高考数学一轮复习训练第7章第2讲等差数列及其前n项和

第七章第2讲[A级基础达标]1．若lga，lgb，lgc成等差数列，则()A．b＝eq\f(a＋c,2) B．b2＝acC．2b＝ac D．2lgb＝lg(a＋c)【答案】B2．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于()A．eq\f(17,2) B．eq\f(19,2)C．10 D．12【答案】B3．(2020年郑州模拟)在等差数列{an}中，a2＋a10＝0，a6＋a8＝－4，则a100＝()A．212 B．188C．－212 D．－188【答案】D4．(2020年淮南月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝()A．110 B．150C．210 D．280【答案】D5．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加()A．eq\f(4,7)尺 B．eq\f(16,29)尺C．eq\f(8,15)尺 D．eq\f(16,31)尺【答案】B【解析】设该女子织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29).故该女子织布每天增加eq\f(16,29)尺．6．(2019年新课标Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则eq\f(S10,S5)＝________.【答案】4【解析】设等差数列{an}的公差为d，由a1≠0，a2＝3a1可得d＝2a1，所以eq\f(S10,S5)＝eq\f(10a1＋a10,5a1＋a5)＝eq\f(22a1＋9d,2a1＋4d)＝eq\f(22a1＋18a1,2a1＋8a1)＝4.7．(2019年江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________【答案】16【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋da1＋4d＋a1＋7d＝0，,9a1＋\f(9×8,2)d＝27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝2.))所以S8＝8a1＋eq\f(8×7d,2)＝8×(－5)＋56＝16.8．(2021年南宁模拟)已知三个数成等差数列，它们的和为3，平方和为eq\f(35,9)，则这三个数的积为________．【答案】eq\f(5,9)【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝5，,a－d2＋a2＋a＋d2＝\f(35,9)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,d＝±\f(2,3).))所以这三个数分别为eq\f(1,3)，1，eq\f(5,3)或eq\f(5,3)，1，eq\f(1,3).故它们的积为eq\f(5,9).9．(2019年庆阳期末)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．已知a1＋a3＝16，S4＝28.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n取何值时Sn最大？并求出这个最大值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a3＝16，S4＝28，所以2a1＋2d＝16,4a1＋eq\f(4×3d,2)＝28，联立解得a1＝10，d＝－2.所以an＝10－2(n－1)＝12－2n.(2)令an＝12－2n≥0，解得n≤6.所以n＝5或6时，Sn取得最大值．S6＝eq\f(6×10＋0,2)＝30.10．已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2a3＝45，a1＋a4＝(1)求数列{an}的通项公式；(2)求f(n)＝eq\f(n,4)(an－17)(n∈N*)的最小值．解：(1)因为等差数列{an}中，公差d＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a3＝45，,a1＋a4＝a2＋a3＝14))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,a3＝9))⇒d＝4，a1＝1⇒an＝4n－3.(2)因为an＝4n－3(n∈N*)，所以f(n)＝eq\f(1,4)n(4n－3－17)＝n2－5n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(25,4)，所以当n＝2或3时，f(n)取得最小值－6.[B级能力提升]11．(2020年六安月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a7,a4)＝eq\f(14,13)，则eq\f(S13,S7)＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(14,13) D．eq\f(13,14)【答案】A【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和，eq\f(a7,a4)＝eq\f(14,13)，所以eq\f(S13,S7)＝eq\f(\f(13,2)a1＋a13,\f(7,2)a1＋a7)＝eq\f(13a7,7a4)＝2.12．(多选)(2020年泉州模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是A．a4＝0 B．Sn的最大值为S3C．S1＝S6 D．|a3|＜|a5|【答案】AC【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a13．(2020年丽水模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，则S2014＝________.【答案】－2014【解析】等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，首项为eq\f(S1,1)＝－2014.因为eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，公差为eq\f(2,2)＝1，所以eq\f(S2014,2014)＝－2014＋1×2013＝－1．所以S2014＝－2014.14．(一题两空)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝5，则公差d＝________，a5＝________.【答案】29【解析】因为等差数列{an}中，a1＝1，a3＝5，设公差d，则a3－a1＝2d＝4，所以d＝2，所以a5＝a1＋4d＝9.15．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2＋a5＝(1)求通项an；(2)求Sn的最小值；(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常数c.解：(1)因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根．又公差d＞0，所以a3＜a4.所以a3＝9，a4＝13.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))所以通项an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)×d＝2n2－n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,4)))2－eq\f(1,8).所以当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1．(3)由(2)知Sn＝2n2－n，所以bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c).所以b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c).因为数列{bn}是等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即eq\f(6,2＋c)×2＝eq\f(1,1＋c)＋eq\f(15,3＋c).所以2c2＋c＝0.所以c＝－eq\f(1,2)或c＝0(舍去)．经验证c＝－eq\f(1,2)时，{bn}是等差数列，故c＝－eq\f(1,2).[C级创新突破]16．《九章算术》中有这样一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．”现有如下说法：①驽马第九日走了九十三里路；②良马五日共走了一千零九十五里路；③良马和驽马相遇时，良马走了二十一日．则错误的说法个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】B【解析】根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1＝193，公差d1＝13的等差数列，记其前n项和为Sn；驽马走的路程可以看成一个首项b1＝97，公差为d2＝－0.5的等差数列，记其前n项和为Tn.依次分析3个说法：对于①，b9＝b1＋(9－1)×d2＝93，故①正确；对于②，S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)×d1＝5×193＋10×13＝1095，故②正确；对于③，设第n天两马相遇，则有Sn＋Tn≥6000，即na1＋eq\f(nn－1,2)d1＋nb1＋eq\f(nn－1,2)d2≥6000，变形可得5n2＋227n－4800≥0，分析可得n的最小值为16，故两马相遇时，良马走了16日，故③错误．综上，3个说法中只有1个错误．17．(2020年宿迁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，把满足条件an＋1≤Sn(n∈N*)的所有数列{an}构成的集合记为M.(1)若数列{an}的通项为an＝eq\f(1,2n)，则{an}是否属于M?(2)若数列{an}是等差数列，且{an＋n}∈M，求a1的取值范围；(3)若数列{an}的各项均为正数，且{an}∈M，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4n,an)))中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{an}的通项；若不存在，说明理由．解：(1)因为an＝eq\f(1,2n)，所以Sn＝eq\f(1,2)×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n,1－\f(1,2))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.所以an＋1－Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1≤eq\f(3,2)×eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,4)＜0.所以an＋1＜Sn，即{an}∈M.(2)设{an}的公差为d，因为{an＋n}∈M，所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n)①，当n＝1时，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1．由①得a1＋nd＋n＋1≤na1＋eq\f(nn－1,2)·d＋eq\f(nn＋1,2)，整理得eq\f(d＋1,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(3,2)d－\f(1,2)))n－a1－1≥0.因为上述不等式对一切n∈N*恒成立，所以必有eq\f(d＋1,2)≥0，解得d≥－1．又d≤－1，所以d＝－1．于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，即a1≥－1．(3)由an＋1≤Sn得Sn＋1＝Sn＋an＋1≤2Sn，即eq\f(Sn＋1,Sn)≤2，所以eq\f(Sn,S1)＝eq\f(S2,S1)×eq\f(S3,S2)×…×eq\f(Sn,Sn－1)≤2n－1，从而有Sn≤S1×2n－1＝a1×2n－1．所以an＋1≤Sn≤a1×2n－1，即an≤a1×2n－2(n≥3)．又a2≤S1＝a1，即a2≤a1；a3≤S2＝a1＋a2≤2a1，所以an≤a1×2n－2(n∈N*)．所以eq\f(4n,an)≥eq\f(2n＋2,a1)(n≥2)．假设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f