数列题型分类归纳(第一版)

数列题型分类归纳等差数列题型、等差数列的性质1、〔整体求解思想〕一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求2、在等差数列中，假设，是数列前项的和，那么等于〔〕A.48B.54C3、两个等差数列和的前项和分别为和，且，那么使得为整数的正整数的个数是〔〕A.2B.3C高考题1、〔2012求公差、等差中项〕.福建2等差数列中，，那么数列的公差为〔〕A．1B．2C2、〔2012江西12〕〔等差中项、整体代换〕.设数列{an},{bn}都是等差数列，假设a1+b1=7，a3+b3=21，那么a5+b5=___________3、(2009安徽卷文〕为等差数列，，那么等于A.-1 B.1 4、〔2009湖南卷文〕设是等差数列的前n项和，，，那么等于()A．13B．35C．49D．635、〔求公差、待定系数法〕〔2009福建卷理〕等差数列的前n项和为，且=6，=4，那么公差d等于A．1BC.-2D36、〔求公差〕〔2009辽宁卷文〕为等差数列，且－2＝－1,＝0,那么公差d＝A.－2B.－C.D.27、〔2009宁夏海南卷文〕等差数列的前n项和为，，,那么A.38B.20C.10D.98、〔2009全国卷Ⅰ理〕设等差数列的前项和为，假设,那么=9、〔2009全国卷Ⅱ理〕设等差数列的前项和为，假设那么10、〔2009辽宁卷理〕等差数列的前项和为，且那么题型、等差数列的通项公式1、〔2012〕.广东11.递增的等差数列满足，那么题型、等差数列的求和1、〔2012数列、三角函数的周期性〕.福建14.数列的通项公式，前项和为，那么___________。【3018】2、〔2012全国卷大纲版5．〕〔裂项求和〕等差数列的前项和为，那么数列的前100项和为A．B．C．D．3、〔等比中项、等差数列的求和〕〔2009江西卷文〕公差不为零的等差数列的前项和为.假设是的等比中项,,那么等于A.18B.24C.60D.904、〔等比中项、等差数列求和〕〔2009四川卷文〕等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，那么数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.1905、〔求公差、求和公式的直接运用〕〔2009重庆卷文〕设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，那么的前项和=〔〕A． B． C． D．题型、等差数列的通项公式和求和1、〔2012求和、通项公式〕.北京10．等差数列为其前n项和。假设，，那么=_______。2、〔此题主要考查等差数列通项公式和前项和公式，是简单题〕〔2012江西16.〕〔本小题总分值12分〕数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.〔1〕确定常数k，求an；〔2〕求数列的前n项和Tn。等差数列的综合题1、〔2012等差数列、通项公式、不等式〕.广东19.(本小题总分值14分)设数列的前项和为，满足，且成等差数列。〔1〕求的值；〔2〕求数列的通项公式。〔3〕证明：对一切正整数，有2、〔等差数列、等比数列、证明等差数列、命题〕等比数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)假设Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列；(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.3、〔求通项、最值〕数列{an}满足a1=1，a2=－13，〔Ⅰ〕设的通项公式；〔Ⅱ〕求n为何值时，最小〔不需要求的最小值〕等比数列题型、等比数列的性质1、〔无视公比的符号〕一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．2、〔求公比〕等比数列中，假设，，那么的值

〔A〕是3或－3〔B〕是3〔C〕是－3〔D〕不存在3、〔求公比1996年全国高考文史类数学试题第〔21〕题〕设等比数列的全项和为.假设，求数列的公比.高考题1〔.2012安徽4.〕公比为等比数列的各项都是正数，且，那么〔〕2、〔此题考察等比数列性质及函数计算〕.〔2012〕.湖北7．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，那么称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④.那么其中是“保等比数列函数”的的序号为①② B．③④ C．①③ D．②④3.〔等比数列、概率〕〔2012江苏6．〕〔2012年江苏省5分〕现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的的概率是▲．4、(2009年广东卷文)等比数列的公比为正数，且·=2，=1，那么=A.B.C.D.25、〔2009浙江理〕设等比数列的公比，前项和为，那么6、〔2009北京文〕假设数列满足：，那么；前8项的和.〔用数字作答〕7、〔2009全国卷Ⅱ文〕设等比数列{}的前n项和为。假设，那么=×题型、等比数列的通项公式1、〔此题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题〕〔2012辽宁14〕.等比数列为递增数列，且，那么数列的通项公式____________题型、等比数列的求和1、〔无视等比数列的前n项和公式的使用条件〕求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n).等比数列的综合题等差、等比数列的综合题1、〔2012〕.湖北18．〔本小题总分值12分〕等差数列前三项的和为，前三项的积为.〔Ⅰ〕求等差数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设，，成等比数列，求数列的前项和.2〔等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证〕〔2012湖南19〕〔本小题总分值12分〕数列{an}的各项均为正数，记A〔n〕=a1+a2+……+an，B〔n〕=a2+a3+……+an+1，C〔n〕=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……假设a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A〔n〕，B〔n〕，C〔n〕组成等差数列，求数列{an}的通项公式.证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A〔n〕，B〔n〕，C〔n〕组成公比为q的等比数列.3、〔证明等差数列、待定系数法、不等式、反证法〕〔2012.江苏20〕．〔2012年江苏省16分〕各项均为正数的两个数列和满足：，，〔1〕设，，求证：数列是等差数列；〔2〕设，，且是等比数列，求和的值．通项公式最根本的方法：1、公式法例题：数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，假设函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；练1.等差数列是递减数列，且=48，=12，那么数列的通项公式是〔〕(A)(B)(C)(D)练2.等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。2、Sn法利用(≥2)对于一般数列，假设条件为，求通项的方法，除了用“尝试——猜测——探求——发现”〔最后用数学归纳法严格证明〕思维模式外，还有其他的处理方法，由首先推出，解除的大小，接着常有两个思考方向：当时，，问题转化为与〔〕的关系问题〔前面已求出〕，求出后，可用，〔〕求出数列的通项；利用递推关系作差技巧，由得〔〕，而〔〕，两式相减即得，于是我们就把问题转化为与之间的问题了〔一般情况下，转化到这一步问题就比拟容易解决了〕。例题：以下两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。〔1〕。〔2〕注意：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。1、数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：〔1〕Sn＝5n2＋3n；〔2〕Sn＝－2；2、〔等差中项、等比中项〕设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项。〔1〕写出数列的前3项；〔2〕求数列的通项公式3、〔等差数列、Sn法、不等式〕各项均为正数的数列的前项和满足，且，，〔1〕求的通项公式；〔2〕设数列满足，并记为的前项和，求证：，.高考题1、〔2009浙江文〕设为数列的前项和，，，其中是常数．〔I〕求及；〔II〕假设对于任意的，，，成等比数列，求的值．利用递推关系求数列通项的九种类型及解法类型一.型〔累加法〕规律：,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.=1\*GB3①假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;=3\*GB3③假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;=4\*GB3④假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例题1.〔2003天津文〕数列｛an｝满足,证明练习1、数列的首项为1，且写出数列的通项公式.练习2数列满足，，求此数列的通项公式.练习3、数列中,且,求数列的通项公式.〔注：此题也可以用数学归纳法来求解.〕练习4：数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。练习5假设在数列中，，，求通项。1、〔迁移能力、累加法、等比数列、求通项〕在数列中〔是常数，〕，且成公比不为1的等比数列，〔1〕求的值，〔2〕求的通项.类型二.型〔累乘法〕例题1.设是首项为1的正项数列，且〔=1，2，3，…〕，那么它的通项公式是=________.(注：此题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解〔一般情况时用求根公式〕得到与的更为明显的关系式，从而求出.)练习1.,求数列{an}的通项公式.〔注：此题解题的关键是把原来的递推关系式转化为假设令,那么问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.〕练习2、在数列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表达式。练习3、数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式。〔点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。〕类型三.型〔1〕假设〔d为常数〕，那么数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;〔2〕假设f(n)为n的函数〔非常数〕时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例题1.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.分析：构造转化为型，结果要复原成n的表达式.练习1.〔2005江西卷〕数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.类型四.型〔1〕假设(p为常数)，那么数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;〔2〕假设f(n)为n的函数〔非常数〕时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例题1.数列,求此数列的通项公式.类型五．,其中)型〔1〕假设c=1时，数列{}为等差数列;〔2〕假设d=0时，数列{}为等比数列;〔3〕假设时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,例1．数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。可用迭代法或归纳法。用三种方法来解题，体会并比拟它们的不同.1、知数列满足，，求数列的通项.类型六.型(1)假设(其中k,b是常数，且)方法：相减法例题1、在数列中，求通项.练习1.在数列中，,求通项.(2)假设(其中q是常数，且n0,1)=1\*GB3①假设p=1时，即：，累加即可.=2\*GB3②假设时，即：，求通项方法有以下三种方向：=1\*romani.两边同除以.=2\*romanii.两边同除以.转化为类型5来解，=3\*romaniii.待定系数法：例1.〔2003天津理〕设为常数，且．证明对任意≥1，；(评注：此题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.也可用待定系数法或数学归纳法)规律：类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.类型七.型〔1〕即(倒数法)例题1.数列中，，，求通项公式。练习1.〔湖北卷〕不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足〔Ⅰ〕证明分析：此题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.评注：此题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.(2〕.型〔不动点法〕我们设,由方程求得二根x,y,由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.例1.设数列｛an｝满足,求｛an｝的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.类型八.(其中p,q为常数)型〔1〕当p+q=1时用转化法例题.数列中，假设,且满足,求.1、〔求通项、最值〕数列{an}满足a1=1，a2=－13，〔Ⅰ〕设的通项公式；〔Ⅱ〕求n为何值时，最小〔不需要求的最小值〕〔2〕当时用待定系数法.例2.数列满足，且,且满足,求.(评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比拟复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.)类型九(其中p,r为常数)型〔1〕p>0，(对数法)例1.设正项数列满足，〔n≥2〕.求数列的通项公式.练习1数列中，，〔n≥2〕，求数列的通项公式.答案：〔2〕p<0时〔迭代法〕练习2、〔2005江西卷〕数列，〔1〕证明〔2〕求数列的通项公式an.〔方法1、归纳-猜测-证明，也很简捷，请试一试.方法2、设c，那么c,转化为上面类型〔1〕来解.〕求前n项和一、利用常用的求和公式求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：[例1]，求的前n项和.练习1、设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.练习2、练习3、练习4、求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和练习5、等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，那么＝_____；二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例题1、求和：练习1、求数列前n项的和练习2、〔2008年全国Ⅰ第19题第〔2〕小题，总分值6分〕，求数列｛an｝的前n项和Sn.练习3、数列，求前n项和。练习4、设为等比数列，，，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.；三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个.例题1、求的值练习1、求证：练习2、函数〔1〕证明：；〔2〕求的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例题1、求数列的前n项和：，…练习1、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.练习2、求和：练习3、求和：五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的.通项分解〔裂项〕如：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕(6)；(7)，；(8)(9). 例题1、求数列的前n项和.练习1、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.练习2、计算：练习3、求和练习4、求和：；练习5、在数列中，，且Sｎ＝９，那么n＝_____；

六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例题1、求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.练习1、数列{an}：，求S2002.练习2、在各项均为正数的等比数列中，假设的值。七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例题1、求之和.解：由于练习1、数列{an}：的值.数列与不等式1、〔2012等差数列、通项公式、不等式〕.广东19.(本小题总分值14分)设数列的前项和为，满足，且成等差数列。〔1〕求的值；〔2〕求数列的通项公式。〔3〕证明：对一切正整数，有2、〔此题主要考查数列的概念、数列的根本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．此题是数列与不等式综合的较难层次题.〕〔2009北京文〕设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.〔Ⅰ〕假设，求；〔Ⅱ〕假设，求数列的前2m项和公式；〔Ⅲ〕是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.数列与函数题型、数列与单调性1、〔2012安徽21〕〔本小题总分值13分〕数列满足：〔I〕证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是〔II〕求的取值范围，使数列是单调递增数列。2、〔数列、导数、函数〕函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f'(1)=0．〔Ⅰ)求函数f(x)的表达式；〔Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an+1=f(an)求证：(a1－a2)