2023年中考数学考前第17讲：图形变换性问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第17讲：图形变换性问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

平移解题要领：关键是确定图形平移的方向和距离，从一个点或一条线段的平移前后的

变化，归纳出平移的规律，进而得出图形其他部分的平移变化.

折叠解题要领：①图形的折叠本质上就是轴对称问题，根据轴对称的性质，可探求出图

形变换前后的等量关系；②求解线段和最小值问题，本质上就是两点间线段最短(间接运用

三角形三边大小关系)，通过点的轴对称变换，把线段和转化为某一条线段求解，选择作适

当的点的轴对称点往往是解题的突破口.

旋转解题要领：①由旋转角相等，可以得到等角，由对应点到旋转中心的距离相等，可

以得到线段相等和等腰三角形；②由图形的旋转求线段长时,，常常用到勾股定理、锐角三角

函数，全等三角形及相似三角形的判定与性质；③图形的旋转常常与求解弧长或扇形的面积

整合在一起，注意学习运用.

相似解题要领：①证明两个三角形相似，最常用的方法：一是利用平行线构造相似三角

形，二是两个角对应相等证明两三角形相似；②探求两个三角形相似的条件时，根据确定的

已知条件，不拘泥于现成的图形，充分考虑三角形相似的情形.具体性质有：①相似三角形

对应线段的比等于相似比，其中只要说明两线段是对应线段，就可以直接运用性质定理；②

利用相似三角形的性质求面积时，不要忽视"相似比的平方

位似解题要领：①利用点的坐标表示位似变换时，一般地是以原点为位似中心，但是，

要注意位似中心不是原点的情况；②求位似图形相应点的坐标时，要注意是缩小还是扩大，

是一种还是两种情形.

【例题1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为A(-1,-1)、B(-3,

3)、C(-4,1)

(1)画出AABC关于y轴对称的AAIBICI,并写出点8的对应点BI的坐标；

(2)画出绕点A按顺时针旋转90。后的4A82C2,并写出点C的对应点C2的坐标.

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【例题2］已知NAC)B=90。，在/AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的宜角顶点

与C重合，它的两条直角边分别与0A、

OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.

(1)当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),易证：0D+0E=,历0C；

(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是

否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段。D、0E、OC之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明.

【例题3】已知：如图，在四边形A8CD中，AD=BC,/A、/B均为锐角。

(1)当NA=NB时，则CD与AB的位置关系是CDAB,大小关系是CDAB；

(2)当NA>∕B时，(1)中CD与AB的大小关系是否还成立，证明你的结论。

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【例题4】在AABC中，NABC=45°,BC=4,tanC=3,AH_LBC于点”,点D在/W上，且

DH=CH,连接8D.

(1)如图1,将ABHD绕点H旋转,得到AEHF(点B、D分别与点E、F对应)，连接AE,

当点F落在AC上时(F不与C重合)，求AE的长;

(2)如图2,ZXEHF是由ABHD绕点，逆时针旋转30°得到的，射线CF与AE相交于点G,

连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由.

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一、选择题：

1.如图，将AABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点夕处，此时，点A的对应点A，

恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）

A.ZBCB,=ZACA,B.ZACB=2ZB

C.NBtA=NBACD.B，C平分NBBA'

2.如图，在正方形网格中，线段A®是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点ZV与A对

应，则角a的大小为（）

A.30oB.60oC.90oD.120°

3.如图，在RtaABC中，ZACB=90o,将aABC绕顶点C逆时针旋转得到^A,B,C,M是BC

的中点，P是AB的中点，连接PM.若BC=2,ZBAC=30∖则线段PM的最大值是（)

4.如图，抛物线F=1-7»弋与X轴的交于点A、B,把抛物线在X轴即其下方的部

分记作C1，将Cl向左平移得C2，C2与X轴的交于点B、D.若直线I一I丫-桁与邑、C2共

J2

有三个不同的交点，则m的取值范围是（C）

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5.如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点4,B,C的距离分别为3,4,5,

则4A8C的面积为（）

二、填空题：

6.如图，将4A08绕点。按逆时针方向旋转45。后得到AAOH,若/A0B=15。，则

的度数是—.

7.4ABC是等边三角形，点。是三条高的交点.若AABC以点。为旋转中心旋转后能与原来

的图形重合，则AABC旋转的最小角度是.

8.如图，在正方形ABCD中，AD=2、,石，把边BC绕点B逆时针旋转30。得到线段BP,连接

AP并延长交CD于点E,连接PC,则三角形PCE的面积为.

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9.如图，在平面鱼角坐标系Xoy中，A(-3,0),点B为y轴正半轴上一点，将线段AB

绕点8旋转90。至8C处，过点C作CD垂直X轴于点D,若四边形ABCD的面积为36,则线

10.如图，点P在等边AABC的内部，且PC=6,PA=8,PB=IO,将线段PC绕点C顺时针旋

转60。得到P,C,连接AP',则sin/PAP'的值为.

11.(1)请画出AABC关于直线/的轴对称图形AAIBICI.

(2)将AABC绕着点8旋转180。得到44B2C2,并画出图形.(保留作图痕迹，不写画法,

注明结论)

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12.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(-3,-3),点B(-l,-3),点C(-l,

-1).

(1)画出^ABC;

(2)画出AABC关于X轴对称的AAIBICI,并写出AI点的坐标：(-3,3);

(3)以O为位似中心，在第一象限内把AABC扩大到原来的两倍，得到AAZBZCZ,并写出

Az点的坐标：(6,6).

?•

J

13.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ABlBC,lf｛，4D=3,BC=A,以点

D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转α至DE。

(1)当α=90。时，连接AE,则△以£)的面积等于(直接写出结果)；

(2)当(Γ<a<180。时，连接8E,请问8E能否取得最大值？若能，请求出8E的最大值:

若不能，请说明理由；

(3)当CΓ<a<18O。时，连接CE,请问a为多少度时，ZXCDE的面积是JJ。

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14.综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以"菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1,

将一张菱形纸片ABCD(ZBAD>90o)沿对角线AC剪开，得到aABC和AACD.

操作发现

(1)将图1中的AACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α,使α=NBAC,得到如图2

所示的AACD,分别延长BC和DU交于点E,则四边形ACEC，的形状是;

(2)创新小组将图1中的aACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角a,使a=2NBAC,

得到如图3所示的aACD,连接DB,UC,得到四边形BCCD,发现它是矩形，请你证明这

个结论：

实践探究

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=I3cm,AC=IOcm,然后提出

一个问题：将aACD沿着射线DB方向平移acm,得到AACD'连接Bh,CC,使四边形

BCCD恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；

(4)请你参照以上操作，将图1中的AACD在同一平面内进行一次平移，得到ANCD,在

图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，

不必证明.

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2023年中考数学考前冲刺第17讲：图形变换性问题答案解

析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

平移解题要领：关键是确定图形平移的方向和距离，从一个点或一条线段的平移前后的

变化，归纳出平移的规律，进而得出图形其他部分的平移变化.

折叠解题要领：①图形的折叠本质上就是轴对称问题，根据轴对称的性质，可探求出图

形变换前后的等量关系；②求解线段和最小值问题，本质上就是两点间线段最短(间接运用

三角形三边大小关系)，通过点的轴对称变换，把线段和转化为某一条线段求解，选择作适

当的点的轴对称点往往是解题的突破口.

旋转解题要领：①由旋转角相等，可以得到等角，由对应点到旋转中心的距离相等，可

以得到线段相等和等腰三角形；②由图形的旋转求线段长时，常常用到勾股定理、锐角三角

函数，全等三角形及相似三角形的判定与性质；③图形的旋转常常与求解弧长或扇形的面积

整合在一起，注意学习运用.

相似解题要领：①证明两个三角形相似，最常用的方法：一是利用平行线构造相似三角

形，二是两个角对应相等证明两三角形相似；②探求两个三角形相似的条件时，根据确定的

已知条件，不拘泥于现成的图形，充分考虑三角形相似的情形.具体性质有：①相似三角形

对应线段的比等于相似比，其中只要说明两线段是对应线段，就可以直接运用性质定理；

②利用相似三角形的性质求面积时，不要忽视"相似比的平方

位似解题要领：①利用点的坐标表示位似变换时，一般地是以原点为位似中心，但是，

要注意位似中心不是原点的情况；②求位似图形相应点的坐标时，要注意是缩小还是扩大，

是一种还是两种情形.

【例题1】如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点分别为A(-1,-l)∖B(-3,

3)、C(-4,1)

(1)画出AABC关于y轴对称的^Aι8ιG,并写出点8的对应点81的坐标：

(2)画出AABC绕点A按顺时针旋转90。后的4AB2C2,并写出点C的对应点C2的坐标.

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【分析】（1）分别作出点A,B,C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；

（2）分别作出点8,C绕点A按顺时针旋转90。后所得对应点，再首尾顺次连接可得.

【解答】解：（1）如图（1）所示，△AιBιQ即为所求，其中&的坐标为（3,3）.

图⑴图⑶

（2）如图（2）所示，ZiA82C2即为所求，Cz的坐标为（1,2）.

【点评】本题主要考查作图-旋转变换和轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换

与旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点.

【例题2】已知/AOB=90。，在/AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点

与C重合，它的两条直角边分别与0A、

OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.

（1）当三角板绕点C旋转到CD与C）A垂直时（如图1）,易证：OD+OE=∕jθC:

（2）当三角板绕点C旋转到CD与。A不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是

否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段。D、0E.OC之间又有怎样的数量关系？

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请写出你的猜想，不需证明.

【考点】旋转的性质；全等三角形'的性质；全等三角形的判定；勾股定理.

【专题】探究型.

【分析】（1）CD与OA垂直时，根据勾股定理易得OC与。D、OE的关系，将所得的关系

式相加即可得到答案.

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得ACKD之Z∖CHE,进而可得出证明；

判断出结果.解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与0D、

OE的关系；最后转化得到结论.

【解答】解：（1）当CD与OA垂直时，

V∆CDO为Rt∆,

∙'∙oc=7θD2+CD2=VθD2+OD2=√2θD,

∙,∙√2θC=√2∙√20D=20D.

由题意得四边形ODCE是正方形，

Λ0D+0E=0D+0D=20D,

ΛOD+OE=√"0C.

（2）过点C分别作CKLOA,垂足为K,CHlOB,垂足为H.

YOM为NAOB的角平分线，且CKj_0A,CH±OB,

ΛCK=CH,NeKD=NCHE=90°,

又TNI与N2都为旋转角，

ΛZ1=Z2,

Λ∆CKD^∆CHE,

ΛDK=EH,

ΛOD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK.

由（1）知：OH+OK=√2θC,

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.∙.OD+OE=日OC.

（3）结论不成立.

过点C分别作CK±OA,

CHlOB,

;OC为NAoB的角平分线，且CKI.0A,CHlOB,

ΛCK=CH,/CKD=NCHE=90°,

又YNKCD与NHCE都为旋转角，

ΛZKCD=ZHCE,

Λ∆CKD^∆CHE,

ΛDK=EH,

ΛOE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由（1）知：OH+OK=√2θC-

.∙.OD,OE,C）C满足OE-OD=EOG

【例题3】已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,/A、NB均为锐角。

（1）当NA=∕B时，则CD与AB的位置关系是CDAB,大小关系是CDAB;

（2）当NA>∕B时，（1）中CD与AB的大小关系是否还成立，证明你的结论。

分析:（1）如图1,需要根据题意画出图，然后做DE平行于BC,推出NB=NAED,结合题

意/A=NAED,推出四边形CBED为平行四边形，继而推出DC平行且等于BE,由于BE小于

AB,继而推出（1）的结论；

（2）根据要求证的结论，可以通过作辅助线的形式把DC,AB等有关的线段引入到同一个

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三角形中，再通过三角形的三遍关系论证结论是否成立.如图2,分别过点D、B作BC、CD

的平行线，两线交于F点，作NADF的平分线交AB于G点，连接GF,推出四边形BCDF为

平行四边形，可推出BC=DF=AD,继而推出aADG丝Z∖FDG,可得出AG=FG,CD=FB,那么FG+BG

>BF?AG+BG>DC?DC<AB.

(1)如图1,CD//AB,CD<ABo

(2)CDsB还成立。

证明如下：如图2,分别过点D、8作8C、C。的平行线，两线交于F点。

四边形OCBF为平行四边形。

,FD=BCDC=FB.

"：AD=BC,：.AD=FD.

作NZiDF的平分线交AB于G点，连接GJ

NADG=NFDG°

在AADG和AFDG中

AD-FD.

44DG=ZFDG,

IXJ∙IXJ,

：.∕∖ADG^∕∖FDG,：.AG=FG°

∙.∙在aBFG中，Fl]+fi(}>BFO

∙∙∙AG4BG>DC.

.*.DC<A8o

点用：本题主要考查了平行四边形判定定理，平行四边形性质，三角形三边关系，全等三角

形的性质及判定定理的综合应用.

【例题4】在AABC中，/A8C=45。，8C=4,tanC=3,AH_LBC于点H,点。在A”上，且

DH=CH,连接8。.

(1)如图1,将ABHD绕点H旋转,得到AEHF(点8、。分别与点E、F对应)，连接AE,

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当点F落在AC上时(F不与C重合)，求AE的长；

(2)如图2,F是由48HD绕点”逆时针旋转30。•得到的，射线CF与AE相交于点G,

连接G”，试探究线段G”与EF之间满足的等量关系，并说明理由.

【分析】(1)先根据tanC=3,求出AH=3,CH=I,然后根据4E∕√AS^FHC,得至IJHP=

3AP,AE=IAP,最后用勾股定理即可；

(2)先判断出AAGQs△CHQ,得到里然后判断出^AQCS^GQM用相似比即可.

GOHD

Vta∩C=3,

•.∙∙A~~~H∙TJ,

CH

设CH=X,

：.BH=AH=3x,

VSC=4,

.*.3x+x=4,

∙∖x=1,

.∖AH=3,CH=I,

由旋转知，NEHF=NBHD=NAHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,

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.,.ZEHF+ZAHF=ZAHC+ZAHF,

：.ZEHA=ZFHC,El=FH=],

ΛHHCl

；.AEHAsAFHC,

：.NEAH=ZC,

/.tanZE∕4H=tanC=3,

过点H作HPLAE,

；.HP=3AP,AE=2AP,

在RtZkAHP中,AP2+HP2=AH2,

：.AP2+(3AP)2=9,

.∙∙吁亚，

10

*汨.

5

(2)如图1,

:△EHF是由ABHD绕点，逆时针旋转30。得至∣J,

.∖HD=HF,ZAHF=30°

：.ZCHF=90o+30o=120",

由(1)有，AAEH和AFHC都为等腰三角形，

：.ZGAH=ZHCG=30°,

.'.CGlAE,

点C,H,G,A四点共圆，

：.ZCGH=ZCAH,

设CG与AH交于点Q,

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,.∙NAQC=NGQH,

AAQCSAGQH,

.ACM.1r

,,HG^GO-≡in30β7'

VAEHF是由ABHD绕点H逆时针旋转30。得到，

：.EF=BD,

由（1）知，BD=AC,

EF=AC

.EF1

^,HG%in30β^

即：EF=2HG,

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似

三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题

的关键是相似三角形性质和判定的运用.

一、选择题：

1.如图，将AABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B，处，此时，点A的对应点N

恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）

A.NBCB'=NACA'B.ZACB=2ZB

C.ZB,CA=ZB,ACD.B'C平分∕BB'A'

【分析】根据旋转的性质得到NBCB，=NACA，，故A正确，根据等腰三角形的性质得到

NB=NBBe根据三角形的外角的性质得到NA,CB∙2∕B,等量代换得到NACB=2NB,故B

正确；等量代换得到NABC=NBBC于是得到B（平分NBBTV,故D正确.

【解答】解：根据旋转的性质得,/BCB，和/ACA，都是旋转角，贝INBCB'=NACA',故A正

确，

YCB=CB',

ΛZB=ZBB1C,

又∙.∙NA'CB'=NB+NBB'C,

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，NA'CB'=2NB,

又ACB=NA1CB',

ΛZACB=2ZB,故B正确;

VZA,B,C=ZB,

.∙.NA'B'C=NBB'C,

.∙.B'C平分∕BB'A',故D正确;

故选C.

2.如图，在正方形网格中，线段AE是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A，与A对

应，则角a的大小为（

A.30oB.60oC.90°D.120°

【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小.

【解答】解：如图:

显然，旋转角为90。，

故选C.

3.如图，在RtZXABC中，∕ACB=90∖将aABC绕顶点C逆时针旋转得到aA'BfC,M是BC

的中点，P是AE的中点，连接PM.若BC=2,ZBAC=30∖则线段PM的最大值是（）

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【分析】如图连接PC.思想求出PC=2,根据PM≤PC+CM,可得PM≤3,由此即可解决问题.

【解答】解：如图连接PC.

在RtZ∖ABC中，VZA=30°,BC=2,

.∙.AB=4,

根据旋转不变性可知，AB=AB=4,

.∙.A'P=PB',

PC=LAB=2,

2

VCM=BM=I,

又YPM≤PC+CM,即PM≤3,

,PM的最大值为3（此时P、C、M共线）.

故选B.

4如图,抛物线+f与X轴的交于点A、B,把抛物线在X轴即其下方的部

分记作J,将J向左平移得J,J与X轴的交于点B、D.若直线J=9+M与J、J共

有三个不同的交点，则m的取值范围是（C）

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解析:在y=L∖∙-7κ+“中，令y=0,解得Xι=9,X2=5,・••点A,B的坐标分别为(9,0),

2，

(5,0).：C2是由Cl向左平移得到的，.∙.点D的坐标为(1,0),Cz对应的函数解析式为

y=,(x-3)'-2-3x+*(1≤×<5).当直线y='χ+∣w与C2相切时，可知关于X

ɔɔɔɔ

的一元二次方程lχ'-3x+?=Lr+阳有两个相等的实数根，即方程χ2—7x+5—2m=0

222

,91

有两个相等的实数根，.∙.△=(-7)2—4乂枚(5—201)=0,解得［n=・~.当直线y=κ+m

S2

15,951

过点B时，可得0=—χ5+m,解得m=—.如图，故当----<m<—，直线y=—x+∕w

22822

与Cι,C2共有3个不同的交点.

5.如图，P为等边三角形A8C内的一点，且P到三个顶点4,B,C的距离分别为3,4,5,

则4A8C的面积为()

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【分析】将aBPC绕点8逆时针旋转60。得4BEA,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC

=5,ZPSE=60°,则ABPE为等边三角形，得至IJPE=PB=4,ZSPf=60",在中，AE

=5,延长8P,作AFLBP于点EAP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到aAPE为直

角三角形，且NAPE=90。，即可得到NAPB的度数，在直角AAPF中利用三角函数求得AF

和PF的长，则在直角^ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积.

【解答】解：：ZXABC为等边三角形，

二BA=BC,

可将ABPC绕点8逆时针旋转60。得ABEA,连EP,且延长BP,作AFJ_BP于点F.如图,

.∙.BE=8P=4,AE=PC=5,NP8E=60°,

...△8PE为等边三角形，

.".PE=PB=4,NBPE=60°,

⅛∆4EPΦ,AE=5,AP=3,PE=4,

.∖AE2^PE2+PA2,

,△APE为直角三角形，且/AP£=90。,

，ZAPB=90o+60°=150a.

NAPF=30°,

1ɜ

在直角AAPF中，AF=±AP=?

22

在直角AABF中，AB2^BF2+AF2^(4+2=25+12«.

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则4A8C的面积是芋-A，=E•（25+12〈用）=岑.

故选:A.

二、填空题:

6.如图，将aAOB绕点。按逆时针方向旋转45。后得到aAOF,若NAO8=15。，则NA08

的度数是30。.

【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即

可.

【解答】解：：将^A08绕点。按逆时针方向旋转45。后得到aAO8∖

NA'04=45°,NAo8=∕AOB'=15°,

ZAOB'=ZA'OA-NAoB=45--15°=30°,

故答案是：30°.

7.4ABC是等边三角形，点。是三条高的交点.若aABC以点O为旋转中心旋转后能与原来

的图形重合，则AABC旋转的最小角度是120。.

【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解.

【解答】解：若^ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，

根据旋转变化的性质，可得AABC旋转的最小角度为180o-60o=120o.

故答案为：120。.

8.如图，在正方形ABCD中，AD=20,把边Be绕点B逆时针旋转30。得到线段BP,连接

AP并延长交CD于点E,连接PC,则三角形PCE的面积为6√3一.

【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质.

第21页共31页

【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB,ZPBC=30°,推出AABP是等边三角形，得到

ZBAP=60o,AP=AB=2√3,解直角三角形得至IJCE=2灰-2,PE=4-2\乃，过P作PFlCD于

F,于是得到结论.

【解答】解：：四边形ABCD是正方形，

.∙.NABC=90°,

：把边BC绕点B逆时针旋转30。得到线段BP,

.∙.PB=BC=AB,ZPBC=30o,

ΛZABP=60o,

∆ABP是等边三角形，

ΛZBAP=60o,AP=AB=2\1，

VAD=2√3,

ΛAE=4,DE=2,

ΛCE=2J3^2-PE=4-2C

过P作PFJ_CD于F,

.∙∙PF=芋PE=2√^-3,

三角形PCE的面积=,CE∙PF总X(2√3-2)X(4-20)=6^-10,

故答案为:6√3^10.

9.如图，在平面鱼角坐标系Xoy中，A(-3,0),点B为y轴正半轴上一点，将线段AB

绕点8旋转90。至8C处，过点C作CD垂直X轴于点D,若四边形A8CD的面积为36,贝I」线

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【分析】过C作CEJ_。B于£,则四边形CE。D是矩形，得到CE=。。，OE=CD,根据旋转

的性质得到AB=BC,NABC=90。，根据全等三角形的性质得到8O=CE,BE=OA,求得CW

=BE=3,设。。=α,得到CD=OE=Ia-3|,根据面积公式列方程得到C(-6,9)或(6,

3),设直线A8的解析式为y=kx+b,把A点和C点的坐标代入即可得到结论.

【解答】解：过C作CELO8于E,

则四边形CEoD是矩形，

ΛCE=OD,OE=CD,

；将线段AB绕点B旋转90。至BC处，

.,.AB=BC,

NA8C=90。，

ZABO+ZCBO^ZABO+ZBAO=90°,

：.ZABO=ZBCE,

∙.∙NA。B=NBEC=90°,

：.∆ABO^∆BCO(AAS),

BO=CE,BE=O4

VΛ(-3,0),

.∖OA=BE=3,

设OD=。，

；.CD=。E=Ia-3|,

•/四边形ABCD的面积为36,

-A0∙0B+~(CD+0B)∙0D=-×3×a+~(a-3+α)×a=36,

2222

.,.a=±6,

：.C(-6,9)或(6,3),

设直线AB的解析式为y=k×+b,

⅛∏上工∏z∙J-,iιɪ-zi`>4H(—3k+b=0τf""jk+b=θ

把Aλ点和C点的坐标代入得，(或4,

16k+b=3I-6k+b=9

，直线AB的解析式为y==x+l或y=-3x-9.

O

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S2

10.如图，点P在等边aABC的内部，且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋

a

转60。得到P,C,连接AP',则Sin/PAP1的值为.

-5-

【分析】连接PP',如图，先利用旋转的性质得CP=CP，=6,ZPCP,=60o,则可判定ACPP'为等

边三角形得到PP'=PC=6,再证明APCB丝Z∖p,CA得到PB=PA=IO,接着利用勾股定理的逆定

理证明AAPP'为直角三角形，ZAPP,=90",然后根据正弦的定义求解.

【解答】解：连接PP',如图，

；线段PC绕点C顺时针旋转60。得到P,C,

.∙.CP=CP'=6,NPCP'=60°,

••.△CPP，为等边三角形，

ΛPP,=PC=6,

V∆ABC为等边三角形，

ΛCB=CA,NACB=60°,

ΛZPCB=ZPzCA,

在APCB和ap,CA中

'PC=P'C

'ZPCB=ZPzCA-

CB=CA

Λ∆PCB^∆PzCA,

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.∙.PB=P'A=10,

V62+82-=102,

ΛPP,2+AP2=P,A2,

...△APP，为直角三角形，ZAPP,=90o,

三、解答题：

11.（1）请画出AABC关于直线/的轴对称图形4481G.

（2）将AABC绕着点8旋转180。得到^4B2C2,并画出图形.（保留作图痕迹，不写画法,

注明结论）

B

【分析】（1）分别作出点A,B,C关于直线/的对称点，再首尾顺次连接可得；

（2）作出点A与点C绕着点8旋转180。得到的对应点，再与点8首尾顺次连接可得.

【解答】解：（1）BICl为所求作的关于/的轴对称图形.

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(2)ZV½B2C2是aABC绕B点旋转180°的图形.

12.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(-3,-3),点B(-l,-3),点C(-l,

-1).

(1)画出AABC;

(2)画出AABC关于X轴对称的aA1B1J,并写出AI点的坐标：(-3,3):

(3)以O为位似中心，在第一象限内把AABC扩大到原来的两倍，得到4A2B2C2,并写出

【解答】解：(1)Z∖ABC如图所示；

(2)Z∖AιBιCι如图所示；Ai(-3,3),

(3)Z∖A2B2C2如图所示；A2(6,6).

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故答案为（-3,3）,（6,6）.

13.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∕∕BC,AB±BC,,ffO,AD=3,BC=4,以点

D为旋转中心，将腰OC逆时针旋转α至DE。

（1）当a=90。时，连接AE,则AEAD的面积等于（直接写出结果）；

（2）当（Γ<α<180。时，连接8E,请问BE能否取得最大值？若能，请求出8E的最大值;

若不能，请说明理由；

（3）当（Γ<α<180。时，连接CE,请问a为多少度时，ZXCDE的面积是√5°

（1）匚作。HJ_BC于点H,EG_LA。交AD的延长线于点G,如图L

*）

∖'AD∕∕BC,ABl.BC,四边形A8HD为矩形，

；•/)〃-IH、6，BH=AD=3,

二HC=BCBHA3=1，

,/以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90。至DE,

即把RtADHC逆时针旋转90。得到RtADGE,

II3

.∙.EG=HC=1,ΛSljcjn≡-ADH,-x3xl="o

第27页共31页

(2)BE能取得最大值，当8、D、E三点共线时，8E最大。

如图2,在RtZ∖DHC中，DH，HC=I,：.DC=∖DH-Ht2,.∖DE=2,

在RtADBH中,BH=3,DHΛβD=√β∕/+Dll2√3,

∙∙∙BEBDDE2√J*2;

（3）当α为锐角时，过E点作ERL。C于点F,如图3,

,/DC=DE=2,

ɪ*2∙EΛ-√3>

:∙EFG,

ʌMU.EDF-：.ZEDF=60°,Λα=60",

DE2

当骁为钝角时，过E点作EF_LDC交CD的延长线于下点，如图4,

同样可得到NEDF=60。，.♦.</IK(Γ60r-I2(Γ.

：.a为60。或120。时，ACDE的面积是v'.⅛。

14.综合与实践

问题情境

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在综合与实践课上，老师让同学们以"菱形纸片的剪拼"为主题开展数学活动，如图1,

将一张菱形纸片ABCD（ZBAD>90o）沿对角线AC剪开，得到AABC和AACD.

操作发现

（1）将