4.6.2用二分法求方程的近似解

4.6.2用二分法求方程的近似解TOC\o"13"\h\z\u题型1二分法概念的理解 2题型2用二分法确定零点所在区间 6题型3用二分法求方程的近似解 9题型4二分法次数问题 12题型5用二分法求零点 15知识点一.二分法的定义定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．知识点二.运用二分法求函数的零点应具备的条件1.函数图象在零点附近连续不断.2.在该零点左右两侧函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.知识点三.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．知识点四.精确度“精确度”与“精确到”不是一回事，|ab|<ε;这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε,即“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算123精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。知识点五.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则1.需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成).2.取区间端点的平均数c,计算fc),确定有解区间是[m,c]还是[c,n],逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.知识点六.用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精度，及时检验所得区间是否达到要求(达到给定的精度),以决定是停止计算还是继续计算.题型1二分法概念的理解【方法总结】运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．【例题1】（2017·高一课时练习）下列关于二分法的叙述中，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【答案】B【分析】根据二分法的概念进行判断ABC选项，D选项，求零点的方法有多种.【详解】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误；B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位，B正确；C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误；D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误．故选：B．【变式11】1.（2023上·全国·高一专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可.【详解】由二分法的定义，可知只有当函数fx在区间a,b上的图象连续不断，且f即函数的零点是变号零点时，才能将区间a,b一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选：C.【变式11】2.（2021·高一课前预习）用二分法求如图所示的函数fxA．x1 B．C．x3 D．【答案】C【分析】根据二分法的知识确定正确选项.【详解】由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．故选：C【变式11】3.（多选）（2023上·广东东莞·高一校联考阶段练习）下列方程中能用二分法求近似解的为（

）A．lnx+x=0 B．C．x3-3x+1=0【答案】ABC【分析】构造函数，若存在区间a,b，使得函数在a,b处的函数值异号，即可根据零点存在定理得出可以用二分法求近似解；若不存在，则不能.【详解】对于A项，设fx则f1e2所以，f1e2根据零点的存在定理可知，∃x1∈对于B项，设gx则g0=1>0，所以，g0g1根据零点的存在定理可知，∃x2∈对于C项，设hx则h0=1>0，所以，h0h1根据零点的存在定理可知，∃x3∈对于D项，设kx因为kx所以不满足二分法的条件，故D错误.故选：ABC.【变式11】4.（2017·高一课时练习）函数f(x)=x2+ax+b【答案】a【分析】根据题设条件可知抛物线与x轴相切，从而可得a,b的关系.【详解】∵函数f(x)=x∴函数f(x)=x∴Δ=a2-4b=0，故答案为：a2【点睛】本题考查二分法，根据根据题设条件确定函数的图象性质，本题属于基础题.【变式11】5.（2021·高一课时练习）若函数fx=x【答案】±4【分析】分析可知Δ=0，即可求得实数a的值.【详解】由题意知Δ=a2-16=0故答案为：±4.题型2用二分法确定零点所在区间【例题2】（2023上·天津·高一天津十四中校考阶段练习）若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间0,1内的近似解，第一次取区间的中点为x【答案】34/【分析】找到x分别为0、1、12时2【详解】当x=0时，2×0当x=1时，2×1当x=12时，故下一次应取区间12,1的中点，即故答案为：34【变式21】1.（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）小胡同学用二分法求函数y=fx在x∈1,2内近似解的过程中，由计算可得f1<0，A．f0.5 B．f1.125 C．f【答案】D【分析】根据二分法的计算方法即可判断.【详解】因为f1<0，f2>0，根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即f1.75故选：D.【变式21】2.（2021下·安徽滁州·高一校考期中）设函数fx=4x3+x-8A．1,32 B．32,2【答案】A【分析】根据题意，求得f(32)>0,f(2)>0【详解】由函数fx=4x3+x-8所以f(1)⋅f(3可得方程4x3+x-8=0故选：A.【变式21】3.（2022上·四川遂宁·高一校考期末）函数f(x)=x2+x-1，用二分法求方程x2+x-1=0在x∈(0,1)内近似解的过程中得f(0)<0，f14A．0,14 B．14,【答案】C【分析】根据零点存在性定理求得正确答案.【详解】f0<0,f1>0,f1由f12f由f12f故选：C【变式21】4.（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）设函数fx=xlnx+2x-6，用二分法求方程xlnA．2.5,3 B．2.25,2.5 C．2,2.25 D．不能确定【答案】C【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【详解】显然函数fx=xln由于f(2)<0,f(2.25)>0，所以f(2)·f(2.25)<0，由零点存在性定理可得：fx=xln所以方程xlnx+2x-6=0在区间故选：C.【变式21】5.（2023上·重庆黔江·高一重庆市黔江中学校校考阶段练习）已知方程lgx+x-2=0的根在区间1,3【答案】1,2【分析】令fx=lg【详解】令fx=lg且f1=-1<0，f3因为f1⋅f2故答案为：1,2题型3用二分法求方程的近似解【方法总结】利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．【例题3】（多选）（2023上·河南驻马店·高一校联考阶段练习）若函数fx=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f1=-2，A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50【答案】BC【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5-1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5-1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5-1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.438)>0，所以f(1.438)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.438)内有零点，因为1.438-1.375=0.063<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x3+x2-2x-2=0故选：BC【变式31】1.（多选）（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）某同学利用二分法求函数fxffffff则函数fxA．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58【答案】BC【分析】利用函数的性质及零点存在性定理即得答案.【详解】因为函数fx方程lnx+2x-6=0的近似解在(2.5,3)，(2.5,2.75)，(2.5,2.625)，(2.5,2.5625)所以方程lnx+2x-6=0故选：BC【变式31】2.（2023上·湖南岳阳·高一校联考阶段练习）用二分法逐次计算函数fx=lnx0.510.750.6250.5625f-0.19310.4620.155-0.013则精度为0.1的条件下方程lnx+x=0【答案】0.625（答案不唯一，在0.5625,0.625范围内即可）【分析】确定函数单调递增，根据f0.5625<0，【详解】fx=lnx+x在0,+∞0.625-0.5625=0.0625<0.1，满足精度要求.故答案为：0.625.【变式31】3.（2023上·江苏·高一专题练习）用二分法求2x+x=4在1,2内的近似解（精确到x1.1251.251.3751.43751.51.6251.752x2.182.382.592.712.833.083.36【答案】1.4【分析】根据题意，结合二分法的计算步骤，逐次计算，即可求解.【详解】令fx=2区间区间中点值xfx1,2xf1,1.5xf1.25,1.5xf1.375,1.5xf因为1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4，所以2x+x=4在1,2内的近似解可取为【变式31】4.（2023上·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）若函数fx=xx11.51.251.3751.43751.40625f-20.625-0.984-0.2600.165-0.052A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【答案】D【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答.【详解】由表格可知,方程x3在1,1.5,又因为1.4375-1.40625=0.03125<0.04,故方程x3故选:D.题型4二分法次数问题【例题4】（2023上·浙江丽水·高一浙江省丽水中学校联考阶段练习）用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由于长度等于1-12=12的区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过n【详解】因为开区间12,1的长度等于所以经过nn∈N*令12n+1<0.01，解得n≥6故选：B.【变式41】1.（2023上·河北石家庄·高一石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知函数y=fx为0,1上的连续函数，且fA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】区间0,1的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过n次后，区间长度变成12【详解】区间0,1的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过n次后，区间长度变成12n，则12n≤0.1故选：C.【变式41】2.（2023上·湖北襄阳·高一校考期末）已知函数fx=lnA．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据二分法结合零点的近似值求解.【详解】由所给区间2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12故需12n≤0.01故选：C【变式41】3.（2024上·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知图象连续不断的函数y=fx在区间a,bb-a=1上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为0.1）的近似值，那么将区间【答案】4【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足b-a2【详解】设需要计算n次，则n满足b-a2即2n>10，由于23所以将区间a,b等分的次数至少是4次.故答案为：4.【变式41】4.（2023上·全国·高一专题练习）用二分法求函数fx=ln【答案】4【分析】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度.【详解】f2=ln2-2<0，f3=ln开区间2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为12故有12n≤0.1，即2所以至少需要操作4次.故答案为：4.【变式41】5.（2023上·全国·高一专题练习）已知函数fx=x3-【答案】4【分析】根据二分法的知识进行分析，根据精确度来求得正确答案.【详解】设函数fx的零点为x0，取区间-2,-1的中点且f-32=-27所以x0取区间-32,-1的中点x所以x0取区间-32,-54所以x0取区间-32,-118所以x0又-11故答案为：4题型5用二分法求零点【例题5】（多选）（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）已知函数f(x)在区间(0,3)上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是（

）A．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内B．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内C．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内D．函数f(x)在区间(0,3)上单调【答案】AB【分析】根据给定条件，可得f3>0，f1【详解】函数fx在区间0,3由于f0>0，f1f2若f(1)>0,f(2)>0，则f(x)在(2,3)上必有1个零点，而在(0,1)及(1,2)上有无零点及零点个数不能确定，若f(1)<0,f(2)<0，则f(x)在(0,1)上必有1个零点，而在(1,2)及(2,3)上有无零点及零点个数不能确定，因此f3>0，且若f1<0,f2>0，则f0f1<0，若f1>0,f2<0，则f2f3<0，显然函数f(x)的两个零点不可能分别在(0,1)和(2,3)内，否则f(1)<0,f(2)<0，f(1)f(2)>0，矛盾，C错误；函数f(x)在(0,3)上不可能单调，否则函数f(x)在(0,3)上最多只有1个零点，矛盾，D错误.故选：AB【变式51】1.（多选）（2023上·全国·高一专题练习）（多选）已知函数fx=ex-x+a，其中x∈R，a为某确定常数，运用二分法研究函数A．可以确定fx的一个零点x0B．第二次应计算f12，若fC．第二次应计算f12，若fD．第二次应计算f32，若f【答案】AB【分析】二分法是基于零点存在定理的一种求根的近似值（有可能求出精确值）的方法，二分法的每一步都要满足零点存在定理的条件，结合二分法的理论即可得解.【详解】对于A选项：由题意第一次经计算f0<0且f1>0，因此由零点存在定理可知存在故A选项符合题意.对于B选项：第二次应计算f12，若f12>0所以第三次应计算f1对于C选项：第二次应计算f12，若f12<0所以第三次应计算f3对于D选项：第二次应计算f12，而不是计算故选：AB.【变式51】2.（2023·全国·高一课堂例题）在fx=x【答案】0.653【分析】由题意可得f(0)f(1)<0，然后根据二分法的定义计算函数的零点即可【详解】已经知道f0>0，第一次，取0,1]的中点0+12=0.5，用计算器或计算机求出f0.5≈0.38>0，由于第二次，取0.5,1的中点0.5+12=0.75，求出f0.75≈-0.27<0，由于第三次，取0.5,0.75的中点0.5+0.752=0.625，求出f0.625≈0.07>0，由于为了表述清楚，记零点所在区间为a,b，其中点m=1次数a，+b，m=fm区间长b-a1010.50.38120.510.75-0.270.530.50.750.6250.070.25