2024春九年级数学下册期末提分练案第6讲与圆有关的位置关系2常考题型专练专项1与圆的切线有关的计算与证明的常见题型作业课件新版北师大版

期末提分练案第6讲与圆有关的位置关系2常考题型专练专项1与圆的切线有关的计算与证明的常见题型点击显示本课时答案1234提示：点击进入习题5678910证明：连接OC.易知AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠A＝30°，∴AB＝2BC.∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∴∠ACO＝∠BCP.又∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠BCP＝30°.∵∠ABC＝90°－30°＝60°，∴∠P＝30°.∴∠P＝∠BCP.∴PB＝BC.∴PA＝3PB.1．如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B.(1)若∠A＝30°，求证：PA＝3PB.返回目录1．如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B.(2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝

(90°－∠P)成立．请你写出推理过程．返回目录解：易知∠OCP＝90°，∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACO.∵OC＝OA，∴∠BCP＝∠OCA＝∠A.又∵∠A＋∠P＋∠ACB＋∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝90°－∠P.∴∠BCP＝

(90°－∠P)．返回目录2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外的一点，且AB＝BC，AC与⊙O相交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.求证：DE⊥BC.证明：连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE.∴∠ODE＝90°.∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA.∴∠ODA＝∠C.∴OD∥BC.∴∠DEC＝∠ODE＝90°.∴DE⊥BC.返回目录3．如图①，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；返回目录证明：如图①，连接OC.∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形．∴OB＝CD.∵OA＝OB，∴CD＝OA.∴四边形ADCO是平行四边形．∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD.∴平行四边形ADCO是矩形．

∴OC⊥CD.又∵OC为半圆的半径，∴CD是半圆的切线．返回目录3．如图①，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.(2)如图②，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．返回目录解：∠AED＋∠ACD＝90°.证明如下：如图②，连接BE.∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠EBA＋∠BAE＝90°.∵AB⊥AD，∴∠DAE＋∠BAE＝90°.∴∠ABE＝∠DAE.∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE.∵CD∥AB，AB⊥AD，∴CD⊥AD，即∠ADE＝90°.∴∠AED＋∠ACD＝∠AED＋∠DAE＝90°.返回目录4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线与AB延长线相交于点D，BE⊥CD，垂足为E，sin∠CAB＝

，BE＝1，则直径AB＝________.返回目录9【点拨】如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，∴∠ACB＝∠OCD＝90°，∴∠ACB－∠OCB＝∠OCD－∠OCB，即∠ACO＝∠BCD.∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO＝∠BCD.∵sin∠CAB＝

，∴sin∠BCD＝

.∵BE⊥CD，BE＝1，∴BC＝

返回目录5．如图①，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D.若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．返回目录解：连接PB，OP，如图．∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD.又∵PD⊥BC，∴OP∥BC.∴∠C＝∠APO.∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO.∴∠A＝∠C.在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，∴BD＝2，∴PB＝

∵AB为直径，∴∠APB＝90°.∴∠BPC＝90°.返回目录返回目录∵∠BDP＝∠BPC＝90°，∠DBP＝∠PBC，∴△BDP∽△BPC.∴BP∶BC＝BD∶BP，即

，解得BC＝10.∵∠A＝∠C，∴BA＝BC＝10.∴⊙O的半径为5.6．【2023·眉山】如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为(

)A．25°B．35°C．40°D．45°C返回目录7．【2022·宁波】如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上．以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点．当△ACD为直角三角形时，AD的长为________．【点拨】考虑问题要全面，本题应分∠CAD＝90°和∠ADC＝90°两种情况求解．返回目录8．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，点P不与点M和点C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E.求四边形CDFP的周长．返回目录解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴OA⊥AD，OB⊥BC.∵OA，OB是半径，∴AF，BP都是⊙O的切线．又∵PF是⊙O的切线，∴FE＝FA，PE＝PB，∴四边形CDFP的周长为DF＋DC＋CP＋FP＝DF＋DC＋CP＋PE＋EF＝DF＋DC＋CP＋PB＋FA＝(DF＋FA)＋DC＋(CP＋PB)＝AD＋DC＋CB＝2＋2＋2＝6.返回目录9．【2022·百色】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD.(1)求证：MC是⊙O的切线；返回目录证明：∵AD⊥MC，∴∠D＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵AC平分∠MAD，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠OCA＝∠DAC.∴OC∥DA.∴∠OCM＝∠D＝90°，∴OC⊥MC.∵OC是⊙O的半径，∴MC是⊙O的切线．返回目录9．【2022·百色】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD.(2)若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．返回目录返回目录解：∵AB＝4，∴OC＝OB＝

AB＝2.∴OM＝OB＋BM＝6.在Rt△OCM中，MC＝

∵∠M＝∠M，∠OCM＝∠D＝90°，∴△MCO∽△MDA.返回目录10．【2023·宜昌节选】如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3.(1)填空：