*),

23",l

所以301+302+303++3^απ-l=∕J-1,(∕I≥2),

,

两式相减可得：yan=∖,即为』，n≥2,

又当〃=1时，有34∣=Inq=；也满足上式，

所以为=5.

则叱晦4=盛停上"CL木=(_明；〃+1)广

nn+∖

++

nn+∖〃+1〃+1

123

所以TJZFT=-×-×-×

202l2022—2022

故选:D

22

12.曲线「：(^--^-l)∙√√+y2-9=0,要使直线V=以机cR)与曲线「有四个不同的交点，则

实数m的取值范围是()

B.(-3,3)

C.(-3-∣)(1,3)

D.(-3,-∣)(一∙∣,∣∙)l∣(∣∙,3)

3333

【正确答案】C

【分析】根据曲线「的方程，得到曲线表示是一个圆与双曲线的一部分，画出曲线的图象，结合图

象，即可求解.

【详解】由曲线「(―-^-l)√√+∕-9=0,可知x,ye[-3,3],

45

如图所示，曲线表示是一个圆与双曲线的一部分,

ɛχ2+y2-9=O解得y=±g,

由＜,，

5√-4∕=20

要使直线y=皿，〃€夫)与曲线r有四个不同的交点,

结合图象，可得，"∈(-3,-g)∣g,3)∙

故选：C.

二、填空题

13.正实数X、y满足2x+3y=l,则孙的最大值为

【正确答案】ɪ

由基本不等式求最值.

【详解】∙.∙χ>O,y>O,

1=2x+3y≥2y∣6xy,xy<-^~,当且仅当2x=3y,即x==!时等号成立.

2446

故

本题考查用基本不等式求最值，解题时需掌握基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等.

14.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,8=45。，若三角形有两解，则人的取

值范围是.

【正确答案】(四,2)

【分析】由正弦定理可得SinA=竺?0,由一ABC有两解，可得SinA=也<1,且2=">"从而

bb

即可求解.

【详解】由正弦定理可得，=工，即粤

Tsin4=O又6=45°M=2,

sinAsinBb

所以.2X2

ΛT√2,

bb

因为一√WC有两解，所以sin4=——<1且2=α>b,

b

所以√Ivbv2,

所以人的取值范围为(√Σ,2),

故答案为∙(√∑,2)

15.已知数列｛%｝的通项公式为例=(-l)"(2"-l),则数列｛%｝的前2021项和等于.

【正确答案】-2021

【分析】根据数列的通项公式，利用并项求和的方法可得答案

【详解】由题意数列｛q｝的通项公式为q=(-1)"(2n-l),

则｛“〃｝的前2021项和为

-1+3-5+7-+4039-4041=-1+(3-5)+(7-9)++(4039-4041)=-l-2×1010=-2021,

故-2021

16.已知双曲线=l(α>0,"0)的左、右焦点分别为耳,巴，若双曲线的左支上存在一点P,

使得P心与双曲线的一条渐近线垂直于点”，且IPal=I牲I,则此双曲线的离心率为.

【正确答案】√5

【分析】设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得尸2到渐近线的距离，可得仍周=2"

∖PF]=2b-2a,由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得，=2,再由离心率公

式可得所求值.

->2

【详解】设双曲线C：与一与=14>0b>o的左、右焦点分别为：

a-b^

耳(-c,0),玛(G0),

一条渐近线方程为云-砂=0,

b

可得F2到渐近线的距离为IEM=-f==T=IPM=I网,

yjb~+a

^∖PF^∖=2b,∖PFl∖=2b-2a,

∖HF.∖b

在直角三角形。鸟”中，COSNmo=局=一,

I。KlC

在，PF/中，可得CoSNPKK=叫I嚼/

r2∣r^2∣

4c2+4⅛2-(2⅛-2a)2b

2-2c-2b~'c'

化为2=2,即有e=£=Jl+J=亚.

aa∖a2

故答案为.石

三、解答题

17.已知命题。:对于任意XeR,不等式41-4(m-2)x+l>0恒成立.命题9：实数加满足的方程

22

--——+——=l(α>0)表示双曲线.

m-2am-a

(1)当α=2时，若“。或4”为真，求实数〃?的取值范围.

(2)若F是F的充分不必要条件，求。的取值范围.

「3^

【正确答案】(1)(1,4)；(2)1,-.

(1)分别求出当命题?、q为真命题时对应的实数〃?的取值范围，由题意可知。真或4真，由此可

得出实数”?的取值范围；

(2)根据f是F的充分不必要条件可得出关于实数α的不等式组，进而可解得实数”的取值范围.

【详解】(1)若命题。为真命题，则A=16(m-2)2-16<0,解得1<"Z<3.

当α=2时，若命题4为真命题，则方程上一+上=1表示双曲线，则(W-4)("L2)<0,解得

m-4m—2

2<AW<4.

，或4为真，则〃真或9真，所以，l<∕%v3或2<m<4,所以，1<m<4.

因此，实数加的取值范围是(1,4)；

(2)若命题4为真命题，贝Ij(利―2a)，％—α)V0,6/>0,解得α<πι<2α.

-∏p:加≤1或加≥3,"%≤。或m≥2。，

因为T7是F的充分不必要条件，贝∣j{m∣m≤l或〃2之3}{M%<.或〃z≥2α},

Ω≥l

3

可得2α≤3,解得l≤α≤二.

α>0

当。=1时,则有{〃伽41或∕M≥3}{m∣m41或m≥2},合乎题意；

当“=■!时，则有{同"7≤1或m≥3}(∕","≤'或m≥3},合乎题意.

3

综上所述，实数。的取值范围为I,].

本题考查利用充分条件和必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：

(1)若。是9的必要不充分条件，则。对应集合是P对应集合的真子集；

(2)若P是4的充分不必要条件，则P对应集合是9对应集合的真子集；

(3)若。是4的充分必要条件，则P对应集合与4对应集合相等；

(4)若。是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与P对应集合互不包含.

18.如图所示，在4A3C中，M是4C的中点，V3αcosC=csinA>AC=4.

(2)若4ABC面积为3√L求BM.

【正确答案】(I)AB=6五-2几

Q)BM=不

【分析】(1)运用正弦定理边化角求得角C,由SinNA3C=sin(A+O及正弦定理可求得AB的值.

(2)运用三角形面积公式求得BC的值，在ABCM中由余弦定理可求得的值.

【详解】(1)因为GacosC=CsinA

所以由正弦定理得石SinAcosC=SinCsinA,

又因为SinA≠0,

所以石cosC=sinC,即tanC=百，

又因为Ce(O,π),

所以C=g,

又因为ZA3C=π—(A+C),

√2f√311√6+√2

所以sinNABC=sin(Λ+C)=sinAcosC+sinCcosA=--XF———-----------

2【22J4

ACAB

在△ABC中，由正弦定理得

sinZABCSinNC'

√3

ACsinZC'X

2

所以AB==6√2-2√6.

sinZABCʌ/ð+x/2

4

(2)因为SAsc=gAC∙BC∙sinC=3括，AC=4,C=∣,

所以BC=3,

在ABCM中，由余弦定理得：BM2=BC2+CM2-2BC-CMcosC,

又因为M为AC中点，

所以CM=gAC=2,

2

所以8"=9+4-2x3x2x；=7,解得BM=5.

19.已知数列｛《,｝的前〃项和为S,,向量a=(S,,,2),》=(1』—2")满足条件“‘田

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设g=",求数列｛q,｝的前〃项和

〃+2

0

【正确答案】(1)α,,=2;(2)7；,=2-ɪ(»∈Nt).

【分析】(1)利用向量垂直的坐标表示可得S,,=2向-2,再由S“与%的关系即可求解.

(2)利用错位相减法即可求解.

n+

【详解】(1)'：aLb,ΛSn=2'-2,

当"≥2时，al,=S,,-S,l.l=T,

当“=］时，α∣=S∣=2满足上式，/.an=2"

⑵c-=F

„12/7-1n1

北=亍■+手■+…+*T+，7，两边同乘5,

ZP1-ɪ2n-∖n

得1/=中+声+…+下+而，

1

In〃+2

两式相减得：Lτ=l1...±-JL=1-____,

2"2+22+2"2〃”ɔ尹2n+l

1------

2

4=2-审(〃必).

20.如图，在直三棱柱ABC-A8C中,AClBC,且AC=BC=CG=2,M是AB∣,AB的交点,

N是BG的中点.

⑴求证：MV_L平面4BC；

⑵求二面角4-AB-C的大小.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)60

【分析】(1)根据已知条件以C为原点，分别以CG,C8,C4为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利

用空间向量法证明MNLA,8,MNLCB,结合线面垂直的判定定理证得；

(2)利用空间向量法求得平面的一个法向量，根据(1)的结论得到平面A∣8C的一个法向量,

利用空间向量的夹角公式计算结果.

【详解】(1)证明：因为在直三棱柱ABC-A4G中，AClBC,所以CC∣,C8,C4两两垂直，

以C为原点，分别以CC∣,C8,。为X,)，,Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

由AC=BC=CG=2,知C(0,0,0),A(ZO,2),B1(2,2,0),B(0,2,0),C1(2,0,0),

是AB∣,的交点，.W为A/的中点，又=N是BC的中点.

，μ,%的坐标为加(1』,1),N(2,l,0),

.∙.AB=(-2,2,-2),CQ=(0,2,0),MN=(l,0,-l),

MNA,β=-2+0+2=0,MNeB=O+0+0=0,

：.MNl.A∖B,MNLCB,

又；AIBCC8=8,Λ1B,CBu平面ABC.

.∙.M/V_L平面A8C；

(2)设平面AAB的一个法向量为机=(X,y,z),

A(0,0,2),Λt(2,0,2),B(0,2,0),.∙.Λ4l=(2,0,0),βA=(0,-2,2),

,令y=l,则m=(0,l,l),

m∙BA=-2y+2z=0

由(1)得平面ABC的一个法向量为〃=MN=(1

/∖m`n-11

,cos(加，n)=I~n—T=-J=——-==——

∙∙∖'∣∕n∣∣n∣√2×√2i2'

因为二面角A-A18-C的平面角是一个锐角，

所以二面角A-A8-C的大小为6()，

21.已知抛物线V=2px(p>0)上一点尸的横坐标为4,且P到焦点尸的距离为5,直线/交抛物线

于A,B两点(位于对称轴异侧)，。为坐标原点，且OAOB=2.

4

(1)求抛物线的方程；

(2)求证：直线/必过定点.

【正确答案】(I)V=4x

(2)证明见解析

【分析】(1)由题及抛物线的定义知点P到抛物线准线的距离为5可得4+∙^=5,求出P可得答案;

(2)设直线/的方程为X=便X+/,与抛物线方程联立，由韦达定理代入QA∙Q5=g的坐标运算求出

4

t,可得可得答案.

【详解】(1)由题及抛物线的定义知点尸到抛物线准线的距离为5,抛物线的准线方程为X=,

,4+日=5,解得p=2,故抛物线的方程为丁=4x；

(2)易知直线/的斜率不为0,

设直线/的方程为x=my+f,A1手，yj，■，必)，且)'M<°,

联立［T"?+’,消去X可得丁-4*4r=0,

［y=4X

则A=16>+16r>0,且y∣+%=4机，yly2=-4/,

由OA∙OB=2,得l21∆Z+yy=2,

416,ʌ4

9

解得NM=T8或y%=2(舍去)，；・-4/=-18,可得/=耳，

故直线/的方程为X=，孙+1,.∙.直线I必过定点(|,0).

2。

22.设椭圆］+马=1(。>/7>0)过点(2(0,1),右焦点为F(√Σ,0),设直线/：丫=丘+1(%>0)分别交X

a~b^

轴、y轴于C、。两点，且与椭圆C交于M、N两点.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若CN=MD，求%值，并求出弦长阳川；

(3)若线段MN的垂直平分线与X轴相交于点PM,求实数m的取值范围.

【正确答案】⑴二+汇=1

42

(2)2=-3

2

(3)咛,。

\7

【分析】(1)利用椭圆过点Q以及右焦点的坐标列方程求得椭圆方程；

(2)先求出C,。点坐标，直线/