2023-2024学年广东省揭阳市南山中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年广东省揭阳市南山中学高一数学理期末试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.(4分)为了研究性格和血型的关系，抽查80人实验，血型和性格情况如下：0型或A

型者是内向型的有18人，外向型的有22人，B型或AB型是内向型的有12人，是外向型

的有28人，则有多大的把握认为性格与血型有关系()

参考数据：

2

P(K^k0)0.50.100.0100.001

ko0.4552.7066.63510.828

参考答案：

A.99.9%B.99%

C.没有充分的证据显示有关D.1%

【答案】

【解析】

考点：独立性检验.

专题：计算题；概率与统计.

分析：求出值查表，根据选项可得答案.

80(18X28-12X22)2

解答：VK2=30X50X40X40^1.92<2,706,

又OP(K2^2.706)=0.10；

故没有充分的证据显示有关.

故选C.

点评：本题考查了独立性检验，属于基础题.

2.定义在R上的函数满足不巧，(4,、)，则下面成立的是()

A./(a)>/(2a)B,

C.+D.f(a^>f{a2)

参考答案：

B

略

、

一，

3.已知等差数列1J的前”项和为$・，

勺=3=15r贝U数歹U的前ioo项和为

()

10099

A101B.101c.

99101

100D.WO

参考答案：

A

4,函数/(x)=5inx-版。sx(xe[一”<力的单调递增区间是

5n..5

r[-兀-7-][---r-6]”丁1.

A.6B.€D

r“A.

t>

参考答案：

D

5卡,函数=的图；象大致是

东卡

ABCD"

参考答案：

A

2

6,弧50-1)3,7(lg2-l)=)

A.21g5B.0C.-ID.-21g5

参考答案：

B

【考点】对数的运算性质.

【分析】利用对数性质、运算法则求解.

【解答】解：W(lg50-1)3_J(lg2-1)2

=lg50-1-(1-lg2)

=lg5-l+lg2

=0.

故选：B.

7.已知3为第三象限角，则下列判断正确的是()

A.tantf<0B.sin0cos^<0

C.cos。D.tai^<0

参考答案：

D

【分析】

根据G为第三象限角，先判断End,向488〃的符号，再选择.

【详解】因为,为第三象限角，

所以06>0,而

所以Gn0t3n〃<O.

故选：D

【点睛】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题.

，(4=」一号3*

8.函数x-1的定义域是()

A.(0,+oo)B.(0,l)U(l,+oo)C.(0,1)D.(l,+oo)

参考答案：

B

(X-1#0

由解1x>0,得x>0且xrl.

1

二・函数f(x)=x-1+lgx的定义域是(0,1)U(1,+oo).

故选：B.

sinx

9

9.函数f(x)=x"+l的图象大致为()

参考答案：

A

【考点】函数的图象.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值

的符号，从而即可得出正确选项.

【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C,D两个选项；

又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，

当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B,A选项

符合，

故选A.

【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶

性，再研究某些特殊值.

io.下列函数中，不满足/QQ=?户口)的是()

A,(幻=卜|c.D.

7Bl/(x)=x-|x|/(x)=x+l

/（X）=-x

参考答案：

c

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.在等差数列｛a“｝中，q〉。s4=%,当s,最大时，〃的值是.

参考答案：

6或7

【分析】

利用等差数列的前R项和公式，由瑞=%,可以得到q和公差d的关系，利用二次函数

的性质可以求出S-最大时，”的值.

【详解】设等差数列的公差为4,

4x3

=4^f—rf=9^I—rf=>（^=

22

v^>0..rf<0

因为d<0,zieM,所以当”=6或”=7时，S.有最大值，

因此当”的值是6或7.

【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了等差数列的前。项和最大值问题,

运用二次函数的性质是解题的关键.

12.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

X・・・-10123.・・

・・・・・・

y105212

则当y<5时，x的取值范围是—

参考答案：

0<x<4

略

13,直线。与圆/+/+2y=°相切，且与直线Zj：3x+4>y-6=°平行，那么直线4的方

程是；

参考答案：

T或9

略

（J）T+1oo32）+ln>/7+Iog,8Dog4密

14.计算9-________.

参考答案：

略

15.扇形的圆心角为2弧度，半径为12cm,则扇形的面积是L

参考答案：

1085-

S=-lr-108cwJ

扇形的弧长/=3=18c冽，所以扇形的面积为2。

16.已知正三棱锥P—ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上，若PA,PB,PC两两相互

垂直，则球心到截面ABC的距离为.

参考答案：

曲

3

略

17.（5分）在Rt^ABC中，C=90°,AC=4,则标?菽等于.

参考答案：

16

考点：平面向量数量积的运算.

专题：平面向量及应用.

分析：由题意可得屈?菽=|屈？菽|?cosA=|菽|?|菽I，由此可得结果.

解答：RtZkABC中，C=90°,AC=4,

则屈?菽=|屈|?|菽|?cosA=|菽|?|菽|=IAC|=16,

故答案为16.

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的投影，属于中

档题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数/（幻=。朽7+6立+>/^的最大值为g（。）.

（1）设］=而+求。的取值范围；

（2）求g（。）.

参考答案：

解:⑴令"疝7+了7,要使£有意义，必须1+x“且1-X20

即//a=2+2>/1-xae［2»4］又•.”20

..二的取值范围〔小二1

Jl-x'=—ia-1

⑵由⑴知

,、m（i）--al2+l-are[击⑵

由题意知g5）即为函数2的最大值.

__2

注意到直线’是函数…⑥的对称轴,分以下几种情况讨论.

①当4>0时,丁=附⑴在£W[0.2）上单调递增.

/.g(a)=M2)=4+2

②当4=0时m(f)=tt€[y/2.2],\g(a)=2

③当4<。时函数y=•11[\石，]的图象开口向下的抛物线的一段.

।（2

i）若"丁©业即则后二=附（隹）=0

ii）若…卜应⑵.旦行」

，即22时,则a2a

、

Z=--1e(2m,+co)一1<dr<0A/、小，c

iii)若。，而2时，则g(a)=M2)=a+2

O+2(a>-j)

g(a)-

[0(a4-孝)

综上:有

19.已知平面上三点A,B,C,BC=(2-k,3),AC=(2,4).

(1)若三点A,B,C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；

(2)若△ABC中角A为直角，求k的值.

参考答案：

【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用.

【分析】(1)A,B,C不能构成三角形，从而可得到A,B,C三点共线，从而有

BC//AC,这样根据平行向量的坐标关系即可得出关于k的方程，解方程即得实数k应满

足的条件；

(2)根据点=正+不可求出向量标的坐标，而根据A为直角便有ABLAC,从而可得到

AB-AC=O,这样即可建立关于k的方程，解方程便可得出k的值.

解：(1)由三点A,B,C不能构成三角形，得A,B,C在同一直线上；

即向量前与菽平行；

/.4(2-k)-2X3=0；

1

解得k=2;

(2)VBC=(2-k,3),.*.CB=(k-2,-3)；

Al，=A'+'：?=(k,1)；

当A是直角时，AB±AC,即屈?而=0；

/.2k+4=0；

/.k=-2.

【点评】考查三点可构成三角形的充要条件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法和数

乘运算，向量垂直的充要条件，以及数量积的坐标运算.

20.已知图,0),B(0,l),a8sa,sjna)且

(1)。为坐标原点，若10月一℃|=1,求角仪的大小;

ACBC=\.,

(2)若，求cos2比的值.

参考答案:

解：⑴•J8-OC|=L

(cosa-1)i+sin2a=I...........2分

1

cosa=一

二，.........4分

n

:.a=一

v0<a<^,3..................6分

ACBC=-

(2),/3

..(cosa-Lsina)(cosa,sina-1)=—

.........8分

sma+cos&=­:.sm2a二——

整理得：3,9,..................io分

27F3”

sma+cosa二—<a<一/r<2a<—

由3可知,24,2

12分

略

21.手机支付也称为移动支付0fcMenymaO,是指允许移动用户使用其移动终端(通

常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付

后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁

的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100

个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直

方图.

组数第1组第2组第3组第4组第5组

分组[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)

频数203630104

缪

碓

01525154$$565年小

(1)求尤；

(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1,3,4组抽取的人数：

(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.

参考答案：

(l)X=0030；(2)第1组2人，第3组3人，第4组1人；(3)15

【分析】

x=30x—X—^0030

(1)直接计算10010

(2)根据分层抽样的规律按照比例抽取.

(3)设第1组抽取的2人为4,4,第3组抽取的3人为叫，%斗，第4组抽取的

1人为C,排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案.

【详解】解：(1)由题意可知，

x=30x—xA=o(nO

10010

£

(2)第1,3,4组共有60人，所以抽取的比例是10

20XA=230XA=3

则从第1组抽取的人数为10