专题06立体几何第一讲立体几何中的证明问题（解密讲义）（原卷版）

专题06立体几何第一讲立体几何中的证明问题01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法考点一与定理有关的命题真假的判断 命题点1与立体图形有关命题点2与基本事实表述有关考点二平行与垂直的证明命题点1线面平行与垂直的证明命题点2面面平行与垂直的证明考点三位置、几何体关系中的探究性问题命题点1位置关系的探究命题点2几何体关系的探究04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）02考情分析·解密高考立体几何作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，立体几何中的证明问题经常在考题中出现。高考要求：能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题；以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；能运用平行、垂直的有关性质与判定定理证明一些空间图形的平行、垂直关系的简单命题。考点考向考题立体几何立体几何中的证明问题2023年全国甲卷理科·T15、2023新高考全国I卷·T12、T14，2023新高考全国Ⅱ卷·T9、T14，2022新高考全国I卷·T4、T8、T9，2022新高考全国Ⅱ卷·T7、T11，2022新高考全国I卷·T3、T10，2021新高考全国Ⅱ卷·T4、T5、T12，2021年高考全国乙卷理科·T16，2020年高考课标Ⅱ卷理科·T16考点一与定理有关的命题真假的判断命题点1与立体图形有关典例01（2021年新高考1卷12）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1A．当λ=1时，△ABB．当μ=1时，三棱锥P−AC．当λ=12时，有且仅有一个点PD．当μ=12时，有且仅有一个点P，使得A与定理有关的命题涉及立体图形应抓住动点处于极端位置分析或者举反例，也可以抓住特殊图形利用空间向量解决问题。命题点2与基本事实表述有关典例01(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第16题)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①②③④预计2024年高考立体几何中的证明问题仍会从与定理有关的命题真假的判断方向进行命制.1．（2023秋·湖南衡阳市·高三衡阳第八中学等学校11月联考）设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2．（2023秋·辽宁·高三名校12月联考）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，且与所成的角和与所成的角相等，则考点二平行与垂直的证明命题点一线面平行与垂直的证明典例01（2022年新高考2卷20）如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．典例02（2023年新高考2卷20）如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，E(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF=DA，求二面角命题点二面面平行与垂直的证明典例01（2021年新高考2卷10）（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是（）A． B．C． D．典例02（2022年新高考1卷19）如图，直三棱柱ABC−A1B1C(1)求A到平面A1(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A（1）处理平行与垂直应注意条件的分析与运用；（2）注意线面平行性质定理以及面面垂直性质定理符号语言的书写。预计2024年高考立体几何中的证明问题仍会从平行与垂直的证明方向进行命制1．【江苏省常州市前黄高级中学2023届高三下学期二模适应性考试】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，F为线段BC(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为255，求点P到平面2．（江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB(1)证明：PB⊥平面ABD；(2)若AD=PB=4,BD=2考点三位置、几何体关系中的探究性问题命题点一位置关系的探究典例01(2021高考北京·第17题)如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．(1)求证：为的中点；(2)点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．典例02(2023年新课标全国Ⅰ卷·第18题改编)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．(1)证明：；(2)是否存在点在棱上，当二面角为时，求．命题点二几何体关系的探究典例01（2023年新高考1卷12）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体预计2024年高考立体几何中的证明问题仍会从位置关系中的探究性问题方向进行命制.1.（江苏省苏州市八校联盟2023届高三下学期5月适应性检测（三模））如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为62的等边三角形，且PA=PB=PC=6，PD⊥平面ABC，垂足为D,DE⊥平面PAB，垂足为E，连接PE并延长交(1)求二面角P−AB−C的余弦值；(2)在平面PAC内找一点F，使得EF⊥平面PAC，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.2.(2024届福建省厦门市一模考试数学试题)(多选）如图所示，在五面体中，四边形是矩形，和均是等边三角形，且，，则（）A.平面B.二面角随着的减小而减小C.当时，五面体的体积最大值为D.当时，存在使得半径为的球能内含于五面体（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）A·A·新题速递1．（2023·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则2．（广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题）如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（）A.B.C. D.3．（2023秋·广东佛山·高三统测）（多选）如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，点O是AC中点，点M是棱SD的上动点（M与端点不重合）．下列说法正确的是（）A.从A、O、C、S、M、D六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为B.从A、O、C、S、M、D六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为C.存在点M，使直线OM与AB所成的角为60°D.不存在点M，使平面SBC4.（江苏省无锡市2024届高三上学期期终教学质量调研测试数学试题）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，是线段的中点.（1）若，求证：平面；（2）若，，且平面与平面夹角的正切值为，求线段的长.5．（广东省汕头市2024届高三上学期期末调研测试数学试题）如图，在边长为4的正三角形中，、分别为边、的中点，将沿翻折至，得四棱锥，设为的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.6．（广东省深圳市深圳中学2024届高三第一次调研数学试题）如图：在四棱锥中，，，平面，，为的中点，，．（1）证明：；（2）求平面与平面所成夹角．7.（江苏省南京天印高级中学2023届高三下学期一模）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC(1)证明：平面A1BC⊥平面(2)若AC=A1C8.（江苏省淮安市盱眙中学2023届高三下学期模拟训练八）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC9．（江苏省盐城中学2023届高三三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，G(1)证明：平面BDF⊥平面BCG；(2)若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为155，且线段AB长度为2，求点G到直线DFBB·易错提升1．（2023·江苏连云港灌云·高三灌云高级中学12月月考）（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.点为正方形内一点，当平面时，的最小值为C.过点，，的平面截正方体所得的截面周长为D.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为2．（2023秋·广东汕头·高三期中统测）（多选）如图，在长方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（）A.平面B.⊥平面C.异面直线CN和AB所成角的余弦值为D.若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值3.（2023秋·高三校考）（多选）已知矩形满足，，点为的中点，将沿折起，点折至，得到四棱锥，若点为的中点，则（）A．平面 B．存在点，使得平面 C．四棱锥体积的最大值为 D．存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内4．（广东省汕头市2024届高三上学期期末调研测试数学试题）（多选）在三棱锥中，平面，，是底面上（含边界）的一个动点，是三棱锥的外接球表面上的一个动点，则（）A.当在线段上时，B.的最大值为4C.当平面时，点的轨迹长度为D.存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为5.（2023秋·高三校考）（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，，，，，M，N分别是棱和的中点，则下列说法中正确的是_______（填写序号）①四点共面 ②与共面③平面 ④平面6．（江苏省无锡市等4地2023届高三三模）如图，已知在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AC=CD=2，∠ACD=90°，现将△ABC沿AC翻折到(1)求证：平面PAD⊥平面ACD；(2)点M在线段CD上，当二面角M−AP−D的大小为π6时，确定M7.（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一））在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1B1BA⊥平面ABC，侧面A1(1)求证