高考数学理北师大版一轮复习测评8-5-2数列与函数不等式的综合问题

核心素养测评四十二数列与函数、不等式的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则 ()A.a1<0,0<q<1 B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1 D.a1>0,q>1【解析】选A.因为Sn<0,所以a1<0,又数列{an}为递增等比数列,所以an+1>an,且|an|>|an+1|,则an>an+1>0,则q=QUOTE∈(0,1),所以a1<0,0<q<1.2.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由S4+S62S5=10a1+21d2(5a1+10d)=d,可知当d>0时,有S4+S62S5>0,即S4+S6>2S5,反之,若S4+S6>2S5,则d>0,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S62S5=d,结合充分必要性的判断,若p⇒q,则p是q的充分条件,若p⇐q,则p是q的必要条件,该题“d>0”⇔“S4+S62S5>0”,故互为充要条件.3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a2·a6·a10=3QUOTE,b1+b6+b11=7π,则tanQUOTE的值是 ()A.1B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.因为QUOTE是等比数列,所以a2·a6·a10=QUOTE=3QUOTE,所以a6=QUOTE.因为{bn}是等差数列,所以b1+b6+b11=3b6=7π.所以b6=QUOTE,所以tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE.4.数列{an}满足an=n2+kn+2,若不等式an≥a4恒成立,则实数k的取值范围是()A.[9,8] B.[9,7]C.(9,8) D.(9,7)【解析】选B.由已知得n2+kn+2≥4k+18,即(4n)k≤n216,其中n∈N*.当n=1,2,3时,k≤(n4)min=7;当n=4时,等号成立;当n≥5时,k≥(n4)max=9,所以实数k的取值范围是[9,7].5.已知数列{an}满足a1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan=n2+n(n∈N*),设数列QUOTE满足:bn=QUOTE,数列QUOTE的前n项和为Tn,若Tn<QUOTEλ(n∈N*)恒成立,则实数λ的取值范围为()导学号A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.数列{an}满足a1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan=n2+n,①当n≥2时,a1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan1=(n1)2+(n1),②①②得QUOTEan=2n,故an=2n2,数列QUOTE满足:bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE则:Tn==QUOTE,由于Tn<QUOTEλ(n∈N*)恒成立,故:QUOTE<QUOTEλ,整理得λ>QUOTE,因为y=QUOTE=QUOTE在n∈N*上单调递减,故当n=1时,QUOTE=QUOTE,所以λ>QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知f(x)=QUOTE,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2010=a2012,则a20+a11的值是________________.

【解析】因为an+2=f(an)=QUOTE,a1=1,所以a3=QUOTE,a5=QUOTE=QUOTE,a7=QUOTE=QUOTE,a9=QUOTE=QUOTE,a11=QUOTE=QUOTE,又a2010=a2012,即a2010=QUOTE⇒QUOTE+a20101=0,所以a2010=QUOTE.又a2010=QUOTE=QUOTE,所以1+a2008=QUOTE=QUOTE,即a2008=QUOTE,依次类推可得a2006=a2004=…=a20=QUOTE,故a20+a11=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x25x+6=0的根.(1)数列{an}的通项公式为________________.

(2)数列QUOTE的前n项和为________________.

【解析】(1)方程x25x+6=0的根为2,3.又{an}是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=QUOTE,故an=2+(n2)×QUOTE=QUOTEn+1.(2)设数列QUOTE的前n项和为Sn,Sn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,①QUOTESn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,②①②得QUOTESn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTEQUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTEQUOTE=QUOTE+QUOTEQUOTE,所以Sn=QUOTE+QUOTEQUOTE=2QUOTE.答案:(1)an=QUOTEn+1(2)2QUOTE8.(2020·成都模拟)数列QUOTE是等差数列,a1=1,公差d∈QUOTE,且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为________________. 导学号

【解析】因为a4+λa10+a16=15,所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=QUOTE2,因为d∈QUOTE,所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=QUOTE2,当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·北京高考)设{an}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.(1)求{an}的通项公式.(2)求QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.【解析】(1)由已知,设{an}的公差为d,则a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln2,又a1=ln2,所以d=ln2,所以{an}的通项公式为an=ln2+(n1)ln2=nln2(n∈N*).(2)由(1)及已知,QUOTE=enln2=(eln2)n=2n,所以QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=21+22+…+2n=QUOTE=2n+12(n∈N*).10.(2020·武汉模拟)数列{an}满足:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=n2+n,n∈N*. 导学号(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=QUOTE,数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn>QUOTE的最小正整数n.【解析】(1)因为QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=n2+n,n=1时,可得a1=4,n≥2时,QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=(n1)2+n1.与QU