高中数学必修2课时素养评价11-1余弦定理

课时素养评价十五余弦定理(20分钟35分)1.在△ABC中,a=7,b=4QUOTE,c=QUOTE,则△ABC的最小角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由三角形边角关系可知,角C为△ABC的最小角,则cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为C∈(0,π),所以C=QUOTE.【补偿训练】在△ABC中,已知a=2QUOTE,b=6+2QUOTE,c=4QUOTE,求A,B,C.【解析】根据余弦定理的推论得,cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为A∈(0,π),所以A=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为C∈(0,π),所以C=QUOTE.所以B=πAC=πQUOTEQUOTE=QUOTE,所以A=QUOTE,B=QUOTE,C=QUOTE.2.(2020·合肥高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=QUOTE,c=2,cosA=QUOTE,则b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.3【解析】选D.由余弦定理得5=b2+42×b×2×QUOTE,解得b=3QUOTE.3.(2020·定远高一检测)在△ABC中,a2=b2+c2+QUOTEbc,则A等于 ()A.60° B.45° C.120° D.150°【解析】选D.在△ABC中,因为a2=b2+c2+QUOTEbc所以b2+c2a2=QUOTEbc,由余弦定理可得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因为A∈(0,π),所以A=150°.4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cosB=________.

【解析】因为b2=ac,且c=2a,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.(2020·苏州高一检测)在点O的正上方有气球P,从点O的正西方A点,测得气球P的仰角为30°,同时从点O南偏东60°的B点,测得气球P的仰角为45°.若A,B两点的距离为10QUOTEm,则气球P离地面的距离为________m.

【解析】依题意可得图形,且∠OAP=30°,∠AOB=150°,∠OBP=45°,AB=10QUOTE,∠AOP=∠POB=90°,设OP=x,则OB=x,AO=QUOTEx,在△AOB中由余弦定理可得AB2=AO2+BO22AO·BO·cos∠AOB,即(10QUOTE)2=(QUOTEx)2+x22·QUOTEx·x·cos150°,解得x=10或x=10(舍去).答案:106.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(ac)2=b2QUOTEac.(1)求cosB的值;(2)若b=QUOTE,且a+c=2b,求ac的值.【解析】(1)由(ac)2=b2QUOTEac,可得a2+c2b2=QUOTEac.所以QUOTE=QUOTE,即cosB=QUOTE.(2)因为b=QUOTE,cosB=QUOTE,由余弦定理得b2=13=a2+c2QUOTEac=(a+c)2QUOTEac,又a+c=2b=2QUOTE,所以13=52QUOTEac,解得ac=12.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=QUOTE,a=QUOTE,若ab=ccosBccosA,且a≠b,则△ABC的面积为 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解题指南】利用余弦定理统一成边之后判断出三角形的形状,然后求其面积.【解析】选B.因为ab=ccosBccosA,所以ab=c·QUOTEc·QUOTE,去分母得2a2b2b2a=a2b+c2bb3(b2a+c2aa3),整理得ab(ab)=(ab)(a2+ab+b2c2),因为a≠b,所以ab=a2+ab+b2c2,即a2+b2=c2得△ABC为直角三角形,则S△ABC=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b= (A.10 B.9 C.8 【解析】选D.由23cos2A+cos2A=0得23cos2A+2cos2A1=0,解得cosA=±QUOTE.因为A是锐角,所以cosA=QUOTE.又因为a2=b2+c22bccosA,所以49=b2+362×b×6×QUOTE.解得b=5或b=QUOTE.又因为b>0,所以b=5.3.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.cosB=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,因为0<B<π,所以B∈QUOTE.【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=120°,c=QUOTEa,则a,b的大小关系为 ()A.a>b B.a<bC.a=b D.不能确定【解析】选A.在△ABC中,c2=a2+b22abcos120°=a2+b2+ab.因为c=QUOTEa,所以2a2=a2+b2+ab,所以a2b2=ab>0,所以a2>b2,又a,b均为正数,所以a>b.4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则·的值为 ()A.19 B.14 C.18 D.19【解析】选D.由余弦定理的推论知cosB=QUOTE=QUOTE,所以·=||·||·cos(πB)=7×5×QUOTE=19.【误区警示】本题应该特别注意两向量的夹角不是角B而是角B的补角,忽视这一点很容易出错.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020·本溪高一检测)在△ABC中,a=5,b=7,c=8,则下列角的正弦值等于QUOTE的是 ()A.角B B.角CC.角A+B D.角A+C【解析】选AD.cosB=QUOTE=QUOTE,则B=60°,A+C=120°,则sinB=QUOTE,sin(A+C)=QUOTE.6.(2020·滕州高一检测)在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是 ()A.a∶b∶c=4∶5∶7B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC的面积为QUOTE【解析】选CD.因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11所以可设QUOTE(其中x>0),解得:a=4x,b=5x,c=6x,所以a∶b∶c=4∶5∶6,所以A错误;由上可知:c边最大,所以三角形中C角最大,又cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE>0,所以C角为锐角,所以B错误;由上可知:a边最小,所以三角形中A角最小,又cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos2A=2cos2A1=QUOTE,所以cos2A=cosC.由三角形中C角最大且C角为锐角可得2A∈(0,π),C∈QUOTE,所以2A=C,所以C正确;因为sinC=QUOTE=QUOTE,c=6,所以S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE,所以D正确.【光速解题】本题选项C、D最难求,故可以针对性求解A、B,通过两选项的错误和多选题的基本要求易得CD选项正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,若a=2bcosC,则△ABC的形状为________.

【解题指南】因为三角形是仅从边或者角上进行定义的,故判断三角形的形状应该将所给关系式统一,即全部化为角或者全部化为边后再进行判断.【解析】因为a=2bcosC=2b·QUOTE=QUOTE,所以a2=a2+b2c2,即b2=c2,b=c,所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形【补偿训练】在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,试判断三角形的形状.【解析】由余弦定理可知cosA=QUOTE,cosB=QUOTE,cosC=QUOTE,代入已知条件,得a·QUOTE+b·QUOTE+c·QUOTE=0,通分得a2(b2+c2a2)+b2(c2+a2b2)+c2(c2a2b2)=0,展开整理得(a2b2)2=c4.所以a2b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.根据勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.8.在△ABC中,设边a,b,c所对的角为A,B,C,若cosA=QUOTE,则4cos(B+C)·cos2A=________;若同时a=QUOTE,则bc的最大值为________.

【解析】根据题意,在△ABC中,若cosA=QUOTE,则A=QUOTE,则B+C=QUOTE,2A=QUOTE,则4cos(B+C)·cos2A=4cosQUOTEcosQUOTE=4×QUOTE×QUOTE=1,若a=QUOTE,则a2=b2+c22bccosA,即b2+c2bc=(b+c)23bc=6,又由(b+c)2≥4bc,则有4bc3bc=bc≤6,即bc的最大值为6.答案:16四、解答题(每小题10分,共20分)9.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两城市相距20km,C,D两城市相距34km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B,C,D三市的距离.【解析】在△ABC中,由题意得ABAC=1.5×8=12(km).在△ACD中,由题意得ADAC=1.5×20=30(km).设AC=xkm,AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.在△ABC中,cos∠ACB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在△ACD中,cos∠ACD=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为B,C,D在一条直线上,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得x=QUOTE.所以AB=QUOTEkm,AD=QUOTEkm.即震中A到B,C,D三市的距离分别为QUOTEkm,QUOTEkm,QUOTEkm.10.(2020·沈阳高一检测)已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个:①A=QUOTE;②cosB=QUOTE;③a=7;④b=3.(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)△ABC同时满足①,③,④.理由如下:若△ABC同时满足①,②.因为cosB=QUOTE<QUOTE,且B∈(0,π),所以B>QUOTEπ.所以A+B>π,矛盾.所以△ABC只能同时满足③④.所以a>b,所以A>B,故△ABC不满足②.故△ABC满足①,③,④.(2)因为a2=b2+c22bccosA,所以72=32+c22×3×c×QUOTE.解得c=8,或c=5(舍).所以△ABC的面积S=QUOTEbcsinA=6QUOTE.1.如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形的形状为 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.由增加长度决定【解析】选A.设直角三角形的三条边分别为a,b,c,c为斜边,设同时增加长度k,则三边长变为a+k,b+k,c+k(k>0),最大角仍为角C,由余弦定理的推论得cosC==QUOTE=QUOTE>0,所以新三角形为锐角三角形.2.在△ABC中,a2+c2=b2+QUOTEac.(1)求B的大小;(2)求QUOTEcosA+cosC的最大值.【解析】(1)由余弦定理得,b2=a2+c22a