高中数学 诱导公式三角函数的图象与性质习题课课时跟踪检测 新人教A版必修

【优化指导】2015年高中数学1.3-1.4诱导公式、三角函数的图象与性质习题课课时跟踪检测新人教A版必修4一、选择题1．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是()A．1 B．2C．0 D．2sin2α解析：原式＝sin2α＋(－cosα)·(－cosα)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.答案：B2．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＋sin(π＋θ)＝－m，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＋2sin(6π－θ)的值为()A.eq\f(2m,3) B．－eq\f(3m,2)C．－eq\f(2m,3) D.eq\f(3m,2)解析：由题意知，sinθ＋sinθ＝m，∴sinθ＝eq\f(m,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＋2sin(6π－θ)＝－sinθ－2sinθ＝－3sinθ＝－eq\f(3m,2).答案：B3．已知函数y＝tanωx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则()A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0C．ω≤1 D．ω≤－1解析：由函数y＝tanωx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，知其周期T≥π，即eq\f(π,|ω|)≥π，∴|ω|≤1.即－1≤ω≤1.又其与y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的单调性相反，∴ω＜0.∴－1≤ω＜0.答案：B4．已知函数f(x)＝πsineq\f(1,4)x，如果存在实数x1，x2使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值为()A．4π B．πC．8π D．2π解析：因为正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1－x2|的最小值为半周期eq\f(T,2)，因为T＝eq\f(2π,\f(1,4))＝8π，所以选A.答案：A二、填空题5．若函数f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．解析：由题意知，T＝eq\f(2π,|ω|)，又1＜T＜3，∴1＜eq\f(2π,|ω|)＜3，从而eq\f(2π,3)＜|ω|＜2π，又ω是正整数，所以ω＝3,4,5,6，从而ω的最大值为6.答案：66．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，且x≠0))的值域为________．解析：－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，且x≠0∴eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)－x≤eq\f(3π,4)且eq\f(π,2)－x≠eq\f(π,2)∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))≥1或taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)7．f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上的最大值是eq\r(2)，则ω＝________.解析：因为0≤x≤eq\f(π,3)，所以0≤ωx≤eq\f(π,3)ω＜eq\f(π,3).所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上是增函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(2)，即2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)ω))＝eq\r(2)，所以eq\f(π,3)ω＝eq\f(π,4)，所以ω＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)三、解答题8．化简：eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－α－πsin－π－α).解：eq\f(tanπ－α·cos2π－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－α－π·sin－π－α).＝eq\f(－tanα·cos－α·－cosα,－cosα·sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)·cosα·cosα,－cosα·sinα)＝－1.9．判断函数f(x)＝lgeq\f(tanx＋1,tanx－1)的奇偶性．解：由eq\f(tanx＋1,tanx－1)>0，得tanx>1或tanx<－1，∴函数定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ－\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)关于原点对称．f(－x)＋f(x)＝lgeq\f(tan－x＋1,tan－x－1)＋lgeq\f(tanx＋1,tanx－1)＝lgeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－tanx－1,－tanx＋1)·\f(tanx＋1,tanx－1)))＝lg1＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．10．已知：f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(a∈R，a为常数)．(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期．(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上最大值与最小值之和为3，求a的值．(3)求在(2)条件下f(x)的单调减区间．解：(1)∵2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2π))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))⇒2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))⇒2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2))).∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxmax＝2＋a＋1＝3＋a,fxmin＝－1＋a＋1＝a))，∴2a＋3＝3⇒a＝0.(3)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1.当eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\