广东省广州市天河区新昌学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

广东省广州市天河区新昌学校2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝2x B．x+2y＝1 C． D．x2﹣6＝7x2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（）A．4 B．5 C． D．104．（3分）将抛物线y＝2x2先向下平移4个单位，再向左平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+4）2+5 B．y＝2（x﹣4）2+5 C．y＝2（x+5）2﹣4 D．y＝2（x﹣5）2+45．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有两个相等实数根，则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣16．（3分）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（）A．60° B．65° C．72.5° D．115°7．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+2，若点，都在该抛物线上，则y1，y2，y3大小关系为（）A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y28．（3分）由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某家餐厅重新开张，开业第一天收入约为3020元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第三天收入约为4350元．设每天的增长率为x，根据题意可列方程为（）A．3020（1﹣x）2＝4350 B．3020（1+2x）＝4350 C．3020（1+x）2＝4350 D．3020（1﹣2x）＝43509．（3分）当ab＜0时，y＝ax+b与y＝ax2的图象大致是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2021次旋转后，点B的坐标为（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若函数，则自变量x的取值范围是．12．（3分）若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则另一个根为．13．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣1与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当△ABP为直角三角形时，m的值为．14．（3分）等腰三角形的一边为9，另两边恰好是关于x的一元二次方程x2﹣kx+9＝0的两根，则k的值是．15．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是°．16．（3分）在直角坐标系中，已知线段MN的端点是M（﹣1，2），N（2，2），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个交点，则a的取值范围是．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）解下列方程：（1）（x+1）（x﹣2）＝x+1；（2）2x2+5x＝3．18．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，将△ABC绕点C逆时针旋转52°得到△A′B′C′，且AB⊥A'C于点D，求∠A′CB′的度数．19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（﹣3，3）、C（﹣4，﹣1）．（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；（3）写出△A1B1C1经过怎样的旋转可直接得到△A2B2C2．（请将（1）（2）小问的图都作在所给图中）20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围．21．（8分）康辉旅行社推出了一则红色旅游促销广告如下：我社推出去广安小平故里红色旅游，收费标准为：①组团人数不超过30人，人均收费800元；②组团人数超过30人，每增加1人，人均收费降低10元．但人均收费不得低于500元．在“不忘初心，牢记使命”主题教育活动期间，某单位决定分批组织全体职工参观学习，缅怀改革开放的总设计师邓小平同志．（1）如果该单位第一批组织40人去参观学习，则公司应向旅行社交费多少元？（2）如果该单位计划用29250元组织第一批职工去学习，问这次参观学习应安排多少人参加？22．（8分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实数根，求下列各式的值：（1）（x1+4）（x2+4）；（2）x12+x2﹣3．23．（8分）【阅读材料1】为解方程（x2）2﹣5x2+4＝0，我们可以将x2看作一个整体，然后设y＝x2，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0，经过运算，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．们将上述解题的方法叫换元法．【阅读材料2】已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设y＝，原方程可化为．经过运算，原方程的解是．（2）间接应用：已知实数a，b满足a4﹣3a2+1＝0，b4﹣3b2+1＝0，且a≠b，求a4+b4的值．24．（10分）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式．我们一起来动手、动脑玩转数学吧．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF＝°转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ，如图2．（2）证明：PQ＝BP+DQ；（3）若正方形的边长为6，PQ＝5且DQ＜CQ，求BP的长．25．（12分）已知抛物线G：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+1．（1）当m＝1时，求抛物线G的顶点坐标；（2）经探究发现：随着m的变化，抛物线G的顶点纵坐标y与横坐标x之间存在函数关系，求这个函数关系式；（3）已知点A（3，2），B（3，4），当抛物线G与线段AB有交点时，求m的取值范围．

广东省广州市天河区新昌学校2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A．方程x﹣1＝2x是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程x+2y＝1是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．方程＝3是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程x2﹣6＝7x是一元二次方程，故本选项符合题意．故选：D．2．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3．解：解方程x2﹣14x+48＝0，得x＝6或8，所以菱形ABCD的对角线为6和8，设菱形ABCD的对角线AC和BD交于O，所以AC⊥BD，AO＝OC＝4，OB＝OD＝3，由勾股定理得：AB＝BC＝CD＝AD＝＝＝5，即菱形ABCD的边长是5．故选：B．4．解：将抛物线y＝2x2向下平移4个单位，再向左平移5个单位所得直线解析式为：y＝2（x+5）2﹣4．故选：C．5．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有两个相等实数根，∴，∴a＝1．故选：C．6．解：由旋转的性质得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝35°，∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+35°＝65°；故选：B．7．解：∵y＝﹣x2+2x+2，∴a＝﹣1，b＝2，c＝2，∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1，∵，∵且二次函数图象开口方向向下自变量距离对称轴越近函数值越大，∴y1＜y3＜y2．故选：C．8．解：依题意得：3020（1+x）2＝4350．故选：C．9．解：根据题意，ab＜0，当a＞0时，b＜0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、三、四象限；此时，D选项符合，当a＜0时，b＞0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过一、二、四象限；此时，没有选项符合．故选：D．10．解：过点B作BH⊥y轴于H．在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝3，∴AH＝AB•cos60°＝，BH＝AH＝，∵∠BOH＝30°，∴OB＝2BH＝3，B（，3），由题意B1（﹣，3），B2（﹣3，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（3，0），…，6次一个循环，∵2021÷6＝336…5，∴B2021（3，0），故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：若函数有意义，则x≠0．故答案为：x≠0．12．解：设关于x的方程x2+3x+a＝0的两根分别为m、n，由已知得：，解得：n＝﹣2．故答案为：﹣2．13．解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝|x2﹣x1|，令y＝0得x2﹣2mx+2m﹣1＝0，∴x1+x2＝2m，x1•x2＝2m﹣1，则|x2﹣x1|2＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2，由抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）2得顶点坐标为P（m，﹣（m﹣1）2），抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，∴|x2﹣x1|＝2（m﹣1）2即4（m﹣1）2＝4（m﹣1）4．解得：m＝2或m＝0或m＝l．∵抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣1与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，∴2m＞0且m≠1且2m﹣1＞0，即m＞且m≠1，∴m＝2．故答案为：2．14．解：设x2﹣kx+9＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝9，∵等腰三角形的一边长为9，另两边的长是关于x的方程x2﹣kx+9＝0的两根，∴x1＝9，x2＝1或x1＝x2＝3，当x1＝9，x2＝1时，三边为9，9，1，满足三角形的三边关系，此时k＝10；当x1＝x2＝3时，三边为9，3，3，不满足三角形的三边关系，舍去；∴k＝10，故答案为：10．15．解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝20°∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，∵AE垂直平分CD于点F，∴∠DAE＝∠CAE＝20°，∴∠DAC＝20°+20°＝40°，即旋转角度数是40°，故答案为：40．16．解：如图，MN∥x轴，与y轴交于P．OP＝2，PM＝1，PN＝2，由ax2﹣x+2＝2，得ax2﹣x＝0，△＝1＞0．抛物线对称轴为直线．当a＜0时，．∴a≤﹣1．当a＞0时，x＝≤1，∴a≥，综上，满足条件的a的值为a≤﹣1或．三．解答题（共9小题，满分72分）17．解：（1）（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3；（2）2x2+5x﹣3＝0，∴（2x﹣1）（x+3）＝0，∴2x﹣1＝0或x+3＝0，∴x1＝，x2＝﹣3．18．解：由旋转的性质可知：∠B＝∠B′＝70°，∠ACA′＝52°，∵AB⊥A'C，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣70°＝20°．∴∠B′CA′＝∠DCB′+∠ACA′＝72°，故∠A'CB'的度数为72°．19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；点C1的坐标（4，1）；（2）如图，△A2B2C2即为所求；点B2的坐标（﹣3，﹣3）；（3）△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2．20．（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（a﹣1）＝（a﹣2）2≥0，∴无论a为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x＝，∴x1＝a﹣1，x2＝1．由题意可知a﹣1＞2，即a＞3．∴a的取值范围为a＞3．21．解：（1）[800﹣10×（40﹣30）]×40＝[800﹣10×10]×40＝[800﹣100]×40＝700×40＝28000（元）．答：公司应向旅行社交费28000元．（2）设这次参观学习应安排x人参加，则人均费用为800﹣10×（x﹣30）＝（1100﹣10x）元，依题意得：（1100﹣10x）x＝29250，整理得：x2﹣110x+2925＝0，解得：x1＝45，x2＝65．当x＝45时，1100﹣10x＝1100﹣10×45＝650＞500，符合题意；当x＝65时，1100﹣10x＝1100﹣10×65＝450＜500，不符合题意，舍去．答：这次参观学习应安排45人参加．22．解：根据题意，得x1+x2＝1，x1•x2＝﹣4．（1）（x1+4）（x2+4）＝x1•x2+4（x1+x2）+16＝﹣4+4×1+16＝16；（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实数根，∴x12﹣x1﹣4＝0，∴x12＝x1+4．∴x12+x2﹣3＝x1+4+x2﹣3＝（x1+x2）+1＝1+1＝2．23．解：（1）为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设y＝x2，原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，分解因式得：（y﹣3）（y+2）＝0，解得：y＝3或y＝﹣2，当y＝3时，x2＝3，解得：x＝±；当y＝﹣3时，x2＝﹣3，无解，舍去，经过运算，原方程的解是x＝±；故答案为：x2，y2﹣y﹣6＝0，x＝±；（2）实数a，b满足a4﹣3a2+1＝0，b4﹣3b2+1＝0，且a≠b，显然a2，b2是方程x2﹣3x+1＝0两个不相等的实数根，由韦达定理可知a2+b2＝3，a2•b2＝1，则a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝9﹣2＝7．24．（1）解：由翻折的性质可知：∠DAF＝∠FAC，∠BAE＝∠EAC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAD＝∠DAF+∠FAC+∠BAE+∠EAC，∴∠BAD＝2（∠FAC+∠EAC），∵∠EAF＝∠FAC+∠EAC，∴∠EAF＝∠BAD＝×90°＝45°．故答案为：45；（2）证明：如图2中，