2023年高二数学第二学期期末调研模拟试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图的程序框图，如果输入N=l（）,那么输出的S=（）

,111

A.1+-+-++——

2310

,111

B.1H-------1-----------FH----------------------------

1x21x2x3Ix2x3xxlO

,111

C.1+-+-++——

2311

11

D.1+——+-----+H----------------------------

1x21x2x3Ix2x3xxl1

2.已知函数/（九）=Acos（wx+。）卜>0,I^|<y的部分图象如图所示，其中N,P的坐标分别为（3不，-A

*0,则函数f（x）的单调递减区间不可能为（）

9兀33万

D.T,-T

3.下列说法中正确的个数是（）

①命题："X、yeR,若以一1|+仅-1=0,则x=y=l"，用反证法证明时应假设x/1或尸1；

②若a+b〉2,则。、b中至少有一个大于1；

③若一1、x、y、z、T成等比数列，则丁=±2；

④命题：“3九«0,1],使得x+，<2"的否定形式是：总有x+122"'”.

XX

A.1B.2C.3D.4

21

4.设a>0,b>0,若2。+匕=1,则一+一的最小值为

ab

A.2>/2B.8C.9D.10

JI1

5.在平行四边形ABC。中，NBAD=一,点E在AB边上，AD=AE=-AB=\,将ADE沿直线折起成

32

..A'DE,/为AC的中点，则下列结论正确的是（）

A.直线AE与直线B尸共面B.BF=g

C..A'EC可以是直角三角形D.A'CIDE

6.在AABC中，角A,B,。的对边分别是。，b,c,若Z;sin2A+J5asin8=0,b=>/2c»则一的值为（）

a

A1oI、币

A.1B.-----C.——D.-----

357

7.已知具有线性相关关系的两个变量x,3'的一组数据如下表:

X24568

y2040607080

根据上表，利用最小二乘法得到）'关于x的线性回归方程为夕=10.5X+。，贝!1。的值为（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

8.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形ABC

的斜边BC,直角边A3,AC.若A5=4,AC=3,在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（7。3）

A

B_______________C-

2316

A.—B.—

2525

2516

C.—D.

4141

9.某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据:

记忆能力x46810

识图能力y3568

4

由表中数据，求得线性回归方程为，9=若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（）

A.9.2B.9.5C.9.8D.10

10.已知随机变量之服从二项分布B（n,p）,且E（g=7,D（&）=6,则p等于（）

11.有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4,从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（）

A.78B.102C.114D.120

12.已知函数/（X）=^+2&1M-灰，若％=2是函数/G）的唯一极值点，则实数左的取值范围是（）

<2~/~1

A.—℃）,—B.一0°，5C.（0,2]D.[2,~FOO）

I4」V2J

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，正方体A3CO—A4G2中，E为线段8月的中点，则AE与所成角的余弦值为一.

14.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分

573

别为二、寸、;，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为

684

15.已知函数y=〃x)的图象在点处的切线方程是y=x+2,则/(i)+r(i)=.

16.在长方体ABCO—ABCR中，AB=O,5C=M=1>点M为线段A4的中点，点p为对角线AG上的

动点，点Q为底面ABCD上的动点，则MP+PQ的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在12件产品中，有1()件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件.

(1)共有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？

(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？

18.(12分)已知抛物线。：丁=必2(。>())的焦点为尸，直线x=2与x轴相交于点与曲线C相交于点N,且

|W|=-|FA^|

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点口的直线/交抛物线于P,Q两点，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A,求证点A

的纵坐标为定值.

19.(12分)(1)求过点「：一且在两个坐标轴上截距相等的直线方程.

(2)求过点一；：，且与直线....=0垂直的直线的方程；

20.(12分)已知函数/(x)=ML—

X+1X

(I)求函数/(幻在点(1J⑴)处的切线方程；

(口)当x>0,且xw1时，/(x)+-。-2),求a的取值范围.

X-1

21.(12分)在AABC中，角A8,。所对的边长分别为。，4c,且满足csin8=J^cosC,^一°?=2〃.

(I)求C的大小；

(II)若AABC的面积为21月，求》的值.

22.(10分)已知函数/(x)=|2x+a|—|x-l|.

(1)当a=l时，解不等式f(x)>2；

(2)当。=0时，不等式/。)>/一，一7对任意xeR恒成立，求实数，的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

分析：由题意结合流程图运行程序即可确定程序的输出结果.

详解：结合所给的流程图运行程序如下：

首先初始化数据：N=10,A=l,S=0,T=I,

第一次循环：T=-=\,S=S+T=1,Z=k+1=2,此时不满足Z>N；

k

第二次循环：7=工=」一,S=S+T=l+」一#=k+l=3,此时不满足%>N；

k1x21x2

第三次循环：T=-=—i—,S=S+T=l+」一+—!—«=2+1=4,此时不满足上〉N；

k1x2x31x21x2x3

一直循环下去,

]1

第十次循环：T=~=S=S+T=1H----1-+---■-d---------------%=斤+1=11,此

kIx2x3xxlO1x21x2x3Ix2x3xxlO

时满足Z>N,跳出循环.

则输出的S=]H----1--------F•+

1x21x2x3Ix2x3xxlO

本题选择B选项.

点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路

(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.

(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题.

(3)按照题目的要求完成解答并验证.

2、D

【解析】

利用排除法，根据周期选出正确答案.

【详解】

3117T57r37r

根据题意，设函数小)=女。式…的周期为「则二守一丁彳，所以丁=乃.因为在选项D中，区间长

度为33等7r一9等7r=3〃

97r337t

•••/(X)在区间—上不是单调减函数.所以选择D

OO

【点睛】

本题考查了余弦函数/(x)=Acos(wx+。)的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等.属于

中等题.

3、C

【解析】

根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q,利用等比数

列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误.

【详解】

对于命题①，由于x=y=l可表示为X=1且y=l,该结论的否定为“XH1或，所以，命题①正确；

对于命题②，假设且hWl,由不等式的性质得。+方42,这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；

对于命题③，设等比数列—1、%、八z、t的公比为4,则匕=才>0,，y<o.

由等比中项的性质得y2=(-l)x(T)=4,则y=-2,命题③错误；

对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选：C.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问

题和解决问题的能力，属于基础题.

4、C

【解析】

2|21

根据题意可知，利用“1”的代换，将一+:化为(一+：)(2a+b),展开再利用基本不等式，即可求解出答案。

abab

【详解】

由题意知，a>0,b>0,且加+〃=1,贝!1

-+-=(-+-)(2a+/?)=5+—+—>5+2(—X—=9

abab'ab\ab

当且仅当一=；时，等号成立，一+丁的最小值为9,故答案选C。

abab

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变

形，如构造“1”的代换等。

5、C

【解析】

（1）通过证明尸是否共面，来判断直线A'E与直线是否共面；

（2）取特殊位置，证明=L是否成立；（3）寻找AEC可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法

2

思想，说明A'C_LO£能否成立.

【详解】

如图，因为3,C,E,A四点不共面，所以面ABC,故直线4E与直线B尸不共面；

△小）£沿直线。£折起成4。£,位置不定，当面4。七_1_面3。。后，此时8尸片（；

取。E中点，连接AG,CG,则A'G_LDE,若有AC_LOE,则OE_L面ACG

即有DE_LCG,在R&DGC中，C0=2,OG=L,NC£>E=6O”明显不可能，故不符合；

2

在一AEC中，AE=1,CE=5而AC=5>2,所以当A'C=2时，一AEC可以是直角三角形；

【点睛】

本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意

在考查学生的直观想象和逻辑推理能力.

6、C

【解析】

在8sin2A+&。sin8=0中利用正弦定理和二倍角公式能求出角A，再依据余弦定理列出关于角A的关系式，化简

即得.

【详解】

■:bsin2A+sinB=0，

.,.由正弦定理可得sinBsin2A+A/2sinAsinB=0，即2sinBsinAcosA+>/2sinAsin8=0•

5

由于sinBsinAH0,:.cosA=——.V0<A<万，

2

A=—.又。=^2c»

由余弦定理可得"4-c2一28ccosA=2c°+c2+2c2=5c2>>,•—=^~.故选C.

a5

【点睛】

本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换.

7、B

【解析】

回归直线经过样本中心点（x,切.

【详解】

样本中心点为（5,54）,因为回归直线经过样本中心点，所以54=10.5x5+。，。=1.5.

故选B.

【点睛】

本题考查回归直线的性质.

8,D

【解析】

首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.

【详解】

解：因为直角三角形ABC的斜边为3C,45=4,AC=3,

所以AC?=AC2+.2=42+32=25,

以8C为直径的圆面积为»［生］=—,以AB为直径的圆面积为乃（丝］=啊，以AC为直径的圆面积为

（2J4I2J4

q21A211］（S、2

所以图形总面积5=二万x上+土乃x±+±x3x4=—+6,S阴用=S—上万•三=6,所以

424228阴12y2）

p=S阴影=6_|6

'S-25万—41•

-----hO

8

故选：D

【点睛】

本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.

9、B

【解析】

…附八上-4+6+8+10-3+5+6+811114.1841

试题分析：x=----------------=7,y=-----------=—；.—-—x/+a:.a=------/.y--x------

4422510510

当x=12时y=9.5

考点：回归方程

10、B

【解析】

分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于〃和

P的方程组，解方程组得到要求的两个未知量.

详解：随机变量W服从二项分布《〜B（n,p）,且E©=7,D©=6,

贝！j由=7=np,=6=np（A-p）,

可得P=g，«=49.

故选B.

点睛：本题主要考查二项分布的期望与方差的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相

反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式.

11,C

【解析】

分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四

张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中

有3个重复数字，则重复数字为1,分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论.

详解：根据题意，分四种情况讨论：

①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；

此时有A：=24种顺序，可以排出24个四位数.

②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2,

若重复的数字为1,在2,3,4中取出2个，有C；=3种取法，安排在四个位置中，

有&=12种情况，剩余位置安排数字1,可以排出3x12=36个四位数

同理，若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字：

③若取出的四张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有C：=6种情况，

剩余位置安排两个2,则可以排出6x1=6个四位数；

④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1,在2,3,4中取出1个卡片，

有C；=3种取法，安排在四个位置中，有C；=4种情况，剩余位置安排1,

可以排出3x4=12个四位数，则一共有24+36+36+6+12=114个四位数，故选C.

点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两

个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题

过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨

论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

12、A

【解析】

由f(x)的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.

【详解】

解：•••函数/(X)的定义域是(0,+8)

XXX

,:X=2是函数的唯一一个极值点

...x=2是导函数/'(x)=0的唯一根，

:.炉一代2=0在(0,+8)无变号零点，

即％=*在xX)上无变号零点，令g(x)=*,

因为g'(x)=°'(x12),

所以g(x)在(0,2)上单调递减，在x>2上单调递增

所以g(x)的最小值为g(2)=?,

所以必须心上，

4

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数的导函数确定极值问题.对参数需要进行讨论.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

以。为原点，04为x轴，OC为y轴，05为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与CDi所成角的余

弦值.

【详解】

以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，£>"为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A/iGOi中棱长为2,

则A(2,0,0),E(2,2,1),C(0,2,()),Dt(0,0,2),

AE=(0，2,1),CD、=(0,-2,2),

设AE与CDi所成角为e,

AE与CDi所成角的余弦值为巫

10

故答案为巫.

10

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

一191

]4、---

192

【解析】

先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A,再根据对立事件概率关系求结果.

【详解】

5731

这位考生三门科目考试成绩都不是A的概率为-)(1-^-)=—,

1191

所以这位考生至少得1个A的概率为1--=—

192192

故答案为：.191

【点睛】

本题考查利用对立事件求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

15、4

【解析】

■:函数y=/(X)的图象在点M(I,/(I))处的切线方程是y=X+2

.•.八1)=1,/(1)=1+2=3

“⑴+/")=4

故答案为4

3

16、-

4

【解析】

画出图形，利用折叠与展开法则使和在同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，即可求得MP+PQ的最小

值.

【详解】

当MP+PQ的最小值，即p到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和.Q为底面ABCD上的动点，当。是P

在底面上的射影，即是PQ最小值.

展开三角形ACC｝与三角形A4G在同一个平面上,如图：

长方体A5CQ-44G2中，ABf，8C=A4|=1

222

长方体ABCD-A.B^D,体对角线长为:AC[=7(V2)+1+1=2

在RfAAC/中:sinNC|A4=；故NgAg=30

二.ACG=A4G故NCAG=30

/CAB】=60°

过点“作MQJ_AC,MQ即为MP+PQ最小值.

在RtMQM,MQ=立5^60°=-

24

3

故答案为:：.

4

【点睛】

解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些条件发生了变化，哪些条件没有发

生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)220；(2)90；(3)100.

【解析】

(1)从这12件产品中任意抽出3件，是组合问题，利用组合数的定义可得出结果；

(2)抽出的3件中恰好有1件次品是指2件正品，1件次品，利用组合计数原理和分步计数原理可得出结果；

(3)在12件产品中任意抽出3件的抽法种数减去3件产品全是正品的抽法种数，用间接法求解.

【详解】

(1)从这12件产品中任意抽出3件，共有C；2=220种不同的抽法；

(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法，是指2件正品，1件次品，有G%C；=90种不同的抽法；

(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数，可以在12件产品中任意抽出3件的抽法种数减去3件产品全是正品的

抽法种数，

因此，共有g-G1=220-120=100种不同的抽法.

【点睛】

本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

18、(1)f=2y；(2)证明见解析

【解析】

(1)根据抛物线定义得=再根据点N坐标列方程，解得结果，(2)利用导数求切线斜率，再根据切线方程

解得A点纵坐标，最后利用直线与方程联立方程组，借助韦达定理化简A的纵坐标.

【详解】

解：(1)由已知抛物线。：炉=1共4>0)的焦点尸(0,，-1，

由阿M/FNI，得网=力脑7|=胸|+--,即

因为点N(2,4a),

所以工=4a，a>0..a--,

a2

所以抛物线方程：犬=2)，

(2)抛物线f=2y的焦点为

设过抛物线/=2)，的焦点的直线为y=Ax+g.

设直线与抛物线的交点分别为尸，

f=2y

由1，消去)'得：/_2"_1=0,根据韦达定理得再々=-1

y=kx+—

I-2

抛物线f=2y,即二次函数y=g》2,对函数求导数，得y'=x,

所以抛物线在点P处的切线斜率为4=司

可得切线方程为y-y=不（》一石），化简得y=,

同理，得到抛物线在点。处切线方程为y=《门，

两方程消去x,得两切线交点A纵坐标满足力=竽，

X|X2=-1,

.•.%=—:，即点A的纵坐标是定值—L.

22

【点睛】

本题考查抛物线方程、抛物线切线方程以后利用韦达定理求值，考查综合分析求解能力，属中档题.

（2）

19、⑴；.3v=0§Jcv..7=0••2',7=0

【解析】

（1）需分直线过原点，和不过原点两种情况，过原点设直线-=k>,不过原点时，设直线，然后代入

点求直线方程；（2）根据垂直设直线的方程是：+2,..=「代入点求解.

【详解】

解：（1）当直线过原点时，直线方程为：4,3y=r；

当直线不过原点时，设直线方程为丫+丫=匚，

把点二三名代入直线方程，解得,_7，

所以直线方程为；+i_7=:

<2）设与直线人a_7+1=0垂直的直线1：的方程为：l+21+巾=0,把点血2次入可得，3+2x2=”，解

得工=丁.••过点一3口，且与直线/垂直的直线方程为：，，-：7=°.

【点睛】

本题考查了直线方程的求法，属于简单题型.

20、（I）x+2y-3=0;（n）-l<a<2.

【解析】

(I)对函数求导，再令x=l,可求得尸(1)=-,，回代可知/(力=坐+,，由导数可求得切线方程。(口)由

2x+1x

“X)---7=-221nx+——，令g(x)=21ax+上二匚由导数可知——在x>0,且XH1时恒成

X11%I尤/冗1X

——/\"、Inx2111r1八，

立。下证力(x)=/(x)-----=-——7+->0»所以。一_々_2«0。

x-11-xx

【详解】

(I)函数/(X)的定义域为(0,+8)

X+11

-Inx2/(1),

因为r(x)x+

(X+1)2X2

所以尸(l)=g+2/'(l),即/=

X+1]

lax1-Irvc

所以一(X)----+—1

-2

x+1x厂

令X=l,得/⑴=1,所以函数/(X)在点(1,7(1))处的切线方程为

y-l=-1(x-l),即x+2y-3=0.

⑷因为八)一探占21nx+]-^-

X

]_%2-X2+2X-1(X-1)2

令g(元)=21nx+———,则g'(x)------------------------=——---------------9

X2X2

因为XH1,所以g'(x)<0,所以g(x)在(0,1),(1,+8)上为减函数,

又因为g(l)=0,所以,

当x>l时，g(x)<g(l)=0,此时，」T-g(x)>0；

当0cx<1时，g(x)>g(l)=0,此时，j?(x)>0,

假设〃(x)=〃x)-电二=久号+,有最小值。3>0),贝”2(X)-匕20,

XJLJ.XX

口r21nx17、八

即----+——b>0.

1-xx

若力>1,当次6］：,，时，/z(x)-Z?<0；

若0<Z?Wl,当时，h(x)-b<0,所以，不存在正数6,使/2(X)26.

Inx

所以，当x>0,且XH1时，/(%)——