《28.1 特殊角的三角函数值》教案、导学案

28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数【教学目标】1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)【教学过程】一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－eq\r(6)sin45°·sin60°；(2)eq\f(sin30°－sin45°,cos60°＋cos45°).解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝－1；(2)原式＝eq\f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝2eq\r(2)－3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝eq\f(2,3)，则锐角α的大致范围是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝eq\f(\r(3),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)＜eq\f(2,3)＜eq\f(\r(2),2)，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若eq\r(3)tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：∵eq\r(3)tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝eq\f(\r(3),3).∵tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝eq\f(BC,AB)，即eq\f(BC,BC＋4)＝eq\f(\r(3),3)，解得BC＝2(eq\r(3)＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．【类型二】判断三角形的形状已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，试判断△ABC的形状．解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，∴tan30°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝eq\f(CD,BC)，tan75°＝eq\f(BC,CD)求出即可．解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－eq\r(3).在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－eq\r(3))2＝(1－x)2，解得x＝2eq\r(3)－3，∴tan15°＝eq\f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq\r(3)，tan75°＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3).方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．三、板书设计1．特殊角的三角函数值：30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)2.应用特殊角的三角函数值解决问题．【教学反思】课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数【学习目标】⑴:能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。⑵:能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．四、学生展示：一、课本67页第1题课本67页第2题二、选择题．1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=eq\f(3,5)，AB=15，则AC的长是（）．A．3B．6C．9D．122．下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1B．sin30°+cos30°=1C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2B．C．D．14．已知∠A为锐角，且cosA≤eq\f(1,2)，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=eq\f(1,2)，cosB=eq\f(eq\r(3),2)，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（）．A．B．C．D．7．当锐角a>60°时，cosa的值（）．A．小于eq\f(1,2)B．大于eq\f(1,2)C．大于eq\f(eq\r(3),2)D．大于18．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（）．A．9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（）A．30°B．60°C．45°D．以上都不对10．sin272°+sin218°的值是（）．A．1B．0C．eq\f(1,2)D．eq\f(eq\r(3),2)11．若（eq\r(3)tanA-3）2+│2cosB-eq\r(3)│=0，则△ABC（）．A．是直角三角形B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．13．的值