宁夏银川市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理科）试题

银川一中2020/2021学年度(上)高二期中考试数学(理科)试卷命题教师：一、选择题（本大题共12题，共60分）1．已知命题p：，下列形式正确的是（）A．，使得 B．，使得C． D．2．椭圆的焦点坐标为（）A． B． C． D．3．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1 B．3 C．3或7 D．1或94．“3<m<4”是“方程表示椭圆”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要5．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示．若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列结论正确的是（）A．；乙比甲成绩稳定 B．；甲比乙成绩稳定C．；乙比甲成绩稳定D．；甲比乙成绩稳定6．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为（）A．① B．② C．③ D．④7．在数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（）A． B． C． D．8．在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”（如图）证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”这里的“实”可以理解为面积。这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和（朱实二），4个全等的直角三角形的面积的和（朱实四）加上中间小正方形的面积（黄实）等于大正方形的面积（弦实）”。若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为，若随机向弦图内投入一粒黄豆（大小忽略不计），则其落入小正方形内的概率为（）A． B． C． D．9．圆的半径为4，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（）A．B．C．D．10．已知P为椭圆上的一个点，点M，N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x3)2+y2=4上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．6 B．7 C．10 D．1311．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若|QP|=|QF2|，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．12．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若的内切圆面积为，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则|y2y1|的值为（）A．3 B． C． D．6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．双曲线的渐近线方程为______．14．某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽______人．15．在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

431

257

393

027

556

488

730

113

537

989

据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为______．16．已知焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3：1，则椭圆C的离心率为______________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题10分）已知a<3，设p：，q：x2+4x5>0．

(1)若p是的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．AOBF1AOBF1F2xy如图，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点.点A是椭圆C上一点，且满足AF1⊥x轴，∠AF2F1=30°，直线AF2与椭圆C相交于另一点B．(1)求椭圆C的离心率e；(2)若的周长为，求椭圆C的标准方程．分数19.（本小题12分）分数某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若从打分区间在[60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率．20.（本小题12分）某市2月份到8月份温度在逐渐上升，因此居民用水也发生变化，如表显示了某家庭2月份到6月份的用水情况.月份23456用水量（吨）4.55677.5（1）根据表中的数据，求关于的线性回归方程.（2）为了鼓励市民节约用水，该市自来水公司规定若每月每户家庭用水不超过7吨，则水费为2.5元/吨；若每月每户家庭用水超过7吨，则超出部分水费为3元/吨.预计该家庭8月份的用水量及水费.参考公式：，.21.（本小题12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，，的面积为1．求椭圆C的方程；若M，N是椭圆C上两点，且，记直线BM，AN的斜率分别为，，证明：为定值．

22.（本小题12分）已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点．(1)求椭圆M的标准方程；(2)直线l：x=ky+n与椭圆M相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ΔABC面积的最大值．

高二期中数学(理科)参考答案(2020/2021上)112BBCBA,BBDCB,CA题号123456789101112答案BBCBABBDCBCA13.y=±13x14.5615.17.【答案】解：(1)因为x2-(3+a)x+3a<0，a<3，

所以a<x<3，记A=(a,3)，

又因为x2+4x-5>0，所以x<-5或x>1，

记B=(-∞,-5)∪(1,+∞)，

又p是￢q的必要不充分条件，所以有￢q⇒p，且p推不出￢q，

所以∁RB⫋A，即[-5,1]⫋(a，3)，

所以实数a的取值范围是a∈(-∞,-5)．

(2)因为p是q的充分不必要条件，则有p⇒q，且q推不出p，

所以A⫋B，所以有(a,3)⫋(-∞,-5)∪(1,+∞)，即a≥1，18.【答案】解：(1)∵RtΔAF1F2中，，

∴AF2=2AF1, F1F2=3AF1，(AF1>0)，

∴由椭圆的定义，2a=AF1+AF2=3AF1,2c=3AF1，

∴离心率e=ca=2c2a=3AF13AF1=33；

(2)ΔABF1的周长=AF1+BF1+AB=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=43，

∴a=3，

∵e=ca=33，

∴c=1，

∴b2=a2-c2=2，

∴椭圆C的标准方程为x23+y22=1.20.【答案】（1）；（2）9.2吨，24.1元.【详解】（1），，，.∴，.∴关于的线性回归方程为；（2）当时，吨，水费为元.∴预计该家庭8月份的用水量为9.2吨，水费为24.1元.21.【答案】解：(1)由题意可得|OA|=a，|OB|=b，

所以a+b=3，且12ab=1，解得a=2，b=1，

所以椭圆的方程为x24+y2=1；

(2)证明：由(1)可得A(2,0)，B(0,1)，所以kMN=−12，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)直线MN的方程为y=−12x+t，

联立直线MN与椭圆的方程22.【答案】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B1(0,b)，B2(0,-b)，左焦点为F1(-c,0)，

则△B1B2F1是正三角形，所以2