2024届黑龙江哈尔滨市省实验中学数学高二年级上册期末经典试题含解析

2024届黑龙江哈尔滨市省实验中学数学高二上期末经典试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知点是双曲线二-

1.F=1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过歹作垂直于x轴的直线与双曲线交于G、

a"

"两点，若△GHE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(l,2)

C.(2,l+V2)D.(l,l+V2)

2.《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11

日到第20日这10日共织布()

A.30尺B.40尺

C.6尺D.60尺

Y2

3.直线x-y+l=0被椭圆3十产=1所截得的弦长1A为等于()

A.竽B.&

C.272D.3亚

4.我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底

面半径和高均为2的圆锥中，AB.CD是底面圆。的两条互相垂直的直径，E是母线的中点，已知过CZ＞与E的

平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于()

C.-^2D.1

22

5.双曲线言―言=1的两个焦点为片，F2,双曲线上一点P到月的距离为8,则点P到％的距离为（）

A.2或12B.2或18

C.18D.2

6.在数列｛%｝中，q=_；a=i一一二则。2020的值为（）

a

4n-l

「4

A.5B.一

5

C.--D.以上都不对

4

7.如图，面积为S的正方形ABC。中有一个不规则的图形可按下面方法估计M的面积：在正方形ABC。中随

机投掷“个点，若”个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为一S,假设正方形ABC。的边长为2,〃的

n

面积为1,并向正方形ABC。中随机投掷10000个点，用以上方法估计〃的面积时，〃的面积的估计值与实际值之

差在区间（-0.03,0.03）内的概率为

k

附表：P(k)=ECooooX0.25,X0.75必眸‘

r=0

k2424242525742575

pg0.04030.04230.95700.9590

A.0.9287B.0.9187

C.0.9167D.0.9147

8.4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）

A.24种B.81种

C.64种D.256种

?v224

9.已知双曲线C：=-3=1（4>0,6>0）的左、右焦点分别为《，工，过点耳且斜率为-一的直线与双曲线在第

ab7

二象限的交点为A,若（耳耳+耳A）・&A=0,则双曲线。的离心率是（）

45

A.-B.-

33

3

C.一D.2

2

10.已知随机变量JN(3,〃)，p(^<4)=0.76,则P(J<2)的值为()

A.0.24B.0.26

C.0.68D.0.76

11.命题P：任意圆的内接四边形是矩形，则M为()

A.每一个圆的内接四边形是矩形

B.有的圆的内接四边形不是矩形

C.所有圆的内接四边形不是矩形

D.存在一个圆的内接四边形是矩形

3a

12.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若COS3=M，a=5,一ABC的面积为10,则的值

sinA

为()

5有

A.在B.

22

「5A/23亚

u.------D.

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A4GA中，E为的中点，点尸在线段上,分别记四棱锥P-ABCD,

尸-M2。的体积为匕匕，则彳+V的最小值为

14.正四棱锥P-ABCD底面边长和高均为2,瓦凡G,"分别是其所在棱的中点，则棱台£FG//-A3CD的体积为

D

B

15.已知抛物线C：V=2py(p〉0)的焦点歹到准线的距离为4,过点尸和R>,0)的直线/与抛物线C交于P,Q

两点.若RP=PF，则I尸。1=1

16.过抛物线C:无2=8y的准线上任意一点p做抛物线的切线Q4P3,切点分别为A6,则A点到准线的距离与3

点到准线的距离之和的最小值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知两个定点4(0,4),6(0,1),动点p满足|/训=21PBi,设动点p的轨迹为曲线E,直线/：y=区―4

(1)求曲线E的轨迹方程；

(2)若/与曲线上交于不同的C、D两点,且NCO£>=120°(。为坐标原点)，求直线/的斜率；

18.(12分)已知｛4｝是等差数列，｛2｝是各项都为正数的等比数列，4=优=1,再从①为+%=10;②4%=4；

③这三个条件中选择，两个作为已知.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛2｝的前”项和.

19.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，q=2,且S〃M=2S“+2.

(1)求数列｛%,｝的通项公式；

1111c

⑵在区,与4+i之间插入“个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，求证：y+—+y+---+—<3

口2口3口,

20.(12分)已知塞函数1)2——+2在@+8)上单调递减，函数g(x)=土三的定义域为集合A

4+x

(1)求加的值；

(2)当xe伏』次>0时，/(%)的值域为集合B,若％e8是xeA成立的充分不必要条件，求实数左的取值范围

21.(12分)如图，在四棱锥A—BCDE中，四边形BCDE为平行四边形，且BC=2,ZCBE=45°,三角形ABE

为等腰直角三角形，且AB=2,ZBAE=90°.

(1)若点。为棱BE的中点，证明：平面ACD，平面AOC；

(2)若平面ABE，平面3CDE,点口为棱BC的中点，求直线■与平面ADE所成角的正弦值.

22.(10分)已知命题p：实数x满足。⑷+(a—2)2—2W0；命题°：实数x满足/—3x+2<0.若p是g的必

要条件，求实数。的取值范围

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】根据△GHE是等腰三角形且为锐角三角形，得到|G司<|跖|,即忙<a+c,解得离心率范围.

a

2272((r2、

【题目详解】F(-C,O),当x=-c时，=y=±±，不妨取G-C—,H-C,一一，

aba<a)\a)

△GH石是等腰三角形且为锐角三角形，则NGE尸<；,BP|GF|<|EF|,

吩

—<a+c,即c2V2a2+ac,^2—2<0>解得—1<ev2,故lve<2.

a

故选：B.

2、A

【解题分析】由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解.

【题目详解】由题女子织布数成等差数列，设第〃日织布为有囚=5,生0=1，所以

41+%2++〃20+%0)=5(%+〃30)=30，

故选:A.

3、A

【解题分析】联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.

x-J+1=O,,------------

由丁，得交点为(0J),则以为=/(3)2+(1+工)23A/2

【题目详解】=

—+y-=1,22V22

L3,

故选：A.

4、C

【解题分析】由圆锥的底面半径和高及E的位置可得0后=0,建立适当的平面直角坐标系，可得C的坐标，设抛

物线的方程,将C的坐标代入求出抛物线的方程，进而可得焦点到其准线的距离

【题目详解】

设A3,的交点为。，连接P。，由题意可得产。，面A3,所以由题意O8=OP=OC=2,因为E是母线

尸3的中点，所以=由题意建立适当的坐标系，以8P为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示：

可得：C(-A/2,2),

设抛物线的方程为产=机X,将C点坐标代入可得4=-"n，所以加=-2形,,所以抛物线的方程为：y2=-2y/2x,

所以焦点坐标为（-9⑼，准线方程为人与

所以焦点到其准线的距离为J5

故选:c

y

5、c

【解题分析】利用双曲线的定义求|尸闾.

【题目详解】解：由双曲线定义可知：||「耳|一8|=2。=10

解得|P闾=18或—2（舍）•••点尸到工的距离为18,

故选：C.

6、C

【解题分析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.

1,1

【题目详解】解：%=-一，4=1——

4an_x

%=1=一：=%

。34

•・.数列｛4｝是以3为周期的数列

一〃2020—a\~~~

故选：C

【题目点拨】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由递推关系发现数列的周期性的特点,

属于基础题.

7、D

【解题分析】每个点落入M中的概率为工，设落入M中的点的数目为X,题意所求概率为

4

y2574

10000

P（-0.03<-------x4-l<0.03）=P（2425<X<2575）=fC；oooox0.25'xO.VS-'=0.9570-0.0423=0,9147

10000Z=2426

故选D

8、D

【解题分析】利用分步乘法计数原理进行计算.

【题目详解】每位同学均有四种选择，故不同的报名方法有44=256种.

故选：D

9、B

【解题分析】根据（耳耳+耳A）•&A=0得到三角形A4耳为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到|明设

0a+c4

NAF】F,=e,进而作得出sin?=J」=—,由此求出结果

22c5

【题目详解】因为（月及+与4）•瓦X=o,

所以（耳心+耳4）.（呼4_£8）:耳/—耳工2=0,即降=丽

所以|伍|=闺闾=2c,

由双曲线的定义，^l\AF2\=2a+2c,

设/4耳鸟=，，则tan8=_a，易得出”―乙也2一尸小。=）,

7252V25

如图，作耳"为垂足,

f)+c+c

则sinZ=4三，所以竺£=4?,即c上=5士，即双曲线。的离心率为51.

22c2c5a33

故选：B

10、A

【解题分析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.

【题目详解】因随机变自N(3,"),P《<4)=0.76,有P(f<4)=P(”4)=0.76,由正态分布的对称性得：

W2)=P(空4)=1-P信<4)=1-0.76=0.24,

所以P(J<2)的值为0.24.

故选：A

11、B

【解题分析】全称命题的否定特称命题，任意改为存在，把结论否定.

【题目详解】全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，答案A,C不符合题意，同时对结论

进行否定，所以9：有的圆的内接四边形不是矩形，

故选:B.

12、A

4L

【解题分析】由同角公式求出sin3=g，根据三角形面积公式求出c=5,根据余弦定理求出匕=2遥，根据正弦定

理求出

sinA

34

【题目详解】因为3£(0,〃),COS5=M，所以sinB=1，

14

因为〃=5,一ABC的面积为10,所以SABC=—x5xcx—=10,故。=5,

25

从而从=〃2+。2_2accosB=20,解得b-245，

由正弦定理得：2—=上叵.

sinAsin52

故选：A.

【题目点拨】本题考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

32

13、—

9

【解题分析】设EP=2E。，用参数彳表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.

【题目详解】取线段AD中点为F,连接EF、DiF,过P点引？M，。石于M,PN，D1R于N,

则PM，平面ABCD,PN人平面A41no,

44

则K=-PM,V2=qPN，

...匕2+匕2=+PN?),

设EP=AED、,

^PMAPN1-2

则—~T，......—9

DD11EF1

即PM=24,PN=2(1-X),

.•.片+%2吟印+图一月猾^+一月吟号,

当且仅当几=；时，等号成立，

32

故答案为：—

7

14、-

3

Q1

【解题分析】分别计算/一.。=3,Yp_EFGH=M作差得到答案•

【题目详解】G,H分别是其所在棱的中点，则正四棱锥尸-EPGH底面边长和高均为1,

]811

^P-ABCD=-X2X2X2=J,吃-EFGH==§，

7

故VEFGH-ABCD=^P-ABCD~^P-EFGH=§,

..7

故答案为：—.

3

15、9

【解题分析】根据抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点尸到准线的距离为4,求得抛物线方程x2=8y.

再由我尸=尸尸和F(0,2),得到点P的坐标，进而得到直线/的方程，与抛物线方程联立求得。的坐标，再由两点间

距离公式求解.

【题目详解】由抛物线C必=2py(p〉0)的焦点尸到准线的距离为%

所以P=4,

所以抛物线方程为好=8〉.

因为RP=PF,尸(0,2),

所以点尸的纵坐标为1,

代入抛物线方程，可得点尸的横坐标为±2也，

不妨设P(-2A/2,1),则kpF=-2T厂=—,

0-(-2V2)4

故直线，的方程为>=注％+2,

4

将其代入—=8y得/―2缶-16=0.

可得。(40,4),

故|PQ|=^(-272-4A/2)2+(1-4)2=9•

故答案为：9

【题目点拨】本题主要考查抛物线的方程与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

16、8

【解题分析】设&占，()，B®,1)，由f=8y可得丁=今，根据导数的几何意义求得两切线的方程，联立求

得P点的坐标，再根到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值

【题目详解】解：设A(玉，三)，8仁，今)，由-=8y可得y=会，所以y=:,

所以直线24,网的方程分别为：尤-％),言(尤-》

"X2X、CX+X,

y———L(zx-x)x=-

-841w2

即P("三，华)，又有「在准线上，所以华=一2,

288

所以再％=-16,

设直线A5的方程为：y=kx-\-m,

代入抛物线的方程可得：x2-8Ax-8m=0，可得玉%=-8〃?，

所以可得加=2,即直线恒过(0,2)点，即直线恒过焦点(0,2),

2

即直AB的方程为：y^kx+2,代入抛物线的方程：x-Skx-16^0,

2

入1+%2=8左，所以％+%=左(西+%)+4=8%+4,

A点到准线的距离与B点到准线的距离之和=A尸+=%+%+4=8后2+828,

所以当左=0时，距离之和最小且为8,这时直线A3平行于X轴

故答案为：8

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)x2+y2=4；(2)土正

【解题分析】（1）设点P的坐标为（龙,y）,由|上4|=2归石，结合两点间的距离公式，列出式子，可求出轨迹方程;

（2）易知|0C|=|0£）|=2,且NCO£>=120°,可求出0到直线CD的距离，结合点。（0,0）到直线/的距离为

IT

VF+i可求出直线/的斜率

【题目详解】（1）设点P的坐标为（尤,y）,

由|R4|=2|P@,可得击2+（y—盯=2j£+（y—Ip,

整理得Y+/=4,所以所求曲线E的轨迹方程为必+/=4

⑵依题意，且NCOD=120。，

在△OCZ）中，NODC=30°，取CD的中点H,连结则OHLCD,

所以|。闾=|。刈.sinNQDC=2x；=1,

即点0（0,0）到直线/：而—y—4=0的距离为^^^=1,解得左=±JB,

[k2+1

所以所求直线/斜率为土

【题目点拨】本题考查轨迹方程，考查直线的斜率，考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查学生

的计算求解能力，属于基础题.

18、答案见解析

【解题分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得｛4｝的通项公式.

（2）利用公式法可求数列｛2｝的前〃项和.

【题目详解】解：选择条件①和条件②

（1）设等差数列｛4｝的公差为d,...[6[1'0…m

%+%=2q+4d=10.

解得：=1,d=2.***cin=1+—1）x2=2n—1,neN**

⑵设等比数列也｝的公比为心q>09

1

“她b?=b用、q=」解得4'q：?.

设数列也｝的前〃项和为s“，_=2"T」

一1-22

选择条件①和条件③:

〃二1

（1）设等差数列｛4｝的公差为d,...I'

a2+a4=2%+4d=10.

解得：q=l,d=2.二a”=l+(〃—l)x2=2〃—1.

（2）”=%=9,设等比数列出｝的公比为4,q>0.

••kz30，解得4=：，4=3.

[b4=b]q=9.3

1(1-3")3"-1.

设数列\b\的前n项和为S,,3

一1-36

选择条件②和条件③:

⑴设等比数列也｝的公比为q,q>0,

b7=bq=l,11,

.24,»解得4=7,q=2,a5=b4=—x2^=4.

[b2b4=b^q=4.22

3

设等差数列｛4｝的公差为d,•••%=%+4〃=4,又％=1,故d="

'7444

（2）设数列出｝的前〃项和为S“,

由（1）可知c

0=2“T」

"1-22

【题目点拨】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本

量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和

式的特征选择合适的数列性质处理数学问题

19、(1)%=2"

（2）证明见解析

S],"=1ZX

【解题分析】（l）根据。c作差即可得到｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列，从而得到数列

[Sn-Sn_1,n>2

的通项公式；

（2）由（1）可知4=2",。“+1=2向，根据等差数列的通项公式得到必=—,即可得到丁=工厂，再令

n+1«„2

,1111

4=7+7+7+…+7，利用错位相减法求出I,,即可得证;

c//]

【小问1详解】

解：因为q=2,且Sn+i=2Sn+2,当〃=1时S2=2Si+2,则。2=4,所以%=2q,当2时,Sn=2sM+2，

则S“+「S”=2S,+2—2S,T—2,即4+1=24,所以｛为｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以。"=2”；

【小问2详解】

r\n+lr>nr\n[几十]

+1

解：由(1)可知4=2",an+1=T,因为a.=&+(〃+2—1)或，所以或=/=1,所以丁=▼

〃+1〃+1an2

令小"+»..+》则北=2x出+3xg]+4义出++(〃+l)x1),所以

I。成呢+叫「,所以

；(=2xgJ+lxg]+lxgj++lxg]—(〃+l)xg[:即

3所以(=3—*<3,即L-+..J<3；

d]d?d〃

22"+1z

20、(1)m=2

(2)—<^<1

3

【解题分析】（1）根据塞函数的定义和单调性求解;

（2）利用根式函数的定义域和值域求得集合A,B,再由3是A的真子集求解.

【小问1详解】

解：因为塞函数/（无）=（〃?—犷无存f+2在（o,+oo）上单调递减,

(m-1)2=1

所以

m2-4m+2<0

解得m=2.

【小问2详解】

由±3之0,得士口40,

4+x4+x

解得-4<xW3,

所以A=(—4,3],

当xe伏,1],左＞0时/(%)=/的值域为1,

所以5=1,表

因为xeB是xwA成立的充分不必要条件,

所以5是A的真子集,

F-3

0<女<1

解得且〈左＜1.

3

21、(1)证明见解析

⑵述

3

【解题分析】(1)先证明AOLBE,COLBE,进而证明庞1平面AOC,即可证明CD,平面AOC,从而证

明平面ACDL平面AOC.

(2)以。点为坐标原点，分别以OC,