2022-2023学年甘肃省天水市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省天水市高一（上）期末数学试卷

（含解析）

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,

写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第1卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的

一项）

1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},4=[2,3,4,5},B={2,3,6,7）,则BncUa=（）

A.[1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.[1,6,7}

2.设p：X>√2,q：X2>2,则P是q成立的（）

A,充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D,既不充分也不必要条件

3.已知力（1,3）,B（4,-1）,则与向量而共线的单位向量为（）

A.e|）或（—烷）B.⅛->（-∣φ

C∙（J-∣）或（品）D.（-|,Y）或（杭）

4.已知正实数α,b满足α+*=l,则;+b的最小值为（）

A.4B.6C.9D.10

5.函数/④=k>gJ2-吗的单调递增区间是()

A.(-∞,2)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(0,+∞)

6.已知兀<a<2π,sina+cosa=则tcma等于()

A.一|B.-,或C.,或gDI

7.已知函数f(%)=%∣%∣,当％6[5+2]时，恒有/(%+21)>4/(%)成立，则实数t

的取值范围是()

A.(2,+8)B.[2,+8)C.(-8,2)D.(-8,2]

8.1,b>1"是“logQb+logμι≥2"的条件()

A,充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

9.定义集合的商集运算为。={%∣%=”即∈4,九∈B},己知集合S={2,4,6},T=

DTl

{x∣x=∣-l,kES},则集合WUr中的元素个数为()

A.5B.6C.7D.8

10.设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=lnx+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)

的零点，贝∣J()

A.g(α)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)

C.0<5(a)<∕(∂)D.f(b)<g(a)<0

11.己知函数f(x)=()“一知g2工，实数a、b、C满足f(a)∕(b)∕(c)<0(0<a<b<c),

若实数g是方程/(x)=0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是()

A.X0<ɑB.X0>bC.X0<cD.x0>c

12.函数f(x)=cos?X-V5sinxcosx+2s讥2χ―：的最小正周期为()

A.B.πC.2πD.4τr

第∏卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

7

13.计算：Igl4-21g^+lg7-lgl8=

14.已知函数/(X)=辟■>0'则∕0°g32)=.

15.已知函数，则/(3)的值为.

16.若定义域为[0,1]的函数/(x)同时满足以下三条：

(i)对任意的X∈[0,1]总有((X)>0(√)/(1)=1

，，A

(iii)若Xi≥0,X2≥0,x1+x2≤l则有((Xl+x2)≥f(,×ι)+f(w)就称F(X)为函

数”，下列定义在[0,1]的函数中为“4函数”的有

①/(X)=X；②/(%)=2'-1③/(x)=log^x+l)(4)∕(x)=Iog2(x+1)

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤)

17.(本小题10.0分)

已知集合A=(X∖2X2—5x—12≥0],B=[y∖y=3*+l(x>0)}.

(1)求集合AnB,(CM)UBi

(2)若集合C={x∖m-2≤x≤2m}且(CR4)OC=C,求m的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知函数/(X)=4sin(3x冶)先将/⑺的图象向左平移居个单位长度后，再将所得图

象上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.

(I)当X6[年,用时，求函数f(x)的值域;

(U)求函数g(x)在[0,2司上的单调递增区间.

19.(本小题12.0分)

已知函数∕^(χ)=Sinxcosx—V3sin2x+—•

(1)求函数f(%)的单调增区间；

(2)若/(X0)=,Λ⅛∈[,],求COS2%o的值.

20.(本小题12.0分)

⑴已知角α的终边经过点P(X,6),且CoSa=-卷，求SirIa和tɑnɑ的值.

(2)已知cosa=ɪ,cos(a—/?)=77»且OVSVa求角夕.

714N

21.(本小题12.0分)

已知函数，m∈R.

(1)判断函数/(%)在(-8,0)上的单调性，并证明你的结论；

(2)是否存在τn,使得f(X)为奇函数？若存在，求出租的值；若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=磊竟为奇函数，其中α为实数.

(I)求实数α的值;

(2)若α>0时，不等式/(/(x))+f(t∙2")<O在％6[-1,1]上恒成立，求实数t的取

值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础题.

先求出品力，然后再求B∩C(M即可求解.

【解答】

解：∙∙∙U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},

ʌCUA={1,6,7},

则B∩QuA={6,7},

故选C.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.

根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】

解：q：X2>2,解得X>√Σ或X<-√Σ;

若P：久>√Σ成立，则q：d>2成立，

反之，若q：%2>2成立，则p：χ>√5未必成立；

即P是q成立的充分不必要条件，

故选：B.

3.【答案】B

【解析】解：荏=(3,-4)

设与荏共线的单位向量是(x,y),

'3y=-4%

则有

X24-y2=1,

3x=-3

X=55

解得:4或4»

y=-5y5

故选：B.

利用向量的坐标公式求出向量的坐标；利用向量共线的充要条件及单位向量的定义列出方程

组，求出值.

本题考查向量的坐标公式、向量共线的充要条件、单位向量的定义.

4.【答案】c

【解析】解：∙∙∙α>0,b>0,a+l=l,

ʌɪ+ð——(a+2)(；+b)=5+ab+ʌ≥5+2Iab∙ɪ=9>

ab=2，

当且仅当时,

α+2=l

即（α=，时取"=”成立.

w=6

故选：C.

直接利用关系式的恒等变换和均值不等式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：均值不等式成立的条件的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考察

学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

5.【答案】A

【解析】解：2-x>0,得到X<2,且1=2-尤在（-8,2）上递减，

而y=1og$在（O,+8）上递减，

由复合函数单调性同增异减法则，得到/（"）=,。9严"乃在（一8,2）上递增,

故选：A.

求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可.

本题考查复合函数的单调性的判断与性质的应用，是基本知识的考查.

6.【答案】A

【解析】解：Vyr<α<2τr,sina÷cosa=

・・・平方可得1+Isinacosa=—,即Sinacosa=-—<0,

:∙sina<0,cosa>0,

Vsin2α÷cos2a=1,可得：(ɪ—cosa)2+cos2a=1,解得：cosa=或一看(舍去)，

.143-z43

・・口r得a：

•sπια==5-=5=—>5J4tana=-

故选：4

由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.

7.【答案】

【解析】解：•.・函数/(x)=XIXl=∖χ2'x^°C，

∙∙∙/(X)在R上是单调递增函数，且满足4∕(x)=/(2x),

当X∈［t,t+2］时，恒有f(x+2t)>4/Q)成立，

•••x+2t>2x在［t,t+2］恒成立，即t>在［t,t+2］恒成立，

.∙.t>∣(t+2),.∙.t>2,即实数t的取值范围是(2,+8).

故选：A.

由题意可得在R上是单调递增函数,且满足4f(x)=f(2x),再根据不等式/(x+2t)>4∕(x)

在［t,t+2］恒成立，可得x+2t≥2x在匕t+2］恒成立，即可得出答案.

本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：当α>l,匕>1时IOgab>0,loghα>0,

故logQb+logbα=logab+嬴≥2ag.氤=2,

当且仅当k¾1b=±1,即α=b或a=：时“=”成立，是充分条件,

取a=；,Z?=ɪ,显然满足IOgab+1Ogba≥2,

ZIo

故由IOgab+log/jQ≥2,推不出Q>l,b>1,

故不是必要条件，

故"α>1,b>1"是"logɑb+logftα≥2”的充分不必要条件，

故选：A.

根据充分必要条件的定义以及对数的运算性质判断即可.

本题考查了充分必要条件，考查对数的运算性质，考查转化思想，是一道基础题.

9【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了集合的列举法，商集的定义，元素与集合的关系，并集的定义及运算，考查了计

算能力，属于基础题.

可以求出T={0,1,2},然后根据商集的定义即可得出T={1,2,3,4,6},然后进行并集的运算

即可求出集合5Ur中的元素个数.

【解答】

解：S={2,4,6},T={0,1,2},

吟={1,2,3,4,6},

*UT={0,1,2,3,4,6},

•••集合・UT中的元素个数为6.

故选：B.

10.【答案】A

【解析】解:函数/(x)=ex+

2x—4,g(x)=Inx+2X2—5,

・••/(%)与g(x)在各自的定义域

上为增函数，

•・•f(l)=e-2>0,g(l)=

0+2—5<0,

二若实数a,b分别是f(x),g(%)

的零点，

.∙.α<1,6>1,

∙∙∙g(α)<g(l)<O,/(⅛)>∕(1)>O,

故选：A.

根据函数的解析式判断单调性，运用/(1)=e-2>0,g(l)=0+2-5<0,得出α<l,

b>1,再运用单调性得出g(α)<g(l)<0,f(b)>f(l)>O,即可选择答案.

本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可.

IL【答案】D

【解析】解：∙∙∙y=(尸是R上的减函数，

y=log2x是(0,+8)上的增函数；

x

∙∙∙/(x)=()-log2x是(0,+8)上的减函数；

又∙∙"(α)f(b)f(c)<0,且O<α<b<c;

ʌ/(a)<0,f(b)<0,/(c)<0；

或f(a)>O,f(b)>O,/(c)<0；

故f(c)</(&)=0；

故c>Λ⅛;

故Xo>C不可能成立，

故选：D.

可判断/(x)=(尸-log2%是(0,+8)上的减函数，从而可得f(c)<O,从而可得f(c)<

/Qo)=0；从而解得.

本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的定义应用，属于基础题.

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题.

利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论.

【解答】

函数/(x)=cos2%-WSinXCOSX+2sin2x-ɪ

V31√31—cos2x1

=——TZ-Sinlx+sin7zx+ɪ=——^sin2x4-------=--------Fɔ-

乙乙乙乙乙

=1—sin(2%+ɪ6),

最小正周期为与=TT,

故选：B.

13.【答案】O

【解析】

【解答】

Igl4-2lg^+lg7-IglQ

14×9×7

=lgl4-IgW+lg9+lg7-lgl8=⅛(-4θχɪɛ-)

=Igl=0.

故答案为：0.

【分析】

利用对数的性质和运算法则求解.

本题考查对数式的计算，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的灵活

运用.

14.【答案W

【解析】解：根据题意，函数/(X)=辟W>0>而晦2>0,

则，0嗝2)=∕(~log32)=/(Iog3ɪ)=3"鬲=

故答案为：ɪ.

1

根据题意，由函数的解析式可得/(log32)=/(-log32)=/ɑogɜɪ)=3*,结合对数的运

算性质计算可得答案.

本题考查函数的求值，涉及对数的计算，属于基础题.

15.【答案】1

【解析】解：•••函数，

.∙√(3)=/(2)=/(l)=∕(0)==l,

故答案为：1.

由题意，利用函数的解析式，求得函数的值.

本题主要考查根据函数的解析式，求函数的值，属于基础题.

16.【答案】①②

【解析】解：①f(x)=X在［0,1］满足条件(J)∕(%)≈x>0i也满足条件(√)/(1)=L

xx

若Xl≥0,X2≥0>Xi+X2≤1>则FQl+%2)—f(.l')-f(.2)=Xl+%2—Xl-X2=0≥0

成立，即满足条件(iii),故/(X)为“月函数”，

②f(x)=2,-1在［0,1］满足条件(J)/(X)≥0；也满足条件(√)./(1)=1.

xι+x2χ

若Xi≥0,X2≥0,x1+X2≤1'则/(ɪi+X2)-r(Xi)-/。2)=2-1-［(2ι-1)+

(2χ2-1)］=24+M-2χi-2*+1=(2χι-1)(2*2-1)≥0,即满足条件(iii),故f(x)为A

函数.

③f(x)=logι(χ+D在［0,1］不满足条件(i),/(χ)≥0,则函数不是a函数.

④/(久)=10g2(久+。在［0,1］满足条件(J)/(X)≥0；也满足条件(ii),f(l)=l..

,

若≥0,X2≥0,%1+%2≤1,则f(x1+X2)-/(ɪi)一∕(%2)=ɪθgz(ɪi+%2+1)-

ɪθgz(ɪl+l)bg2(>2+1)=bg2(；：：KIl)=1°g21=0，故/(X)不为A函数

故“月函数”的有①②，

故答案为：①②

根据“力函数”的定义分别判断是否满足三个条件即可.

本题主要考查函数与方程的应用，结合“A函数”的定义，分别判断三个条件是否满足是解

决本题的关键.考查学生的推理能力.

17.【答案】解：集合4={x∣2χ2-5x-12≥0}={x|x≤-1或x≥4},

B={y∖y=3"+1(%>0)}={y∖y>2}.

(I)集合4nB={x∣x≥4},

3

CRΛ={x∣--<X<4},

.∙.(CM)Uβ={x∣x>-f］:

(2)若集合C={x∖m-2≤x≤2rn},且(CRa)nC=C,

ʌCɑCRA,

若CH。，贝ijm—242zn,得—2.

.∙.[m~2>-l,解得.<小<2；

l2m<4'

当C=0时，m-2>2m,解得.∙.τn<-2；

综上，Tn的取值范围是m2或：<τn<2.

【解析】(1)化简集合人B,根据交集与并集和补集的定义计算即可；

(2)根据题意(CMI)nC=C知CUCR4讨论C=0和CM0时，分别求出山的取值范围.

本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题.

18.【答案】解：(I)当X6[写,兀]时，3x—ɪ∈[ɪ,ɪ],ʌsin(3x—ɪ)∈[—ɪ,l],

故函数/(乃=45仇(3%*)6[-2其4],故函数/(x)的值域为1一2a4].

(H)••・将/(x)的图象向左平移居个单位长度后，

可得函数V=4stn(3x+^-∣)=4sin(3x-")的图象;

再将所得图象上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得到函数g(x)=4sin(∣x-令的图象.

令2k〃一5≤1∙-I∑≤2k"+联求得亍一记SXW亍+记，

可得g(x)的增区间为[华—泊华+点，kEZ,

则当xe[0,2τr]时，g(x)的增区间为[0燃],[若,尊].

IOIoIo

【解析】(I)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数/(久)的值域.

(∏)由题意利用函数y=4sin(<υx+0)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦

函数的单调性，得出结论.

本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数y=AsEQx+9)的图象变换规律，正弦函

数的单调性，属于中档题.

19.(答案［解:(1)因为f(χ)=sinxcosx—√3sin2x+ɪ=sin2x+ɪ(1—2sin2x')=sin2x+

√3、

—cos2x=sin(2x+)，

令，kez,

解得，

故函数/(χ)的单调增区间为[一，],kez；

(2)因为Xoe[，].

所以2XQ+∈[],

因为/(⅞)=sin(2x0+)=，

所以cos(2x0+)=一，

34

所以cos2x0=cos(2x0+-)=cos(2x0)+ysin(2x0)=一+=^θ^∙

【解析】(1)由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性可

求；

(2)由已知代入先求出sin(2x0+),然后结合两角差的余弦公式进行化简即可求解.

本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档

题.

20.【答案】解:⑴♦.•角ɑ的终边经过点P(X,6),且c。Sa=-⅛=x=一∣,.∙.P(-∣,6),

.12,12

・•・Sina=—,tana=——.

⑵由cosa=ɪ,OVaV'得，sina=

由OV0<av],得OVa-B<]，再根据cos(a-S)=蒋，可得sin(α—/?)=当，

所以，Cosβ=cos[α—(α—/?)]=cosacos{a—∕?)÷sinasin(a-/?)=

又0<0<去.∙∙0=全

【解析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，求得X的值，可得点P的坐标，从而得

至IJSiTIa和Ccma的值.

(2)由题意先求出sina.cos(α-/?)的值，可得cosβ=cos[(a-(a-£)]的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属

于中档题.

21.【答案】解：(l)f(χ)在(一8,0)上单调递减,

证明：∀X1,*26(—8,0),且X1<%2，

则=，

Vx1<X2<θ>

.∙.0<2χι<2χ2<1,•••-2χι>0,24-1<0,一1<0,

∙∙∙/(ɪl)-/(^2)>0，

/Q1)>/(犯)，

∙∙.f0)在(-8,0)上单调递减；

(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+8),

若/(X)为奇函数，则/(-X)=-f(X)恒成立，

即恒成立，

解得，

•・・存在，使得nχ)为奇函数.

【解析】(1)利用单调性的定义直接证明即可；

(2)假设存在，则恒成立，解出即可得出结论.

本题考查函数单调性及奇偶性的判断，考查推理论证能力，属于基础题.

22.【答案】解：(1)因为函数/(X)=总专为奇函数，

所以f(-x)+∕(x)=°,即⅞⅛⅛+⅛⅛=0,

化简整理可得(1—α2)(22z+1)=0,

因为22*+1>0,所以1-a?=0,

解得α=±l∙

(2)a=l,则〃久)=Wl=I-岛