高中数学北师大版练习第四章3-3对数函数y=logax的图象和性质

3.3对数函数y=logax的图象和性质水平11.函数y=logax是对数函数. ()2.函数y=2logax(a>0且a≠1)是对数函数. ()3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与y=loQUOTEx(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称. ()4.对数式log0.24<log0.34<log24<log34. ()5.f(x)=log4(4x1)在R上为增函数. ()【解析】1.提示:×.对数函数中a>0,且a≠1.2.提示:×.在解析式y=2logax(a>0且a≠1)中,logax的系数必须是1,所以错误.3.提示:×.在同一坐标系内,y=logax(a>0且a≠1)的图象与y=loQUOTEx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称.4.提示:×.在同一直角坐标系中,作出y=log2x,y=log3x,y=log0.2x,y=log0.3x的大致图象如图所示,作出直线x=4,可得log0.34<log0.24<log34<log24.5.提示:×.f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上递增.·题组一对数函数的概念与图象1.下列函数解析式中,是对数函数的有 ()①y=logx2;②y=log8x;③y=lnx;④y=logx(x+2);⑤y=2log4x;⑥y=log2(x+1).A.1个 B.2个C.3个 D.4个【解析】选B.由于①中自变量出现在底数上,所以①不是对数函数;由于④⑥的真数分别为(x+2),(x+1),所以④⑥也不是对数函数;由于⑤中log4x的系数为2,所以⑤也不是对数函数.只有②③符合对数函数的定义.2.已知y=lgx的图象如图所示,由图象作出y=lg|x|的图象.根据图象判断函数y=lg|x| ()A.是偶函数,在区间(∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减【解析】选B.作出y=lg|x|的图象如图所示,从图可以看出,选项B正确.3.已知函数f(x)=(xa)(xb)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=b+logax的图象大致是 ()【解析】选D.由函数f(x)=(xa)(xb)(其中a>b)的图象可知0<a<1,b<1.所以函数g(x)=b+logax是减函数,因为b<1,所以函数g(x)=b+logax的图象与x轴的交点位于(0,0)与(1,0)之间.故选D.4.若y=loga(3a1)有意义,则a的取值范围是________.

【解析】由对数函数的定义,得QUOTE解得a>QUOTE且a≠1.答案:QUOTE·题组二对数函数的性质及应用1.函数f(x)=QUOTE+ln(3x1)的定义域为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.要使函数f(x)=QUOTE+ln(3x1)成立,只需满足QUOTE解得QUOTE<x≤QUOTE.2.已知函数f(x)=QUOTE且满足[f(x1)f(x2)](x1x2)<0,则a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为[f(x1)f(x2)](x1x2)<0,所以函数在定义域上是减函数,所以QUOTE解得0<a≤QUOTE.3.函数f(x)=lg(x2)+QUOTE的定义域是________.

【解析】要使函数有意义,需满足QUOTE解得x>2且x≠3,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).答案:(2,3)∪(3,+∞)4.函数f(x)=x+loga(x3)的图象恒过定点A(其中a>0且a≠1),则A的坐标为________.

【解析】因为函数f(x)=x+loga(x3)的图象恒过定点A(其中a>0且a≠1),所以只需loga(x3)=0,则x3=1,即x=4,所以f(4)=4,因此A的坐标为(4,4).答案:(4,4)·题组三对数型函数的性质问题1.函数y=loQUOTE(x2+2x+3)的单调递增区间是 ()A.(1,1] B.(∞,1)C.[1,3) D.(1,+∞)【解析】选C.由题意,要使函数y=loQUOTE(x2+2x+3)有意义,则满足x2+2x+3>0,即x22x3=(x3)(x+1)<0,解得1<x<3,即函数的定义域为(1,3).令g(x)=x2+2x+3,则函数g(x)表示开口向下,对称轴方程为x=1的抛物线,所以函数g(x)在区间(1,1]上单调递增,在区间[1,3)上单调递减,又由函数y=loQUOTEx在定义域上是递减函数,结合复合函数的单调性的判定方法,可得函数y=loQUOTE(x2+2x+3)的递增区间为[1,3).2.若函数f(x)=log3(x2+ax+a+5),f(x)在区间(∞,1)上是递减函数,则实数a的取值范围为 ()A.[3,2] B.[3,2)C.(∞,2] D.(∞,2)【解析】选A.由题意知,f(x)在区间(∞,1)上是递减函数,设f(x)=log3u,在定义域上为增函数,函数为u=h(x)=x2+ax+a+5,要使f(x)在区间(∞,1)上是递减函数,则u=h(x)在区间(∞,1)上必须是递减函数,同时须保证最大值h(1)≥0,所以QUOTE解得3≤a≤2.3.(多选)已知函数f(x)=ln(x2)+ln(6x),则 ()A.f(x)在(2,6)上单调递减B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2C.f(x)在(2,6)上无最小值D.f(x)的图象关于直线x=4对称【解析】选BCD.f(x)=ln(x2)+ln(6x)=ln[(x2)(6x)],由QUOTE得,函数的定义域为(2,6).令t=(x2)(6x),则y=lnt,二次函数t=(x2)(6x)=x2+8x12开口向下,其对称轴为直线x=4,所以t=(x2)(6x)在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,所以t=(x2)(6x)∈(0,4],又函数y=lnt在t∈(0,4]上单调递增;由复合函数的单调性,可得f(x)在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,故A错;因为当t∈(0,4]时,y=lnt∈(∞,2ln2],即f(x)∈(∞,2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无最小值,故BC正确;因为f(4x)=ln(4x2)+ln(64+x)=ln(2x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x2)+ln(64x)=ln(2+x)+ln(2x),即f(4x)=f(4+x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故D正确.易错点一忽视对参数进行分类讨论若1<logaQUOTE<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是________.

【解析】因为1<logaQUOTE<1,所以logaQUOTE<logaQUOTE<logaa.当a>1时,QUOTE<QUOTE<a,则a>QUOTE;当0<a<1时,QUOTE>QUOTE>a,则0<a<QUOTE.故实数a的取值范围是QUOTE∪QUOTE.答案:QUOTE∪QUOTE【易错误区】当底数a与1大小不确定时,一定要讨论a与1的大小关系.易错点二解不等式时忽略定义域出错已知log0.3(3x)<log0.3(x+1),则x的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为函数y=log0.3x是(0,+∞)上的减函数,所以原不等式等价于QUOTE解得x>QUOTE.【易错误区】忽略原函数的定义域3x>0且x+1>0.水平1、2限时30分钟分值60分战报得分____一、选择题(每小题5分,共30分)1.(多选题)下列条件能使loga3<logb3成立的有 ()A.b>a>0 B.1>a>b>0C.b>QUOTE>1 D.1>QUOTE>QUOTE>0【解析】选BC.对于A,若a=QUOTE,b=QUOTE,则loga3=QUOTE,logb3=1,知loga3>logb3,A错误;对于B,当1>a>b>0时,0>log3a>log3b,则QUOTE<QUOTE,所以loga3<logb3,B正确;对于C,当b>QUOTE>1时,b>1>a>0,所以log3b>0>log3a,则QUOTE<QUOTE,所以loga3<logb3,C正确;对于D,当1>QUOTE>QUOTE>0时,b>a>1,所以log3b>log3a,则QUOTE>QUOTE,所以loga3>logb3,D错误.【变式备选】(多选)若0<a<b<1,则 ()A.ab<baB.aabb>abbaC.loga(1a)<logb(1b)D.loga(1+b)>logb(1+a)【解析】选ABC.A选项中,因为0<a<b<1,所以指数函数y=ax是单调递减函数,因此ab<aa;又幂函数y=xa是单调递增函数,所以aa<ba,因此ab<aa<ba,故A正确;B选项中,因为0<a<b<1,所以QUOTE>1,ba>0,因此y=QUOTE是增函数,所以QUOTE>QUOTE=1,则aabb>abba,所以B正确;C选项中,因为0<a<b<1,所以0<1a<1,因此y=log(1a)x是减函数,所以log(1a)a>log(1a)b,即QUOTE>QUOTE,则loga(1a)<logb(1a),又0<1b<1a<1,0<b<1,所以logb(1b)>logb(1a),则loga(1a)<logb(1b),所以C正确;D选项中,取a=QUOTE,b=QUOTE,则loga(1+b)=loQUOTE=loQUOTE,logb(1+a)=loQUOTE,又QUOTE=QUOTE>QUOTE>1,故loga(1+b)=loQUOTE<logb(1+a)=loQUOTE,所以D不正确.2.已知函数f(x)=log2xQUOTE,则不等式f(x)<0的解集是 ()A.(0,1)∪(1,2) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,+∞)【解析】选A.当0<x<1时,log2x<0,QUOTE>1,所以f(x)=log2xQUOTE<0成立;当x>1时,函数f(x)=log2xQUOTE=log2xQUOTE在(1,+∞)上单调递增,且f(2)=log22QUOTE=0,若f(x)<0,则1<x<2,综上,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(1,2).3.(金榜原创题)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.y=x3 B.y=ln|x|C.y=QUOTE D.y=x22x【解析】选B.因为y=x3为奇函数,函数y=QUOTE和函数y=x22x不具有奇偶性,故排除A,C,D,又y=ln|x|为偶函数且在(0,+∞)上递增,故B符合条件.4.(金榜原创题)已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 ()A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1【解析】选A.分别作出三个函数的大致图象,如图所示.由图可知,x2<x3<x1.5.(练拓展)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[1,1)时,f(x)=x2,若函数g(x)=loga|x+1|的图象与f(x)的图象恰有10个不同的公共点,则实数a的取值范围为 ()A.(4,+∞) B.(6,+∞)C.(1,4) D.(4,6)【解析】选D.因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的周期函数,又函数g(x)=loga|x+1|的图象是由函数y=loga|x|的图象向左平移一个单位长度得到的,所以函数g(x)=loga|x+1|的图象的对称轴为x=1,当x∈[1,1)时,f(x)=x2,所以函数f(x)的图象也关于x=1对称,在平面直角坐标系中作出函数y=f(x)与y=g(x)在x=1右侧的图象,由数形结合可得,若函数g(x)=loga|x+1|的图象与f(x)的图象恰有10个不同的公共点,则由函数图象的对称性可得,两图象在x=1右侧有5个交点,则QUOTE解得a∈(4,6).6.已知函数f(x)=|log4x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m,n的值分别为 ()A.QUOTE,2 B.QUOTE,4C.QUOTE,2 D.QUOTE,4【解析】选B.因为f(x)=|log4x|=QUOTE所以,函数f(x)在区间(0,1]上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,由于正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),则必有0<m<1<n,且|log4m|=|log4n|,则log4m=log4n,所以,mn=1,可得m=QUOTE,所以,函数f(x)在区间[m2,1)上单调递减,在区间(1,n]上单调递增,因为f(m2)=fQUOTE=QUOTE=2log4n,f(n)=|log4n|=log4n,所以,f(m2)>f(n),当x∈[m2,n]时,f(x)max=f(m2)=2log4n=2,解得n=4,因此,m=QUOTE,n=4.二、填空题(每小题5分,共20分)7.函数f(x)=ln(x24)的递增区间是________.

【解析】函数f(x)=ln(x24)的定义域为(∞,2)∪(2,+∞),因为函数y=x24在(∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,又函数y=lnt单调递增,所以函数f(x)=ln(x24)在(∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.答案:(2,+∞)8.(练情境)已知函数f(x)=QUOTE,函数是R上的单调函数,则实数a的取值范围是________.

【解析】因为函数f(x)=QUOTE是R上的单调函数,所以QUOTE解得QUOTE≤a≤QUOTE.答案:QUOTE≤a≤QUOTE9.已知0<x≤3,函数f(x)=loQUOTEx·loQUOTE的最小值为________.

【解析】函数f(x)=loQUOTEx·loQUOTE=loQUOTEx(loQUOTExloQUOTE4)=loQUOTEx(loQUOTEx+2),0<x≤3,令t=loQUOTEx∈[loQUOTE3,+∞),则h(t)=t(t+2)=(t+1)21,t∈[loQUOTE3,+∞),所以当t=1即x=2时,函数h(t)的最小值为1,所以函数f(x)的最小值为1.答案:110.函数y=loQUOTE的值域为________,单调递增区间为________.

【解析】令32xx2>0,即x2+2x3<0,解得:3<x<1,所以函数的定义域为{x|3<x<1},y=loQUOTE是由y=loQUOTEg(x)和g(x)=QUOTE复合而成,因为y=loQUOTEg(x)为减函数,要求y=loQUOTE的单调递增区间即为求g(x)=QUOTE的单调递减区间,因为g(x)=QUOTE=QUOTE的单调递减区间为(1,1),所以y=loQUOTE的单调递增区间为(1,1),因为0<g(x)=QUOTE=QUOTE≤2,所以y=loQUOTE≥loQUOTE2=1,所以原函数的值域为[1,+∞).答案:[1,+∞)(1,1)三、解答题11.(10分)已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.(1)求k的值;(2)已知函数g(x)=2f(x)+x+m·2x,x∈[0,1],若g(x)的最小值为1,求实数m的值.【解析】(1)显然f(x)的定义域为R,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(x),对∀x∈R恒成立,即log2(4x+1)kx=log2(4x+1)+kx对任意x∈R恒成立,所以2kx=log2(4x+1)log2(4x+1)=log2QUOTE=log24x=2x,所以k=1.(2)由(1)知g(x)=4x+m·2x+1,x∈[0,1],令2x=t,则t∈[1,2],原函数变为h(t)=t2+mt+1,t∈[1,2].①当QUOTE<1,即m>2时,h(t)min=g(1)=2+m=1,所以m=1符合题意;②当1≤QUOTE≤2,即4≤m≤2时,h(t)min=gQUOTE