2023-2024学年安徽省滁州市定远县高二分层班下册期末数学（理）试题（含解析）

2023-2024学年安徽省滁州市定远县高二分层班下册期末数学（理）

试题

一、单选题

1.某运动会乒乓球团体比赛要求每队派三名队员参赛，第一盘为双打，第二、三、四、五

盘为单打，每名队员参加两盘比赛.已知某队的三名队员均可参加单打和双打比赛，在打满

五盘的情况下，该队不同的参赛组合共有（）

A.24种B.36种C.48种D.72种

【正确答案】B

【分析】先从3人中选出2人参加第一盘双打，再这2人再后四盘中各选一场单打，剩余一

人参加剩余的两盘单打求解.

【详解】先从3人中选出2人参加第一盘双打，有C；种选法，

这2人再从后四盘中的参加一场单打，剩余一人参加剩余的两盘单打，有A：种选法，

所以由分步计数原理知：共有C；xA；=36种不同的参赛组合.

故选：B

展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（)

A.210B.180C.90D.45

【正确答案】B

【分析】根据题意，得出二项式的指数〃的值，再利用展开式的通项公式求出常数项.

【详解】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共

11项，故”=10,

通项公式为”.（石厂国=2P；°x咛

当5-^=0,即r=2时为常数，此时看=22%=180

所以展开式的常数项是180

故选：B.

3.已知随机变量X服从二项分布X〜8（4,；）,P（X=2）=（）

【正确答案】D

【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.

【详解】：随机变量X服从二项分布X〜8(4,1),

•・•唳=2)=王©{1事.

故选:D.

4.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停

止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为pe(0,1),发球次数为X,

若X的数学期望E(X)>1.75,则P的取值范围是()

A.(*)B.即A词D.

【正确答案】C

【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解E(X)>1.75,可解出P值.

【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p,即MX=l)=p,发球次数为2即二次

发球成功的概率为P(X=2)=(1-p)p,发球次数为3的概率为尸(X=3)=(l-p/，则期望

E(X)=p+2P(l-p)+3(l-p)2=p2_3p+3,依题意有E(X)>1.75,

即p2-3p+3>1.75,解得或"g,结合p的实际意义，可得

故选：C.

5.2021年开始，某省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除物理语文、数学、外语3门

必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考

科目.为了帮助政治学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩

放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是()

物理

历史

——甲同学成绩

--年级平均分

A.甲的物理成绩领先年级平均分最多

B.甲有2个科目的成绩低于年级平均分

C.甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史

D.对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果

【正确答案】C

【分析】根据雷达图，判断甲各科成绩与年级平均分的高低，以及各科成绩的高低，进而可

确定理想的选科组合，即可判断各选项的正误.

【详解】A：由图知：甲的物理成绩领先年级平均分1.5分左右，比化学、地理要高，正确;

B：其中有政治、历史比年级平均分低，正确；

C：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、物理或生物，错误：

D：由C知：物理、化学、地理对于甲是比较理想的一种选科结果，正确；

故选：C.

6.数列｛《,｝满足4=1,且对任意的加,"€1＜都有。„1+,=4”+4+机〃，则

201400—200199

1•---B.---C.—D.---

101201201200

【正确答案】A

【分析】令洲=1得。向=%+〃+1,由累加法求得勺="^,贝1」《=2（一一三），再由

裂项相消求和即可.

【详解】己知册+“=4+勺+旭」，令加=1可得%+]=6+4+〃=4+〃+1,则刁N2时,

%一%=〃，%+限=〃-1，

L,%-〃2=3,出一％=2,将以上式子累加可得—q=〃+〃一1F3+2,则

an=/?+«-1+•••+3+2+1=(.+11,n-1时也符合,

〃2

+J_2=2)

则知=----------，,则

2〃+1)〃In77+1

1111r八11111

4--+—+…+-------=2x1-----F----------F•••+------------

7

%〃201(223201202

201

2x1

20210?,

故选：A.

7.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两

个正数之和为（)

A.13-B.11-C.10-D.10

242

【正确答案】B

工4，运算求解.

【分析】根据等差中项和等比中项概念可得

【详解】不妨设插入两个正数为〃力，即3,见上9

・・・3,〃力成等比数列，则/=3b

。，仇9成等差数列,则a+9=2b

9

a--

工深解得2或a=—3

即《。=3（舍去）

L27

O=—

4

451

则a+b=」=ll—

44

故选：B.

8.为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测

量.设该药物在人体血管中药物浓度。与时间，的关系为。=/。），甲、乙两人服用该药物后,

血管中药物浓度随时间/变化的关系如下图所示.给出下列四个结论错误的是（）

A.在4时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

B.在为时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；

C.在也,可这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

D.在M，4］，,4］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

【正确答案】D

【分析】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，根据图象可知，在乙时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结

论正确.

B选项，根据图象以及导数的知识可知，在4时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化

率不同，

B选项结论正确.

C选项，根据图象可知，在心4］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率

相同，

C选项结论正确.

D选项，根据图象可知，在,冉］这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于

在也由］这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率

D选项结论错误.

故选：D

9.已知函数/■(x)=x"+lnx,若lim/(l+2Ar)_〃l)=_2,则机=()

A3©

A.-1B.-2C.-3D.-5

【正确答案】B

【分析】求出/'(')=加”一+1,再利用导数的定义可得/'⑴=7,进而代入/'(X)求解即

可

【详解】因为〃x)=x"'+lnr,贝lj/'(x)=mx"i+g,所以

如/(1+2狗-/0)=2画/(—0八)=2/，()=-2，故/,⑴=-1.故，"+1=-1,解

At->0Ax8句2XX

得加=—2

故选：B.

10.已知/")=2/+(。-2)/一3》为奇函数，则曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程

为()

A.3x—y—2=0B.3x—y-4=0C.3x+y-2=0D.3x+y-4=0

【正确答案】B

【分析】先由奇函数求得a=2,进而求出/⑴=T,再求导求出/'(1)=3,由点斜式方程

写出切线方程即可.

【详解】由/")+/(-力=0可得2/+(〃-2)£-3》+2(-4+(”2(-@2一W7=(，整

理得2(°-2)/=0,则〃=2；

则/(x)=2xL3x,f\x)=6x2-3,=八1)=3,则曲线》=/(x)在点(1J⑴)处

的切线方程为V+l=3(x-l),整理得3x7-4=0.

故选：B.

11.已知函数“劝=洲+公,则不等式/(Inx)〈/⑴的解集为()

A.(e,+<»)B.(0,e)C.(g，e)D.(O,：)u(l,e)

【正确答案】C

【分析】先判断函数〃x)的奇偶性，利用导数判断函数的单调区间，根据单调性及奇偶性即

可求解.

【详解】解：由题可知，/(-x)=eT+(-x)2=/(x),且xeR,

故函数/(x)为偶函数，/(0)=1,

当x〉0时，/(x)=ev+x2,f'(x)=eA+2x>0,

故fM在区间(0,y)单调递增，在区间(-*0)上单调递减,

因为f(lnx)vf⑴,故-Ivlnxvl,解得xe

故选：C.

12.定义：在区间/上，若函数y=/G)是减函数，且y=M(x)是增函数，则称y=/(x)在

区间/上是“弱减函数”，根据定义可得()

A./(x)=，在上是“弱减函数”

X

B./(%)=?在(2,3)上是“弱减函数”

C.若/(x)=电土在(加,+8)上是“弱减函数”，则〃?21

xe

jr2]

D.若/(x)=cosx+Ax2在(0,彳)上是“弱减函数”，则丁WkW—

23冗冗

【正确答案】D

【分析】由题目中所给“弱减函数''的定义，直接判断单调性即可判断A选项；求出导数判

断单调性即可判断B选项；将问题转化为导数恒成立问题进而求出参数范围即可判断C、D

选项.

【详解】对于A,在(0,+8)上，〃x)=工是减函数，尸切(x)=l为常数函数，则〃苫)=,在

XX

(0,+8)上不是“弱减函数”，A错误；

对于B,在(2,3)上，八幻=匚/=口<0,则〃x)=?为减函数：y=#Q)=广，则

eee

y,二2xe『e，j(2x)<o,则y=M(x)=片为减函数，B错误；

ee'ev

InYInx

对于C,若/(x)=吧在(九w)上是“弱减函数。显然相>0,则/(幻=上土在(私+A)上

XX

单减，

则/'(X)=-一坐K0在上恒成立，则1一In加40,解得m>e；y=xf(x)=加x在(加,+8)

x

上单增显然成立，故mNe；C错误；

■7TTF

对于D,若/(R)=COSX+AX2在(0,5)上是“弱减函数"，则/0)=85工+公：2在(0,5)上单减,

则/'(X)=-Sinx+2Ax<0在(0,5)上恒成立，

nd0,,$inxA/xsinx小冗、，/、xcosx-sinx人

则2,4^^,令g(x)=——,xe(0,y),则ntlg(x)=-----------,令

.71

h(x)=xcosx-sinx,xe(0,y),

则〃(x)=cosx_xsinx_cosx=_sinx<0,则〃(/)单减，/i(x)</z(O)=O,则g'(x)<0,g(x)

单减，则g(x)>gO：,则2无解得445；

rrjr

y=xf(x)=xcosx4-Ax3在(。，彳)上单增，则y'=cosx-xsinx+3fcv2>0在(0,彳)上恒成立，

口”“xsinx-cosx

人/、xsinx-cosx小冗、

令E(x)=--------2--------/£(0,彳)，则nil

x2

x2(sinx+xcosx+sinx)-2x(jsinx-cosx)(x2+2)cosx

f'(x)=0,则心）单增,

x4x3

则f(x)v/W1=2,则3A22,BPA>—,综上可得ZjvLD正确.

V2yn兀3Tt3nn

故选：D.

二、填空题

13.2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”

和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：

志愿者类型所需人数备污；

采访者10男女比例为1:1

讲述者5男、女比例不限

现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有个.

【正确答案】16003008

【分析】根据已知条件及组合的定义，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】由题意可知，现有10名女生，10名男生报名，一共20人报名，完成这件事情要

分三步进行：

第一步，先从10名女生中选5名去当采访者，有C：。=252个;

第二步，再从10名男生中选5名去当采访者，有C；。=252个;

第三步，最后从剩下的10人中选5名去当讲述者，有C；。=252个;

所以符合要求的方案有C；。xJxC；°=252x252x252=16003008个

故答案为.16003008

14.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉

丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面.已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为

90%.现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下

用该设备进行检测，检测结果有90%的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测

结果也有5%的可能为不合格.现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测，则检测结

果为合格的概率是.

173

【正确答案】0.865##丽

【分析】记事件/：检测结果为合格，记事件8:产品为正品，利用全概率公式计算出户（7）,

再利用对立事件的概率公式可求得「（/）.

【详解】记事件上检测结果为合格，记事件8:产品为正品，

则P（彳同=0.9,尸回8）=0.05,尸⑻=0.9,

由全概率公式可得P（］）=P⑵P（司司+-8）@=0.1x0.9+0.9>0.05=0.135,

所以，检测结果为合格的概率为P（N）=1"（彳）=0S65.

故答案为.0.865

15.已知等比数列｛4｝各项均为正数，%=1,出、4为方程努+加4+16=0（旭为常数）的

两根，数列｛%｝的前"项和为S,,且4=bg^（S,+l）,求数列一的前2022项和为

也,TJ

【正确答案】季

4045

【分析】首先根据条件求得等比数列｛%｝的前n项和为耳，代入力中可看出可以通过裂

项相消法求和.

【详解】等比数列｛4｝中心、①为方程/+”》+16=0的两根

a2-aA=16,

设数列｛4｝的公比为q,则q>0,且数列=16

又q=1,所以g=2,

所以SJ(J2")=2-

"1-2

/.b“=唾血(S“+1)=log"=2〃

___?___=_>(_]____L)

••片-14/?2-l(2n-l)-(2n+l)2(2”-l2n+\)

1

.••数列,的前2022项和

f-1.

丁If,1111111)112022

2022-21.-3+3-5+5-7+........+4043-4045?!--4045J—4045

2022

故答案为.

4045

16.已知直线y=f分别与函数〃x)=4x+l和g(x)=31nx+x的图象交于点4,8,则|4司的

最小值为___________

【正确答案】1

【分析】先证明〃x)>g(x),设8(4],则可用6表示|“邳，结合人⑺的性质可求|/邳的

最小值.

【详解】先证明：f(x)>g(x),

证明：iSA(x)=/(x)-g(x)=4x+l-31nx-x=3x-31nx+l,

故

X

当0<x<l时，/?'(x)<0,当x>l时，〃(x)>0,

故6(x)在(0,1)为减函数，在(1,+⑹上为增函数，

故MOmin=A⑴=4>0,故/(X)>g(x).

设8(6,1),则/>>0且31nb+6=4与+1即/=科子二1,

,,I,3\nb+b-\3b-3\nb+l

i^\AB\=b-xA=b---------------=--------------,

由Mx）的性质可得当且仅当6=1时等号成立，故|居心=1,

故1.

三、解答题

17.已知数列｛凡｝的前〃项和为S“，%=-9,且S.M+5,T=2S“+2（〃22）.

⑴求数列｛““｝的通项公式;

（2）已知〃,=」一，求数列也,｝的前〃项和

anan+\

【正确答案】⑴a-3

⑵心

【分析】（1）根据a„=以及Sn+l+S,i=以+2（〃22）可得该数列是等差数列，然后

根据等差数列的《、d写出数列的通项公式即可.

（2）有题意可知4=（2〃_13）；2"二11）'然后根据裂项求和即可求得

【详解】（1）解：由题意得：

由题意知（5„+1-\）-（5„-S„.I）=2,则all+l-a„=2（n>2）

又%-q=2,所以｛叫是公差为2的等差数列，则%=4+（〃-1"=2〃-13；

,1\（11、

（2）由题知“=（2〃-13）（2〃-11）=42〃-132〃-lJ

n

~121-22«

18.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门召集了100名家用轿车驾驶员进行

调查，得到其在高速公路上行驶时的平均速度情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超

过80km/h的有40人,不超过80km/h的有15人，在45名女性驾驶员中，平均车速超过80km/h

的有20人，不超过80km/h的有25人.

(1)①完成下面的列联表:

平均车速超过80km/h平均车速不超过80km/h合计

男性驾驶员

女性驾驶员

合计

②判断是否有99%的把握认为平均车速超过80km/h与性别有关.

附：临界值参考表的参考公式

2

P(K>K0)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

Kn

一-其中〃=a+6+c+d)

(a+6)(c+”)(a+c)(b+d)

(2)以上述样本数据估计总体，在高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车

均为男性驾驶员且车速超过80km/h的车辆数为X,求X的分布列和数学期望反㈤.

【正确答案】(1)有99%的把握认为平均车速超过80km/h与性别有关.

(2)分布列见解析，£W=1

【分析】(1)熟悉2x2列联表的长2计算公式，再结合表格所给数据进行判断.

(2)由频率估计概率，将问题转化为二项分布，再用通法求数学期望，也可直接用二项分布

的数学期望公式求解.

【详解】(1)完成的2x2列联表如下：

平均车速超过80km/h平均车速不超过80km/h总计

男性驾驶员401555

女性驾驶员202545

合计6040100

^2=100x(40x25-15x20/249/.635

55x45x60x40

有99%的把握认为平均车速超过80km/h与性别有关.

(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，

平均车速超过80km/h且为男性驾驶员的概率为高=|,故X8(3,1

尸―。卜啸【曾喂,尸(…=需用喂；

P(X=2)=C；

所以X的分布列为

X0123

2754368

P

125125125125

…、人27,54-36、86

E(X)=0x----1-1x---F2x----1-3x---=—

1251251251255

19.已知(l+2x)"的展开式中，所有项系数之和为729.

(1)求n的值以及二项式系数最大的项;

<，2

(2)^(l+2x)=a0+a,x+<72x+---+anx",求旬+七+…+。”的值.

【正确答案】(1)〃=6,二项式系数最大的项为1601；

(2)365.

【分析】(1)根据所有项系数之和先求出〃，即可得到二项式系数最大的项;

(2)对等式赋值，x=\,x=-\,将得到的等式相加即可解出.

【详解】(1)；(l+2x)”的展开式中，所有项系数之和为729,

.\(1+2)"=729,

所以〃=6,

所以(1+2x)6的通项公式为=q(2x)’，

故当，。=3时，二项式系数C：最大，

此时所求项为7；=C：(2x)3=160/；

(2)令x=l得：为+q+々+…=3',

令x=-1得：/—q+%----4=1，

两式联立得.旬+的---1■%=365

20.已知函数/(x)=d-2x?+x.

⑴求函数N=/(x)在区间［0,2］上的最大值：

(2)过原点。作曲线y=/(x)的切线，求切线的方程.

【正确答案】(1)最大值为2

(2»=x或…

【分析】(1)求导/。)=3/-41+1=(3》-1)。-1),求得极值和端点值求解;

(2)令切点为(%,%),求得切线方程，然后由切线过原点求解.

【详解】(1)解：由题意得/'(X)=3--4x+l=(3x-l)(x-l),

当x>l或x<；时，f'(x)>0,当;<x<l时，f\x)<0,

所以/(x)在0,；和［1,2］上单调递增，在［0,1］上单调递减，

因为/(£|=/</(2)=2,

所以函数N=/(x)在区间［0,2］上的最大值为2；

(2)令切点为(x0,%),

因为切点在函数图象上，所以盟-2x：+%,/'(Xo)=3x；-4xo+l,

所以在该点处的切线为y-(x；-2x；+x0)=(3*-4x。+l)(x—x0)

因为