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文档简介
天津市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷(一)一、单选题1、下列各点中关于原点对称的两个点是()A、(﹣5,0)和(0,5)B、(2,﹣1)和(1,﹣2)C、(5,0)和(0,﹣5)D、(﹣2,﹣1)和(2,1)2、如图由圆形组成的四个图形中,可以看做是中心对称图形的有()A、4个B、3个C、2个D、1个3、已知抛物线y=x2﹣x,它与x轴的两个交点间的距离为()A、0B、1C、2D、44、如图,DE∥BC,且AD=4,DB=2,DE=3.5,则BC的长度为()A、5.5B、5.25C、6.5D、75、如图,P是⊙O直径AB延长线上的一点,PC与⊙O相切于点C,若∠P=20°,则∠A的度数为()A、40°B、35°C、30°D、25°6、从一副扑克牌中随机抽取一张,它恰好是Q的概率为()A、B、C、D、7、下列叙述正确的是()A、任意两个正方形一定是相似的B、任意两个矩形一定是相似的C、任意两个菱形一定是相似的D、任意两个等腰梯形一定是相似的8、观察下列两个三位数的特点,猜想其中积的结果最大的是()A、901×999B、922×978C、950×950D、961×9399、正六边形的周长为6mm,则它的面积为()A、mm2B、mm2C、3mm2D、6mm210、数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a,小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是()A、勾股定理B、勾股定理是逆定理C、直径所对的圆周角是直角D、90°的圆周角所对的弦是直径11、75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm,则此弧所在圆的半径是()A、6cmB、7cmC、8cmD、9cm12、如图,抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D,下列三个判断中:①当x>0时,y>0;②若a=﹣1,则b=4;③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1<x2,且x1+x2>2,则y1>y2;正确的是()A、①B、②C、③D、①②③都不对二、填空题13、已知⊙O的直径为10cm,若直线AB与⊙O相切.那么点O到直线AB的距离是________14、将点P(3,4)绕原点逆时针旋转90°,得到的点P的对应点的坐标为________15、如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,已知AB=4,则DE的长为________16、已知二次函数y=x2+bx+5(b为常数),若在函数值y=1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,则此时b的值为________17、如图,AB与CD相交于点O,且∠OAD=∠OCB,延长AD、CB交于点P,那么图中的相似三角形的对数为________18、如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B均在格点上,即AB=4,点E为线段AB上的动点.若使得BE=,则的值为________
;请你在网格中,用无刻度的直尺,找到点E的位置,并简要说明此位置是如何找到的(不要求证明)________三、解答题19、已知抛物线y=x2﹣2x+1.(1)求它的对称轴和顶点坐标;(2)根据图象,确定当x>2时,y的取值范围.20、在一个不透明的盒子里,装有三个分别写有数字6,﹣2,7的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同,先从盒子里随机取出一个小球,记下数字后放回盒子,摇匀后再随机取出一个小球,记下数字.请你用画树形图或列表的方法,求下列事件的概率:(1)两次取出小球上的数字相同的概率;(2)两次取出小球上的数字之和大于10的概率.21、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB于D.(1)求证:△ACB∽△ADE;(2)求AD的长度.22、如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过点A,D两点的⊙O与BC边相切于点E,求⊙O的半径.23、某商品现在的售价为每件35元.每天可卖出50件.市场调查反映:如果调整价格.每降价1元,每天可多卖出2件.请你帮助分析,当每件商品降价多少元时,可使每天的销售额最大,最大销售额是多少?设每件商品降价x元.每天的销售额为y元.(I)分析:根据问题中的数量关系.用含x的式子填表:原价每件降价1元每件降价2元…每件降价x元每件售价(元)353433…每天售量(件)505254…(Ⅱ)(由以上分析,用含x的式子表示y,并求出问题的解)24、在平面直角坐标系中,己知O为坐标原点,点A(3,0),B(0,4),以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得△ACD.记旋转角为α.∠ABO为β.(Ⅰ)如图①,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标;(Ⅱ)如图②,当旋转后满足BC∥x轴时,求α与β之间的数量关系:(Ⅲ)当旋转后满足∠AOD=β时,求直线CD的解析式(直接写出结果即可).25、如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6,点P以每秒1个单位的速度从A向C运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动,它们到C点后都停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒.(Ⅰ)在运动过程中,请你用t表示P、Q两点间的距离,并求出P、Q两点间的距离的最大值;(Ⅱ)经过t秒的运动,求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式.答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】【解答】解:A、关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,故A错误;B、关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,故B错误;C、关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,故C错误;D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,故D正确;故选:D.【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得答案.2、【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解:第一、二、四个图形是中心对称图形,共3个,故选:B.【分析】根据中心对称图形定义:把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可.3、【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【解答】解:当y=0时,x2﹣x=0,解得x1=0,x2=2,则抛物线与x轴的两交点坐标为(0,0),(2,0),所以抛物线与x轴的两个交点间的距离为2.故选C.【分析】根据解方程x2﹣x=0抛物线与x轴的两交点坐标,然后利用两点间的距离公式求出两交点间的距离.4、【答案】B【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∵AD=4,DB=2,DE=3.5,∴∴BC=5.25,故选B.【分析】根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC,得出比例式,代入求出即可.5、【答案】B【考点】切线的性质【解析】【解答】解:∵PC与⊙O相切于点C,∴OC⊥CP,∵∠P=20°,∴∠COB=70°,∵OA=OC,∴∠A=35°.故选B.【分析】根据题意,可知∠COB=70°,OA=OC,即可推出∠A=35°.6、【答案】B【考点】概率公式【解析】【解答】解:一副扑克牌共有54张,其中只有4张Q,∴从一副扑克牌中随机抽出一张牌,得到Q的概率是=;故选B.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.7、【答案】A【考点】相似图形【解析】【解答】解:A、任意两个正方形,对应边成比例,对应角都是直角,一定相等,所以一定相似,故本选项正确;B、任意两个矩形,对应边不一定成比例,对应角都是直角,一定相等,所以也不一定相似,故本选项错误;C、任意两个菱形,对应边成比例,但对应角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误;D、任意两个等腰梯形,对应边不一定成比例,对应角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误.故选A.【分析】根据对应边成比例,对应角相等的图形是相似图形,对各选项分析判断后利用排除法求解.8、【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解:∵901×999=(950﹣49)(950+49))=9502﹣49,922×978=(950﹣28)(950+28)=9502﹣282,950×950=9502,961×939=(950+11)(950﹣11)=9502﹣112,∴950×950最大,故选C.【分析】根据平方差公式计算即可判断.9、【答案】B【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解:如图,连接OB,OC,过O作OM⊥BC于M,∴∠BOC=×360°=60°,∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∵正六边形ABCDEF的周长为6mm,∴BC=6÷6=1mm,∴OB=BC=1mm,∴BM=BC=mm,∴OM==mm,∴S△OBC=×BC×OM=×1×=mm2,∴该六边形的面积为:×6=mm2,故选B.【分析】首先根据题意画出图形,即可得△OBC是等边三角形,又由正六边形ABCDEF的周长为6mm,即可求得BC的长,继而求得△OBC的面积,则可求得该六边形的面积.10、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解:∵AB是直径,∴∠ACB是直角.则∠ACB是直角的依据是:直径所对的圆周角是直角.故选C.【分析】由AB是直径,根据直径所对的圆周角是直角即可判定∠ACB是直角.11、【答案】A【考点】弧长的计算【解析】【解答】解:∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm,由L=,∴2.5π=,解得:r=6,故选:A.【分析】根据弧长公式L=,将n=75,L=2.5π,代入即可求得半径长.12、【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【解答】解:当a<x<b时,y>0,所以①错误;当a=﹣1时,A点坐标为(﹣1,0),把A(﹣1,0)代入y=﹣x2+2x+m+1得﹣1﹣2+m+1=0,解得m=2,则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,解方程﹣x2+2x+3=0得x1=﹣1,x2=3,则B(3,0),即b=3,所以②错误;抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,因为x1<1<x2,所以点P和点Q在对称轴两侧,点P到直线x=1的距离为1﹣x1,点Q到直线x=1的距离为x2﹣1,则x2﹣1﹣(1﹣x1)=x2+x1﹣2,而x1+x2>2,所以x2﹣1﹣(1﹣x1)>0,所以点Q到对称轴的距离比点P到对称轴的距离要大,所以y1>y2,所以③正确.故选C.【分析】观察函数图象可直接得到抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围,从而可对①进行判断;把A点坐标代入y=﹣x2+2x+m+1中求出m,确定抛物线解析式,再通过解方程﹣x2+2x+3=0得到B点坐标,从而可对②进行判断;先确定抛物线的对称轴为直线x=1,则点P和点Q在对称轴两侧,所以点P到直线x=1的距离为1﹣x1,点Q到直线x=1的距离为x2﹣1,然后比较点Q点对称轴的距离和点P点对称轴的距离的大小,再根据二次函数的性质可对③进行判断.二、填空题13、【答案】5【考点】切线的性质【解析】【解答】解:∵⊙O的直径是10,∴⊙O的半径是5,∵直线AB与⊙O相切,∴点O到AB的距离等于圆的半径,是5.故答案为:5.【分析】根据圆的切线的性质:圆心到切线的距离等于圆的半径,求出圆的半径即可.14、【答案】(﹣4,3)【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】【解答】解:如图,过点P作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B,过点P′作PA′⊥y轴于点A′,作PB′⊥x轴于点B′,∵点P(3,4),∴PA=4,PB=3,∵点P(3,4)绕坐标原点逆时针旋转90°得到点P′,∴P′A′=PA=4,P′B′=PB=3,∴点P′的坐标是(﹣4,3).故答案为:(﹣4,3).【分析】作出图形,过点P作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B,过点P′作PA′⊥y轴于点A′,作PB′⊥x轴于点B′,根据点A的坐标求出PA、PB的长度,根据旋转变换只改把图形的位置,不改变图形的形状与大小求出P′A′、P′B′的长度,即可得解.15、【答案】6【考点】位似变换【解析】【解答】解:∵△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,∴AB:DE=2:3,∴DE=6.故答案为:6.【分析】位似图形就是特殊的相似图形,位似比等于相似比.利用相似三角形的性质即可求解.16、【答案】±4【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解:由题意得,x2+bx+5=1有两个相等的实数根,所以△=b2﹣16=0,解得,b=±4.故答案为±4.【分析】根据在函数值y=l的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,得到x2+bx+5=1有两个相等的实数根,求此时b的值即可.17、【答案】2【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解:如图,∵在△ABP与△CDP中,∠BAP=∠DCP,∠APB=∠CPD,∴△ABP∽△CDP,∴∠ABP=∠CDP,∴∠ADO=∠CBO,又∵∠OAD=∠OCB,∴△OAD∽△OCB,综上所述,图中的相似三角形有2对:△ABP∽△CDP,△OAD∽△OCB.故答案是:2.【分析】利用两角法推知图中的相似三角形即可.18、【答案】①在B所在横线的上边第9条线上找到格点F,连接BF,BF交F下距离是5的横线与BF的交点是G,过G作GE∥AF交AB于点E,点E就是所求【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解:AE=AB﹣BE=4﹣=,则找到E的方法:在B所在横线的上边第9条线上找到格点F,连接BF,BF交F下距离是5的横线与BF的交点是G,过G作GE∥AF交AB于点E,点E就是所求.【分析】首先求得AE的长,即可求得的值,根据平行线分线段成比例定理即可作出E的位置.三、解答题19、【答案】解:(1)y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0);(2)抛物线图象如下图所示:由图象可知当x>2时,y的取值范围是y>1.【考点】二次函数的性质【解析】【分析】(1)把抛物线解析式化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标;(2)利用描点法画出图象,根据图象利用数形结合的方法确定当x>2时,y的取值范围即可.20、【答案】解:第二次第一次6﹣276(6,6)(6,﹣2)(6,7)﹣2(﹣2,6)(﹣2,﹣2)(﹣2,7)7(7,6)(7,﹣2)(7,7)(2分)(1)P(两数相同)=.(2)P(两数和大于10)=.【考点】列表法与树状图法【解析】【分析】解此题的关键是准确列表或画树形图,找出所有的可能情况,即可求得概率.21、【答案】证明:(1)∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠EDA=∠C=90°,∵∠A=∠A,∴△ACB∽△ADE;(2)解:∵△ACB∽△ADE,∴=,∴=,∴AD=4.【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)求出∠EDA=∠C=90°,根据相似三角形的判定得出相似即可;(2)根据相似得出比例式,代入求出即可.22、【答案】解:连接OE,并反向延长交AD于点F,连接OA,∵BC是切线,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴四边形CDFE是矩形,∴EF=CD=AB=8,OF⊥AD,∴AF=AD=×12=6,设⊙O的半径为x,则OE=EF﹣OE=8﹣x,在Rt△OAF中,OF2+AF2=OA2,则(8﹣x)2+36=x2,解得:x=6.25,∴⊙O的半径为:6.25.【考点】垂径定理,切线的性质【解析】【分析】首先连接OE,并反向延长交AD于点F,连接OA,由在矩形ABCD中,过A,D两点的⊙O与BC边相切于点E,易得四边形CDFE是矩形,由垂径定理可求得AF的长,然后设⊙O的半径为x,则OE=EF﹣OE=8﹣x,利用勾股定理即可得:(8﹣x)2+36=x2,继而求得答案.23、【答案】解:(Ⅰ)35﹣x,50+2x;(Ⅱ)根据题意,每天的销售额y=(35﹣x)(50+2x),(0<x<35)配方得y=﹣2(x﹣5)2+1800,∵a<0,∴当x=5时,y取得最大值1800.答:当每件商品降价5元时,可使每天的销售额最大,最大销售额为l800元.【考点】二次函数的应用【解析】【分析】(I)现在的售价为每件35元,则每件商品降价x元,每件售价为(35﹣x)元;多买2x件,即每天售量为(50+2x)件;(Ⅱ)每天的销售额=每件售价×每天售量,即y=(35﹣x)(50+2x),配方后得到y=﹣2(x﹣5)2+1800,根据二次函数的性质得到当x=5时,y取得最大值1800.24、【答案】解:(1)∵点A(3,0),B(0,4),得OA=3,OB=4,∴在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB==5,根据题意,有DA=OA=3.如图①,过点D作DM⊥x轴于点M,则MD∥OB,∴△ADM∽△ABO.有得,∴OM=,∴MD=,∴点D的坐标为(,).(2)如图②,由已知,得∠CAB=α,AC=AB,∴∠ABC=∠ACB,∴在△ABC中,∴α=180°﹣2∠ABC,∵BC∥x轴,得∠OBC=90°,∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β,∴α=2β;(3)若顺时针旋转,如图,过点D作DE⊥OA于E,过点C作CF⊥OA于F,∵∠AOD=∠ABO=β,∴tan∠AOD==,设DE=3x,OE=4x,则AE=4x﹣3,在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2,∴9=9x2+(4x﹣3)2,∴x=,∴D(,),∴直线AD的解析式为:y=x﹣,∵直线CD与直线AD垂直,且过点D,∴设y=﹣x+b,把D(,)代入得,=﹣×+b,解得b=4,∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1,∴直线CD的解析式为y=﹣X+4.同理可得直线CD的另一个解析式为y=x﹣4.【考点】待定系数法求一次函数解析式,相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)过点D作DM⊥x轴于点M,求证△ADM∽△ABO,根据相似比求AM的长度,推出OM和MD的长度即可;(2)根据等腰三角形的性质,推出α=180°﹣2∠ABC,结合已知条件推出∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β,即α=2β;(3)做过点D作DM⊥x轴于点M,根据勾股定理和△OAB∽△OMD,推出D点的横坐标和纵坐标,然后求出C点坐标,就很容易得到CD的解析式了.25、【答案】解:(Ⅰ)分两种情况考虑:当Q在AB边上时,过Q作QE⊥AC,交AC于点E,连接PQ,如图1所示:∵∠C=90°,∴QE∥BC,∴△ABC∽△AQE,∴在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,根据勾股定理得:AB=10,∵AQ=2t,AP=t,∴==,整理得:PE=t,QE=t,根据勾股定理得:PQ2=QE2+PE2,整理得:PQ=t;当Q在BC边上时,连接PQ,如图2所示:由AB+BQ=2t,AB=10,得到BQ=2t﹣10,CQ=BC﹣BQ=6﹣(2t﹣10)=16﹣2t,由AP=t,AC=8,得到PC=8﹣t,根据勾股定理得:PQ==,当Q与B重合时,PQ的值最大,则当t=5时,PQ最大值为3;(Ⅱ)分两种情况考虑:当Q在AB边上时,如图1,△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP,此时S=AP•QE=t•t=t2(0<t≤5);当Q在BC边上时,△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP,此时S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣(8﹣t)(16﹣2t)=﹣t2+16t﹣40(5<t≤8).综上,经过t秒的运动,△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式为.【考点】一次函数图象与几何变换【解析】【分析】(Ⅰ)分Q在AB边上与Q在BC边上,分别如图1和图2所示,表示出PQ的长,当Q与B重合时,PQ取得最大值,求出即可;(Ⅱ)分两种情况考虑:当Q在AB边上时,如图1,△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP;当Q在BC边上时,△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP,分别表示出S与t的函数关系式即可.天津市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷(二)一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.下列事件中是必然事件的是()A.平安夜下雪B.地球在自转的同时还不停的公转C.所有人15岁时身高必达到1.70米D.下雨时一定打雷2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是()A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=3 C.(x﹣2)2=5 D.(x+2)2=54.下列关系式中:①y=2x;;③y=﹣;④y=5x+1;⑤y=x2﹣1;⑥y=;⑦xy=11,y是x的反比例函数的共有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个5.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=,BD=,则AB的长为()A.2 B.3 C.4 D.56.对于函数y=,下列说法错误的是()A.这个函数的图象位于第一、第三象限B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x>0时,y随x的增大而增大D.当x<0时,y随x的增大而减小7.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x>1 B.x<1 C.x>﹣1 D.x<﹣18.如图,在半径为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连接CD,则阴影部分的面积为()A.π﹣1 B.2π﹣1 C.π﹣1 D.π﹣29.已知两点A(5,6)、B(7,2),先将线段AB向左平移一个单位,再以原点O为位似中心,在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()A.(2,3) B.(3,1) C.(2,1) D.(3,3)10.如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则的值为()A. B. C. D.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x经过点A,作AB⊥x轴于点B,将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD.若点B的坐标为(2,0),则点C的坐标为()A.(﹣1,) B.(﹣2,) C.(﹣,1) D.(﹣,2)12.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④3≤n≤4中,正确的是()A.①② B.③④ C.①④ D.①③二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)13.在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是15cm,则两地的实际距离km.14.如果两个相似三角形的相似比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比为.15.某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个,小明通过多次摸球试验后,发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%,估计口袋中黄色玻璃球有个.16.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM为.17.如图,点A在双曲线上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为.18.在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°,且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,此时∠CDB的度数为(2)在图2中,点P不与点B、M重合,线段CQ的延长线交射线BM于点D,则∠CDB的度数为(用含α的代数式表示).(3)对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B、M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=DQ,则α的取值范围是.三、解答题(共7小题,满分66分)19.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根,k为正整数.(1)求k的值;(2)当此方程有两个非零的整数根时,求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标.20.在x2□2x□1的空格中,任意填上“+”“﹣”,求其中能构成完全平方的概率(列出表格或画出树形图)21.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,与反比例函数y=的图象交于C、D两点,DE⊥x轴于点E,已知C点的坐标是(﹣6,﹣1),DE=3.(1)求反比例函数与一次函数的解析式.(2)根据图象直接回答:当x为何值时,一次函数的值小于反比例函数的值.22.如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.(1)求∠B的大小;(2)已知圆心0到BD的距离为3,求AD的长.23.一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0<x≤1).(1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为元.(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?注:年销售利润=(每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本)×年销售量.24.如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.①求证:BD⊥CF;②当AB=5,AD=时,求线段BG的长.25.已知二次函数的图象如图.(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标;(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x轴,y轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式;(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径,D为圆心作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由.参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.下列事件中是必然事件的是()A.平安夜下雪B.地球在自转的同时还不停的公转C.所有人15岁时身高必达到1.70米D.下雨时一定打雷【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.【解答】解:A、平安夜下雪是随机事件,故A错误;B、地球在自转的同时还不停的公转,是必然事件,故B正确;C、所有人15岁时身高必达到1.70米是随机事件,故C错误;D、下雪时一定打雷是不可能事件,故D错误;故选:B.2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可作出判断.【解答】解:A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;C、此图形旋转180°后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误;D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误.故选:A.3.用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是()A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=3 C.(x﹣2)2=5 D.(x+2)2=5【分析】方程常数项移到右边,两边加上4变形后,即可得到结果.【解答】解:方程移项得:x2+4x=﹣1,配方得:x2+4x+4=3,即(x+2)2=3.故选A.4.下列关系式中:①y=2x;;③y=﹣;④y=5x+1;⑤y=x2﹣1;⑥y=;⑦xy=11,y是x的反比例函数的共有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【分析】分别根据反比例函数、二次函数及一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可.【解答】解:①y=2x是正比例函数;可化为y=5x,是正比例函数;③y=﹣符合反比例函数的定义,是反比例函数;④y=5x+1是一次函数;⑤y=x2﹣1是二次函数;⑥y=不是函数;⑦xy=11可化为y=,符合反比例函数的定义,是反比例函数.故选C.5.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=,BD=,则AB的长为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解.【解答】解:连接OD.由垂径定理得HD=,由勾股定理得HB=1,设圆O的半径为R,在Rt△ODH中,则R2=()2+(R﹣1)2,由此得2R=3,或由相交弦定理得()2=1×(2R﹣1),由此得2R=3,所以AB=3故选B.6.对于函数y=,下列说法错误的是()A.这个函数的图象位于第一、第三象限B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x>0时,y随x的增大而增大D.当x<0时,y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质:对于反比例函数y=,当k>0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x增大而增大解答即可.【解答】解:函数y=的图象位于第一、第三象限,A正确;图象既是轴对称图形又是中心对称图形,B正确;当x>0时,y随x的增大而减小,C错误;当x<0时,y随x的增大而减小,D正确,由于该题选择错误的,故选:C.7.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x>1 B.x<1 C.x>﹣1 D.x<﹣1【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1,开口向下,x<1时,y随x的增大而增大.【解答】解:∵a=﹣1<0,∴二次函数图象开口向下,又∵对称轴是直线x=﹣=1,∴当x<1时,函数图象在对称轴的左边,y随x的增大而增大.故选B.8.如图,在半径为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连接CD,则阴影部分的面积为()A.π﹣1 B.2π﹣1 C.π﹣1 D.π﹣2【分析】已知BC为直径,则∠CDB=90°,在等腰直角三角形ABC中,CD垂直平分AB,CD=DB,D为半圆的中点,阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差.【解答】解:在Rt△ACB中,AB==2,∵BC是半圆的直径,∴∠CDB=90°,在等腰Rt△ACB中,CD垂直平分AB,CD=BD=,∴D为半圆的中点,S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×()2=π﹣1.故选A.9.已知两点A(5,6)、B(7,2),先将线段AB向左平移一个单位,再以原点O为位似中心,在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()A.(2,3) B.(3,1) C.(2,1) D.(3,3)【分析】先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为(4,6),然后根据在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解.【解答】解:∵线段AB向左平移一个单位,∴A点平移后的对应点的坐标为(4,6),∴点C的坐标为(4×,6×),即(2,3).故选A.10.如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则的值为()A. B. C. D.【分析】由S△BDE:S△CDE=1:3,得到=,于是得到=,根据DE∥AC,推出△BDE∽△ABC,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】解:∵S△BDE:S△CDE=1:3,∴=,∴=,∵DE∥AC,∴△BDE∽△ABC,∴==,故选D.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x经过点A,作AB⊥x轴于点B,将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD.若点B的坐标为(2,0),则点C的坐标为()A.(﹣1,) B.(﹣2,) C.(﹣,1) D.(﹣,2)【分析】作CH⊥x轴于H,如图,先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A(2,2),再利用旋转的性质得BC=BA=2,∠ABC=60°,则∠CBH=30°,然后在Rt△CBH中,利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=,BH=CH=3,所以OH=BH﹣OB=3﹣2=1,于是可写出C点坐标.【解答】解:作CH⊥x轴于H,如图,∵点B的坐标为(2,0),AB⊥x轴于点B,∴A点横坐标为2,当x=2时,y=x=2,∴A(2,2),∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD,∴BC=BA=2,∠ABC=60°,∴∠CBH=30°,在Rt△CBH中,CH=BC=,BH=CH=3,OH=BH﹣OB=3﹣2=1,∴C(﹣1,).故选:A.12.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④3≤n≤4中,正确的是()A.①② B.③④ C.①④ D.①③【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;③根据两根之积=﹣3,得到a=﹣,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围;④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.【解答】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),∴根据图示知,当x>3时,y<0.故①正确;②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.∵对称轴x=﹣=1,∴b=﹣2a,∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.故②错误;③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),∴﹣1×3=﹣3,∴=﹣3,则a=﹣.∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),∴2≤c≤3,∴﹣1≤﹣≤﹣,即﹣1≤a≤﹣.故③正确;④根据题意知,a=﹣,﹣=1,∴b=﹣2a=,∴n=a+b+c=c.∵2≤c≤3,∴≤c≤4,即≤n≤4.故④错误.综上所述,正确的说法有①③.故选D.二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)13.在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是15cm,则两地的实际距离150km.【分析】设两地的实际距离为xcm,根据比例尺的定义得到15:x=1:1000000,然后根据比例的性质计算出x,再把单位由cm化为km即可.【解答】解:设两地的实际距离为xcm,根据题意得15:x=1:1000000,所以x=15000000cm=150km.故答案为150.14.如果两个相似三角形的相似比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比为4:9.【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果.【解答】解:∵两个相似三角形的相似比为2:3,∴这两个相似三角形的面积比为4:9.15.某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个,小明通过多次摸球试验后,发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%,估计口袋中黄色玻璃球有18个.【分析】让球的总数×黄色玻璃球的概率即为所求的黄色玻璃球的球数.【解答】解:∵摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%,∴摸到黄球的概率为0.25,故口袋中黄色玻璃球有0.25×72=18(个).故答案为:18.16.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM为2.【分析】由正六边形的性质得出∠AOM=60°,OA=4,求出∠OAM=30°,由含30°角的直角三角形的性质得出OM=OA=2即可.【解答】解:∵六边形ABCDEF是正六边形,OM⊥AC,∴∠AOM=60°,∠OMA=90°,OA=4,∴∠OAM=30°,∴OM=OA=2,即这个正三角形的边心距OM为2;故答案为:2.17.如图,点A在双曲线上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为2.【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断.【解答】解:过A点作AE⊥y轴,垂足为E,∵点A在双曲线上,∴四边形AEOD的面积为1,∵点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,∴四边形BEOC的面积为3,∴四边形ABCD为矩形,则它的面积为3﹣1=2.故答案为:2.18.在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°,且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,此时∠CDB的度数为30°(2)在图2中,点P不与点B、M重合,线段CQ的延长线交射线BM于点D,则∠CDB的度数为(用含α的代数式表示)90°﹣α.(3)对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B、M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=DQ,则α的取值范围是45°<α<60°.【分析】(1)由条件可得出AB=BC=AC,再利用旋转可得出QM=MC,证得CB=CD=BA,再由三角形外角的性质即可得出结论;(2)由(1)可得BM为AC的垂直平分线,结合条件可以得出Q,C,A在以P为圆心,PA为半径的圆上,由圆周角定理可得∠ACQ=∠APQ=α,可得出∠CDB和α的关系;(3)借助(2)的结论和PQ=QD,可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α,结合∠BAD>∠PAD>∠MAD,代入可得出α的范围.【解答】解:(1)如图1,∵BA=BC,∠BAC=60°,∴AB=BC=AC,∠ABC=60°,∵M为AC的中点,∴MB⊥AC,∠CBM=30°,AM=MC.∵PQ由PA旋转而成,∴AP=PQ=QM=MC.∵∠AMQ=2α=120°,∴∠MCQ=60°,∠QMD=30°,∴∠MQC=60°.∴∠CDB=30°.故答案为:30°;(2)如图2,连接PC,∵由(1)得BM垂直平分AC,∴AP=PC,∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,又∵PQ=PA,∴PQ=PC=PA,∴Q,C,A在以P为圆心,PA为半径的圆上,∴∠ACQ=∠APQ=α,∴∠BAC=∠ACD,∴DC∥BA,∴∠CDB=∠ABD=90°﹣α.故答案为:90°﹣α;(3)∵∠CDB=90°﹣α,且PQ=QD,∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α,∵点P不与点B,M重合,∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,∴2α>180°﹣2α>α,∴45°<α<60°.故答案为:45°<α<60°.三、解答题(共7小题,满分66分)19.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根,k为正整数.(1)求k的值;(2)当此方程有两个非零的整数根时,求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标.【分析】(1)根据一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根,可推△≥0,求出k的取值范围,得出k的数值即可;(2)分别把k的值代入方程2x2+4x+k﹣1=0,解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分析,确定k的值,进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标.【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根,∴△=4﹣4(k﹣1)≥0.∴k≤2.∵k为正整数,∴k=1,2;(2)设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣2,x1•x2=k﹣1,当k=1时,方程x2+2x+k﹣1=0有一个根为零;当k=2时,方程x2+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1.k=2符合题意.二次函数y=x2+2x+1=(x+1)2,对称轴是x=﹣1,顶点坐标是(﹣1,0).20.在x2□2x□1的空格中,任意填上“+”“﹣”,求其中能构成完全平方的概率(列出表格或画出树形图)【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与其中能构成完全平方的情况,再利用概率公式即可求得答案.【解答】解:画树状图得:∵共有4种等可能的结果,其中能构成完全平方的有2种情况,∴其中能构成完全平方的概率为:=.21.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,与反比例函数y=的图象交于C、D两点,DE⊥x轴于点E,已知C点的坐标是(﹣6,﹣1),DE=3.(1)求反比例函数与一次函数的解析式.(2)根据图象直接回答:当x为何值时,一次函数的值小于反比例函数的值.【分析】(1)先由点C的坐标求出反比例函数的关系式,再由DE=3,求出点D的坐标,把点C,点D的坐标代入一次函数关系式求出k,b即可求一次函数的关系式.(2)由图象可知:一次函数的值小于反比例函数的值.【解答】解:(1)点C(﹣6,﹣1)在反比例函数y=的图象上,∴m=﹣6×(﹣1)=6,∴反比例函数的关系式为y=,∵点D在反比例函数y=上,且DE=3,∴y=3,代入求得:x=2,∴点D的坐标为(2,3).∵C、D两点在直线y=kx+b上,∴,解得:,∴一次函数的关系式为y=x+2.(2)由图象可知:当x<﹣6或0<x<2时,一次函数的值小于反比例函数的值.22.如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.(1)求∠B的大小;(2)已知圆心0到BD的距离为3,求AD的长.【分析】(1)由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°,然后根据平角是180°求得∠BPD=115°;最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可;(2)过点O作OE⊥BD于点E,则OE=3.根据直径所对的圆周角是直角,以及平行线的判定知OE∥AD;又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点,由此可以判定OE是△ABD的中位线;最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度.【解答】解:(1)∵∠CAB=∠CDB(同弧所对的圆周角相等),∠CAB=40°,∴∠CDB=40°;又∵∠APD=65°,∴∠BPD=115°;∴在△BPD中,∴∠B=180°﹣∠CDB﹣∠BPD=25°;(2)过点O作OE⊥BD于点E,则OE=3.∵AB是直径,∴AD⊥BD(直径所对的圆周角是直角);∴OE∥AD;又∵O是AB的中点,∴OE是△ABD的中位线,∴AD=2OE=6.23.一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0<x≤1).(1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为(10+7x)元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为(12+6x)元.(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?注:年销售利润=(每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本)×年销售量.【分析】(1)根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,即为(10+10•0.7x)元/件;这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,即为(12+12•0.5x)元/件;(2)今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价,即y=(12+6x)﹣(10+7x),然后整理即可;(3)今年的年销售量为(2+2x)万件,再根据年销售利润=(每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本)×年销售量,得到w=2(1+x)(2﹣x),然后把它配成顶点式,利用二次函数的最值问题即可得到答案.【解答】解:(1)10+7x;12+6x;(2)y=(12+6x)﹣(10+7x),∴y=2﹣x(0<x≤1);(3)∵w=2(1+x)•y=2(1+x)(2﹣x)=﹣2x2+2x+4,∴w=﹣2(x﹣0.5)2+4.5∵﹣2<0,0<x≤1,∴w有最大值,∴当x=0.5时,w最大=4.5(万元).答:当x为0.5时,今年的年销售利润最大,最大年销售利润是4.5万元.24.如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.①求证:BD⊥CF;②当AB=5,AD=时,求线段BG的长.【分析】(1)由△ABC是等腰直角三角形和ADEF是正方形得到判断△ABD≌△ACF的条件;(2)由全等得到∠BGC=90°,利用勾股定理计算即可.【解答】解:(1)BD=CF成立.理由:∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∵ADEF是正方形,∴AD=AF,∠BAC=∠DAF,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAF,在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF.(2)①由(1)全等得:∠ABD=∠ACE,∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=(∠ABG+∠GBC)+∠ACB=45°+45°=90°,∴∠BGC=90°,∴BG⊥CF.②过D作DH⊥AB于H,AH=DH=AD÷=1,∴BH=3,∴BD==,延长AD交BC于P,则BP=CP,(AD平分∠BAC,AB=AC,等腰三角形三线合一)由∠BCG=90°知:DP∥CG,∴=1,∴BG=2BD=2.25.已知二次函数的图象如图.(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标;(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x轴,y轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式;(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径,D为圆心作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由.【分析】(1)根据对称轴公式求出x=﹣,求出即可;(2)假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标,再利用勾股定理求出即可;(3)由抛物线的解析式可得,A,B,C,M各点的坐标,再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM,即可证明.【解答】解:(1)由,得x=﹣=﹣=3,∴D(3,0);(2)方法一:如图1,设平移后的抛物线的解析式为,则C(0,k)OC=k,令y=0即,得,x2=3﹣,∴A,B,∴,=2k2+8k+36,∵AC2+BC2=AB2即:2k2+8k+36=16k+36,得k1=4,k2=0(舍去),∴抛物线的解析式为,方法二:∵,∴顶点坐标,设抛物线向上平移h个单位,则得到C(0,h),顶点坐标,∴平移后的抛物线:,当y=0时,,得,x2=3+,∴A,B,∵∠ACB=90°,∴△AOC∽△COB,则OC2=OA•OB,即,解得h1=4,h2=0(不合题意舍去),∴平移后的抛物线:;(3)方法一:如图2,由抛物线的解析式可得,A(﹣2,0),B(8,0),C(0,4),M,过C、M作直线,连接CD,过M作MH垂直y轴于H,则MH=3,∴,,在Rt△COD中,CD==AD,∴点C在⊙D上,∵,∴DM2=CM2+CD2∴△CDM是直角三角形,∴CD⊥CM,∴直线CM与⊙D相切.方法二:如图3,由抛物线的解析式可得A(﹣2,0),B(8,0),C(0,4),M,作直线CM,过D作DE⊥CM于E,过M作MH垂直y轴于H,则MH=3,,由勾股定理得,∵DM∥OC,∴∠MCH=∠EMD,∴Rt△CMH∽Rt△DME,∴得DE=5,由(2)知AB=10,∴⊙D的半径为5.∴直线CM与⊙D相切.天津市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷(三)一、选择题1、2cos45°的值等于(
)A、B、C、D、22、已知反比例函数y=,在下列结论中,不正确的是(
)A、图象必经过点(1,2)B、y随x的增大而减少C、图象在第一、三象限D、若x>1,则y<23、如图,⊙O是等边三角形ABC的外接圆,⊙O的半径为2,则等边三角形ABC的边长为(
)A、B、C、2D、24、书包里有数学书3本、英语书2本、语文书5本,从中任意抽取一本,则是数学书的概率是(
)A、B、C、D、5、把抛物线y=x2向右平移2个单位,向下平移5个单位得到的抛物线是(
)A、y=x2+3B、y=x2+7C、y=(x+2)2﹣5D、y=(x﹣2)2﹣56、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠,使点C落在AB边上的C′处,并且C′D∥BC,则CD的长是(
)A、B、C、D、7、在直角坐标系xOy中,点P(4,y)在第一象限内,且OP与x轴正半轴的夹角为60°,则y的值是(
)A、B、4C、8D、28、如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长,规定各图向右为正东方向,将各图按时间顺序排列正确的是(
)A、②④①③B、③①④②C、②④③①D、①③②④9、已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AC=2,那么BC的值为(
)A、2B、4C、4D、610、关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0,常数项为0,则m值等于(
)A、1B、2C、1或2D、0二、填空题11、某药品原价每盒25元,为了响应国家解决老百姓看病贵的号召,经过连续两次降价,现在售价每盒16元,则该药品平均每次降价的百分率是________.12、在半径为5cm的圆中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm,则这两条弦之间的距离为________.13、正n边形的一个外角是30°,则n=________.14、两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm,它们的周长之差是12cm,那么小三角形的周长为________.15、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=2,则∠B的度数为________.16、如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图,小立方块的个数是________.17、⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且半径都是0.5cm,则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为________.18、在Rt三角形ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°CD⊥AB于点D,那么△ACD与△BCD的面积之比为________.19、半径等于12的圆中,垂直平分半径的弦长为________.20、一元二次方程x2=2x的根是________.三、解答题21、计算:﹣2sin45°+(2﹣π)0﹣()﹣2.22、已知关于x的方程k2x2﹣2(k+1)x+1=0有两个实数根.(1)求k的取值范围;(2)当k=1时,设所给方程的两个根分别为x1和x2,求+的值.23、已知,在同一直角坐标系中,反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A(﹣1,m).(1)求m、c的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.24、已知:如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,sinB=,∠CAD=30°.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若OD⊥AB,BC=5,求AD的长.25、甲、乙、丙三人相互传球,由乙开始发球,并作为第一次传球.用列表或画树状图的方法求经过3次传球后,球仍回到乙手中的概率.26、某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?27、一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的东南方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果保留根号)答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解:∵cos45°=,∴2cos45°=.故选B.【分析】将45°角的余弦值代入计算即可.2、【答案】B【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解:A、∵1×2=2,∴图象必经过点(1,2),故本选项正确;B、∵反比例函数y=中,k=2>0,∴此函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小,故本选项错误;C、∵反比例函数y=中,k=2>0,∴此函数的图象在一、三象限,故本选项正确;D、∵当x>1时,此函数图象在第一象限,∴0<y<2,故本选项正确.故选B.【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可.3、【答案】C【考点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解:连接OA,并作OD⊥AB于D,则∠OAD=30°,OA=2,∴AD=OA•cos30°=,∴AB=2.故选C.【分析】连接OA,并作OD⊥AB于D;由于等边三角形五心合一,则OA平分∠BAC,由此可求出∠BAO的度数;在Rt△OAD中,根据⊙O的半径和∠BAO的度数即可求出AD的长,进而可得出△ABC的边长.4、【答案】C【考点】概率的意义【解析】【解答】解:所有机会均等的可能共有10种.而抽到数学书的机会有3种,因此抽到数学书的概率有.故选C.【分析】让数学书的本数除以书的总本数即为从中任意抽取一本,是数学书的概率.5、【答案】D【考点】二次函数的图象,二次函数的性质【解析】【解答】解:抛物线y=x2向右平移2个单位,再向下平移5个单位,所得图象的解析式为y=(x﹣2)2﹣5,.故选D.【分析】根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答即可.6、【答案】A【考点】翻折变换(折叠问题)【解析】【解答】解:设CD=x,根据C′D∥BC,且有C′D=EC,可得四边形C′DCE是菱形;即Rt△ABC中,AC==10,,EB=x;故可得BC=x+x=8;解得x=.故选A.【分析】先判定四边形C′DCE是菱形,再根据菱形的性质计算.7、【答案】B【考点】坐标与图形性质【解析】【解答】解:作PA⊥x轴于A.根据题意,∠POA=60°,OA=4.∵∠PAO=90°,∠POA=60°,∴∠P=30°,∴OP=2OA=2×4=8.根据勾股定理,得OA2+PA2=OP2,即42+PA2=82.∴AP=.即y的值为4.故选B.【分析】根据已知条件,画出草图,解直角三角形求解.8、【答案】B【考点】钟面角、方位角【解析】【解答】解:太阳从东方升起最后从西面落下,木杆的影子开始时应该在西面,随着时间的变化影子逐渐的向北偏西,南偏西,正东方向的顺序移动,故它们按时间先后顺序进行排列为:③①④②,故选:B.【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断.太阳从东方升起最后从西面落下确定影子的起始方向.9、【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解:∵sinA=,∴∠A=30°.∴tan30°=,∴BC=2.故选A.【分析】由sinA=求出∠A度数;根据三角函数的定义建立边角之间的关系求解.10、【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0,常数项为0,∴,解得:m=2.故选:B.【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组,求出m的值即可.二、<b>填空题</b>11、【答案】20%【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解:设该药品平均每次降价的百分率为x,由题意可知经过连续两次降价,现在售价每盒16元,故25(1﹣x)2=16,解得x=0.2或1.8(不合题意,舍去),故该药品平均每次降价的百分率为20%.【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1﹣降价的百分率),则第一次降价后的价格是25(1﹣x),第二次后的价格是25(1﹣x)2,据此即可列方程求解.12、【答案】1cm或7cm【考点】垂径定理【解析】【解答】解:圆心到两条弦的距离分别为d1==4cm,d2==3cm.故两条弦之间的距离d=d1﹣d2=1cm或d=d1+d2=7cm【分析】两条平行的弦可能在圆心的同旁或两旁,应分两种情况进行讨论.13、【答案】12【考点】多边形内角与外角【解析】【解答】解:n=360°÷30°=12.故答案为:12.【分析】利用多边形的外角和即可求出答案.14、【答案】18cm【考点】相似三角形的性质,相似三角形的应用【解析】【解答】解:∵两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm,∴两个三角形的相似比为5:3,设大三角形的周长为5x,则小三角形的周长为3x,由题意得,5x﹣3x=12,解得,x=6,则3x=18,故答案为:18cm.【分析】根据题意求出两个三角形的相似比,再根据题意列出方程,解方程即可.15、【答案】30°【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=2,∴,∴AB=2AC,∴∠B=30°,故答案为:30°【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出∠B的度数.16、【答案】4【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解:从俯视图上看,此几何体的下面有3个小正方体,从左视图和主视图上看,最上面有1个小正方体,故组成这个几何体的小立方块的个数是:3+1=4.故答案为:4.【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状,从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数,从左视图可看出每一行小正方体的层数和个数,从而算出总的个数.17、【答案】cm2【考点】扇形面积的计算【解析】【解答】解:S阴影==cm2.故答案为cm2.【分析】由于三角形的内角和为180度,所以三个阴影扇形的圆心角的和为180°,由于它们的半径都为0.5cm,因此可根据扇形的面积公式直接求出三个扇形的面积和.18、【答案】3【考点】相似三角形的性质,相似三角形的判定【解析】【解答】解:∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°,∵∠A+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∵∠B=∠B,∴Rt△ABC∽Rt△CBD,∴=()2=(sin∠A)2=,∴=3.故答案为:3.【分析】先根据题意判断出Rt△ABC∽Rt△CBD,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.19、【答案】12【考点】线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线的判定【解析】【解答】解:如图,∵OD=CD=6,∴由勾股定理得AD=6,∴由垂径定理得AB=12,故答案为:12.【分析】先画图,根据题意得OD=CD=6,再由勾股定理得AD的长,最后由垂径定理得出弦AB的长即可.20、【答案】x1=0,x2=2【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解:移项,得x2﹣2x=0,提公因式得,x(x﹣2)=0,x=0或x﹣2=0,∴x1=0,x2=2.故答案为:x1=0,x2=2.【分析】先移项,再提公因式,使每一个因式为0,从而得出答案.三、<b>解答题</b>21、【答案】解:原式=2﹣2×+1﹣9=﹣8.【考点】二次根式的加减法【解析】【分析】原式第一项化为最简二次根式,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用零指数幂法则计算,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果.22、【答案】(1)解:根据题意得k2≠0且△=4(k+1)2﹣4k2≥0,解得k≥﹣且k≠0;(2)解:k=1时方程化为x2﹣4x+1=0,则x1+x2=4,x1•x2=1,+===14.【考点】根的判别式【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且△=4(k+1)2﹣4k2≥0,然后解两个不等式,求出它们的公共部分即可;(2)先把k=1代入方程,再根据根与系数的关系得到x1+x2=4,x1•x2=1,然后把所求的代数式变形得到+=,然后利用整体思想进行计算.23、【答案】(1)解:∵点A在函数y=的图象上,∴m==﹣5,∴点A坐标为(﹣1,﹣5),∵点A在二次函数图象上,∴﹣1﹣2+c=﹣5,c=﹣2.(2)解:∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2,∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1,∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣1).【考点】二次函数的性质【解析】【分析】先通过反比例函数求出A值,再把A的值代入二次函数中求出二次函数的解析式.再化简二次函数的解析式,就可得到它的对称轴和顶点坐标.24、【答案】(1)证明:连接OA,∵sinB=,∴∠B=30°,∠AOC=60°,又∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴∠OAC=60°,∴∠OAD=60°+30°=90°,∴AD是⊙O的切线;(2)解:∵OC⊥AB,OC是半径,∴BE=AE,∴OD是AB的垂直平分线,∴∠DAE=60°,∠D=30°,在Rt△ACE中,AE=cos30°×AC=,∴在Rt△ADE中,AD=2AE=5.【考点】圆周角定理【解析】【分析】(1)连接OA,由于sinB=,那么可求∠B=30°,利用圆周角定理可求∠AOC=60°,而OA=OB,那么△AOC是等边三角形,从而有∠OAC=60°,易求∠OAD=90°,即AD是⊙O的切线;(2)由于OC⊥AB,OC是半径,利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线,那么CA=CB,而∠B=30°,则∠BAC=30°,于是有∠DAE=60°,∠D=30°,在Rt△ACE中,利用三角函数值可求AE,在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,可求AD.25、【答案】解:画树状图得:∵共有8种等可能的结果,经过3次传球后,球仍回到乙手中的有2种情况,∴经过3次传球后,球仍回到乙手中的概率是:=.【考点】概率的意义【解析】【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与经过3次传球后,球仍回到乙手中的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.26、【答案】解:设每个支干长出的小分支的数目是x个,根据题意列方程得:x2+x+1=91,解得:x=9或x=﹣10(不合题意,应舍去);∴x=9;答:每支支干长出9个小分支.【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出x2个分支,则共有x2+x+1个分支,即可列方程求得x的值.27、【答案】解:∵∠APC=90°﹣60°=30°,AP=80海里,∴PC=AP•cos30°=80×=40海里,AC=AP•sin30°=80×=40(海里),又∵∠BPC=45°,∴CB=PC=40海里,∴BP=×40=40(海里).【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】在Rt△APC中,求出PC的长,再在Rt△PBC中,求出CB的长,将AC和CB相加即可.天津市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷(四)一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,有一项符合题目要求的,请选出并在答题卡上将该项涂黑.1.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是()A.x﹣6=﹣4 B.x﹣6=4 C.x+6=4 D.x+6=﹣42.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()A.x2+3=0 B.x2+2x=0 C.(x+1)2=0 D.(x+3)(x﹣1)=03.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为()A.y=﹣2(x+1)2+2 B.y=﹣2(x+1)2﹣2 C.y=﹣2(x﹣1)2+2 D.y=﹣2(x﹣1)2﹣24.学校组织校外实践活动,安排给九年级三辆车,小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,小明与小红同车的概率是()A. B. C. D.5.如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为()A. B. C. D.6.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为()A. B.2 C. D.7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为()A.45° B.50° C.
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