空间点、直线、平面之间的位置关系-2023年高考数学一轮复习（全国通用）（解析版）

考向27空间点、直线、平面

之间的位置关系

1.(2022年甲卷理7文9)在长方体48Cf)-A8∣GA中，已知瓦力与平面ABeD和平面的域8所成的角均

为30°,则

A.AB=2ADB.AB与平面AqG。所成的角为30。

C.AC=CBtD.BQ与平面8片GC所成的角为45。

【答案】D

【解析】用。与平面ABC。即NBQ8,耳。与平面A4,g8即No8∣A,

则/用。8=/。Α4=30°,设与。=2,则AO=Bg=I,由长方体对角线长公式『="+,2,得

1

AB=近，从而百，AB=①AD

ABI=AB与平面ABCID所成的角NBIAB的正弦值为耳

AC=√3>√2=CB1,B1D与平面8耳GC所成的角NDBC的正弦值为半.

2.(2022年乙卷理7文9)在正方体ABCo-A耳Ge中，E,F分别为AB,BC的中点，则

A.平面BIEFi.平面BORB.平面gEF_L平面A%)

c.平面片所〃平面AACD.平面4所〃平面AC。

【答案】A

【解析】

对于A选项：在正方体ABC。-ABGR中，因为EF分别为AB,BC的中点，易知EFLBD,从而防_1_平

面BC又因为EFU平面BOJ,所以平面BlEF，平面BZ)),所以A选项正确；

对于B选项：因为平面AiBD一平面Bz)DI=BZ),由上述过程易知平面4EFL平面A1BD不成立;

对于C选项：由题意知直线外与直线8∣E必相交，故平面4）〃平面AAC有公共点，从而C选项错误;

对于D选项：连接AC,AB1,B1C,易知平面A8∣C〃平面ACQ,

又因为平面ABiC与平面BIEF有公共点B1,故平面AB1C与平面BtEF

不平行，所以D选项错误.

3.（2022年新高考1卷第9题）已知正方体ABCo-A4GR，贝U

A.直线8C∣与D4,所成的角为90。

B.直线BG与CA所成的角为90。

C.直线8C∣与平面B4A。所成的角为45。

D.直线8C∣与平面ABC。所成的角为45。

【答案】ABD

【解析】在正方体A3CD-A8∣CQ中，因为8G∙LB∣C,BClJ.44，所以BGj■平面AgCO,所以

BC11DAi,BC1JLCA1,故选项A,B均正确；

设AGBlDt=O,因为AGJ_平面B8∣OQ,所以直线BG与平面88QQ所成的角为NGBO,在直角

△080中，SinNGBO=K=J,故NCQO=30。，故选项C错误：

直线BG与平面"8所成的角为NGBC=45。，故选项D正确.综上，答案选ABD.

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有

条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

（2）证明点共线：

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线

上.

（3）证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

（3）求异面直线所成角

①平移法：

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何

中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成

的角也是常用的方法之一。

②利用模型求异面直线所成的角

已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为仇，平面a内的一条直线b与斜线a所成的角为0,与它的射

影a'所成的角为。2。求证：COSθ=COSθ∣∙COSθ2O

③向量法求异面直线所成的角

1.公理2的三个推论

推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

2.异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.

1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线

不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交.

2.在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”.

iOS)

一、单选题

1.正方体ABCD-AtBlCtDl中，点加在棱OR上,过点C作平面BMC1的平行平面α,记平面α与平面BCC1B1

的交线为/,则AC与/所成角的大小为（）

【答案】D

【解析】因为平面BMcJ/平面α,平面8"GC平面BCC百=BG,平面α平面BCCg=/,贝IJBG〃/;

JT

在正方体中，易证8G，平面A18∣CO,故BG八AC,所以AC，/,即AC与/所成角的大小为,

2.如图，直三棱柱ABC-A4G中，ACXBC,若A41=AC=BC=1,则异面直线Ae，48所成角的大小是

【解析】如图所示，连接BC

WAB,AZfi1AlC即为异面直线ACAB所成角

AA,=AC=BC=l,【AC=近,B∖C=e

又ACJ_BC,/.AB=X1B1=√2

在AC中，AiBl=AxC=BiC=>/2

4AC是正三角形

π

NgAC=I

故选：C

3.设”,匕是两条不同的直线，α,/是两个不同的平面，给出下列命题：

①若“_L〃,au心力U£,则0_1_万

②箱a〃β,aua,buβ,贝IJa〃/?

③若α〃夕MUa,61/7,则）

④若a〃b,a_La,i>_Lp,则α〃夕

其中为真命题的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】C

【解析】①中，α∙L6,quα∕u夕，则平面α与平面夕可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误：

②中，a〃仇aua,bu0,直线。与直线6可能平行，异面或者垂直，故②错误；

③中，a〃β,aua,b1β,则6_Lc,故。故③正确；

④中，。〃"。1。,61夕，则。〃£,故④正确.

故选：C.

4.如图，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线E尸相交的是（）.

C.直线CQD.直线D4.

【答案】A

【解析】如图，易知4尸HG,HGBE,所以A尸〃BE,且AF=

2

所以ABEF为梯形，故AB与EF相交，A正确；

因为8CMH,MHNL,NLEF,所以BC〃瓦故B错误；

因为平面CDH平面EFNL,CDu平面CrW,EFU平面EFNL,

所以直线CQ与直线EF无公共点，故C错误；

因为AOU平面ACF,EFI平面ADF=尸，故A。与EF异面，D错误.

故选：A

5.已知正方体中A8CO-A4G2,E,G分别为AR,GQ的中点，则直线AG,CE所成角的余弦值为

()

ʌ√30r√30r4√5n√M5

10151515

【答案】C

【解析】如图所示：

取AB的中点F,连接EF,CF,易知A1G//CF,则NEcR或其补角）为直线A1G与CE所成角.不妨设AB=I,

则CF=6，EF=√6,EC=3,由余弦定理得CoSNECF=9+5-*=生叵,即直线AG与CE所成角的

2×3×√515

余弦值为拽.

15

故选：C.

6.已知/,，〃是两条不同的直线，α是平面，且加〃ɑ,则（）

A.若/m,贝i"〃（ZB.若1〃a,贝∣"m

C.若贝∣J∕∙LαD.若∕‹Lα,贝∣J∕∙Lw

【答案】D

【解析】依题意加//ɑ,

A选项，若〃/加，则可能∕uα,所以A选项错误.

B选项，若〃∕ɑ,则/与，”可能相交、异面、平行，所以B选项错误.

C选项，若/_L〃z,则可能∕uα,所以C选项错误.

D选项，由于“〃ɑ,所以平面ɑ内存在直线〃，满足加//",

若∕lα,则［1〃,则21m,所以D选项正确.

故选：D

7.如图正方体ABCE）-A4G。中，P、°、R、S分别为棱AB、BC、BB「CZ）的中点，连接4$用。.空间任

意两点、M、N,若线段MN上不存在点在线段AS,瓦。上，则称MV两点可视，则下列选项中与点Q可视

的为（）

A.点、PB.点BC.点RD.点Q

【答案】D

【解析】如图连接PS,

因为RS分别为A8,8的中点，所以AP=0S,AP//DS,

所以四边形"SD为平行四边形，所以AO〃PS,

因为40〃4。，所以4。〃PS,所以A，A，P，S四点共面，

所以AS与RP相交，所以点尸与点R不可视，所以排除A,

因为DR〃BB∣,所以D,q,B∣,R,B共面,

所以由图可知RB与耳。相交，QR与瓦。相交，

所以点8,点R都与点，不可视，所以排除BC,

故选：D

8.设/是直线，«,“是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若/〃α,l∕∕β,则α〃夕B.若/〃ɑ,l±β,则α,夕

C.若aJL0,Ila,则/〃夕D.若卬,l∕∕a,则∕J√?

【答案】B

【解析】对于A,若/〃a,l∕∕β,贝∣Ja,尸可能相交，故错误；

对于B,若/〃a,I邛,根据线面平行的性质定理可知，a内一定存在和/平行的直线机,

则，〃也垂直于“，由线面垂直的判定定理可知aJ_£,故B正确；

对于C,若aLβ,ILa,则/可能在夕内，故错误；

对于D,若a",/〃a,则/可能和S平行，故错误，

故选：B

二、多选题

9.已知空间中a力是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）

A.a±a,b.La=>a∕/1>

B.aLa,aLb=>b//a

C.4<=。,匕匚夕,々〃夕=>4与匕异面

D.βLa,ac∖β-b,aA-b=>aA.β

【答案】BCD

【解析】A：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A正确；

B：由a_La,：j_1可得b〃a或者bu<z,故B错误；

C：由aua,bu/3,a〃?可得。与b异面或a∕",故C错误;

D：由£_La,aβ=b,aYb>当α<Zα时，不能得到。，乃，

只有当αuα时，才可以得到a_L/?,故D错误.

故选：BCD

10.如图，若ABCZ）EF-ABCAEM为正六棱台，AE=3,AB=4,AA=2则下列说法正确的是（）

A.AB//E1C1

B.ECL平面4。。

C.ΛA∕/平面CER

D.侧棱与底面所成的角为60

【答案】BCD

【解析】对于A选项，因为AB与EQl平行，与&G异面，故A错误；

对于B选项，连接AREC,。。,因为六棱台A8COE尸-A4G3gK是正六棱台，

所以Oaj_平面ABCDEF,CEU平面ABCDEF,故。。1CE,

又因为底面ABCDE万是正六边形，所以AT>LCE,AOcOQ=O,AoU平面ADRA,OaU平面40。4,

所以ECL平面AOAA,

即ECL平面ADQ,故B正确；

对于C选项,设AL）与EC交于点M,因为AB=4,A百=3,所以AO=8,Ae=6,又DW=2,所以AM=6,

即AD=AM,又ADJfAM,所以AMAAl是平行四边形，AAt/∕MDl,AMU平面CEA,AA∣0平面CE

所以胴〃平面CEA，故C正确；

对于D选项，.AtN/∕OOl,OOi1平面A8C3EF,.∙∙AN∙LABCDEF

NAAN为侧棱与底面所成的角，在Rt,A1AN中,cosNAAN=要=:，

AI/ɪZ.

所以NA1AN=60，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

11.已知直三棱柱ABC-ABCl中，NABC=I20。，AB=2,BC=CC1=I,则异面直线A耳与BG所成角

的余弦值为.

【答案】叵

5

【解析】如图所示,设M,MP分别为AB,网和BG的中点,

可得MN//AB∣,NP//BCt,且MN=LABl=屿,NP=>BC∣=立,

所以异面直线ABt与BCi所成角即为直线MN与NP所成的角,

作8C的中点为Q,贝九尸QM为直角三角形，

因为PQ=I,MQ=JAC,

在；ABC中，

由余弦定理可得AC?=AB2+BC2-2A8∙8CcosN4BC=4+l-2χlx2χ(-g)=7,

所以AC=√7,所以MQ=*，

在AMQ尸中，MPNMQ2+PQ2=浮,

在，PMN中，

又因为异面直线所成角的范围是(0,]],

所以4月与BC1所成的角的余弦值为叵.

5

故答案为：眄.

5

12.已知三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的等边三角形，。为8C的中点，若幺48=三，则侧面四

边形BCCtBl为正方形，则异面直线4。与BC1所成角的余弦值为.

【答案】迈

6

【解析】如图所示，取84的中点E,连接4E,DE,则DE//8G，

则NAQE为异面直线A。与BG所成的角（或补角），

因为是边长为2的等边三角形，所以4。=百，

TrTE

又因为NAAB=三，所以44,8乃=1,

2

则线E=gBB∣=1,A1E=JAIB;+B1E-2Λ1Bl-B,Ecos^=√3,

又由四边形BCC4为正方形，所以DE=3BG=血,

所以cosNADE=3^ζ33「=".

2×5p×√26

故答案为：显.

6

13.在矩形ABCD中，AB=2AT）=4,点E为Cf）的中点（如图1）,沿AE将△A3E折起到△APE处,

使得平面尸AE_L平面ABCE（如图2）,则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为.

PR2

【答案】S

【解析】取AE的中点尸，连接CF,PF,

：PA=P£：且E为C£＞的中点，ΛPFrAE,

又；平面P4E_L平面ABCE,平面PAE「平面ΛBCE=AE,PFU平面R4£,

.∙.PF_L平面ABCE,

则直线尸C与平面ABCE所成角为ZPCF

AE=√AD2+DE2=2√2>PF=EF=0

CF2=EF-+CE2-2EFCEcosZCEF=10即CF=M,

所以tan∕Pb=9=正.

√105

14.正方体ABC。-AMCQ的棱长为2,E,F,G分别为8C,CC,,B片的中点，给出下列四

个命题:

①上底边G。的中点在平面AEF内

②直线AG与平面AEF不平行

Q

③平面AEF截正方体所得的截面面积为I

④点C与点G到平面AEF的距离相等.

错误的命题是

【答案】①②④

【解析】在①中，如图所示，连接。尸，D1A,延长。F,AE交于点S,因为E,F为BC,CC的中点,

所以EF//BC-BC1//ADt,所以EF〃A£∖,所以A,E,F,2四点共面，

所以截面即为梯形AEF。，所以上底边GA的中点不在平面AM内，故①错误；

在②中，如图所示，取4G的中点。，连接AQ,GQ,由条件可知GQ∕∕EF,AiQ∕∕AE,

且GQA。=。，EKAE=E,所以平面AGQ//平面的

又因为AGU平面AGQ,所以AG//平面AEF,故②错误；

在③中，由①可知，因为AS=AS=J4?+22=26,ADl=2√2,

所以S叫s=gx2&xj（2^）、[^^）=6,所以“形5=6、9今，故③正确；

在④中，记点C与点G到平面AE尸的距离分别为九，A2,

因为匕九；所以九,

'-A£F=]SΔA=VA_CEF==-2=1,

2

又因为％_八CT•=：∙S^AEF-A2=VA一GEF=ɪ∙J∙=∣>鱼=s

3323oZkAfF

所以九片生，故④错误.

故答案为：①②④.

-+∕c

TE

一、单选题

1.（2022•浙江•模拟预测）现有边长为G的正四面体O-ABC,其中点M为a8Co的重心，点N,H分

别为。Λ/,AN中点.下列说法正确的有（）

3

A.ANlDMB.HM=一D.HM//AB

4

【答案】B

【解析】•••正四面体O-ABC,点M为ABCO的重心，

.∙.M为等边^BCD的中心，

二9_1_面80）,QMU面BCD,LzW.

直线AM与AN交于点A,故AN不与。M垂直，故排除A；

延长。M交BC于点G,则G为BC中点，连接AG,如图所示,

Z.<-

A4B

3

边长为G，在aBCD中可得OG=不，

21

由AM±NM,AD=ʌ/ɜ,DM=—DG=1,MN=一.

32

1________________________I______________________________________O

HM=—y∣AM2+MN2=-AD2-DM2+MN2=-

224

故B正确，C错误；

在AM4G中，H,M分别为NA,NG的中点，

.∙.HM//AG,又「ACcAB=A,不与AB平行，

故D错误.

故选：B.

2.(2022.上海静安.二模)在下列判断两个平面α与夕平行的4个命题中，真命题的个数是().

(1)a、夕都垂直于平面r,那么a〃夕.

(2)a、户都平行于平面r,那么a〃夕.

(3)a、4都垂直于直线/,那么a〃夕.

(4)如果/、机是两条异面直线，且/〃a,m〃a,I//β,m//β,那么a〃尸

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由面面平行的判定定理分析可知(1)错，(2),(3),(4)正确.

故选：D

3.(2022•浙江嘉兴•二模)如图，已知正方体488-ABCQ的棱长为1，则下列结论中正确的是()

①若E是直线AC上的动点，则DE〃平面ABG

②若E是直线AC上的动点，则三棱锥E-ABG的体积为定值，

6

TT

③平面43C∣与平面ABCQ所成的锐二面角的大小为了

4

④若F是直线3。上的动点，则A尸∙LAC

A.①②®B.②③®C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】对于①，连接AzYeA,

AxDJIBC,A,Dt=BC,二四边形ABCO为平行四边形，；.48〃Cq,

又ABU平面ABG,c。(Z平面A〃G,∙∙∙C。〃平面ABG,

同理可得：AD"平面386，

AD1∩CD,=D,,AR,CRu平面AC。，.•.平面ACQ〃平面ABG,

若E是直线AC上的动点，则AEU平面ACR,，。岑〃平面ABG，①正确;

对于②，由①知，RE〃平面ABG,

==

二%-4町=5-Ag=V-AGD1ɜ∙^,Λ1CID,力用~×~×1×1×1=->②正确;

对于③，连接Ba,交ACl于点。，连接B。，

平面43CZ)〃平面A百Ca,平面ABG与平面ABCo所成的锐二面角即为平面48G与平面A4CQ所

成的锐二面角,

.四边形ABCQ为正方形，.∙.ACTBQ,。为AG中点,

又AyB=BCBOLAiCt,

•••NBOBl即为平面ABG与平面AgGq所成的锐二面角的平面角，

tanZBOB1=-^L=-L=√2Π

1BO√2,：.NBOB产一,

14

2

■rr

即平面MG与平面例。所成的锐二面角不为“③错误;

对于④，四边形ABCD为正方形，，AC"L8。,

Bg_L平面ABCZ),ACU平面ABCQ,：.BBJAC,

又BBeBD=B,88],8£><=平面8。£）蜴，「.4^_1平面8£巴81；

若F是直线50上的动点，则AFU平面.∙.RFLAC,④正确.

故选：C.

4.（2022•山东潍坊・三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多

面体"鳖臊”是四个面都是直角三角形的三棱锥.若一个“鳖膈”的所有顶点都在球。的球面上，且该"鳖膈''的

高为2,底面是腰长为2的等腰直角三角形.则球。的表面积为（）

A.12万B.46TrC.6兀D.2乃

【答案】A

【解析】如下图所示：

在三棱锥A—8CD中，A3，平面BCE>,BCLCD且BC=CD=2,AB=2,

因为Afi_L平面BCD,BC、BD、CDu平面BCO,则A8L8C,ABVBD,CDlAB,

CDLBC,ABcBC=B,∖CQΛ平面ABC,ACU平面ABC,.∙.ACYCD,

所以，三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且BD=《BC?+CD?=2也，

AD=AB1+BD1=2√3，

设线段AD的中点为。，则OB=OC=gAO=OA=OQ,

所以，点。为三棱锥A-BCD的外接球球心，

设球。的半径为R,则R=gAO=6,因此，球。的表面积为4万收=12万.

故选：A.

5.（2022.河南.模拟预测（文））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、

体、美、劳各方面得到全面发展.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是

一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示，AF=BF=2五,48=AA=2AO=4,P,Q,

M,N分别是棱AB,GE,BB-A尸的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是（）

2√15后

D.

15155

【答案】B

【解析】分别取棱CG,AE的中点G,H,连接A”，HQ,NH,MG,GH.

易证四边形APQH是平行四边形，四边形MNHG是平行四边形,

则AH〃PQ,GH//MN,

故∕A"G是异面直线PQ与MN所成的角或其补角.

因为AF=BlF=,AB=AAt=2AD=4,

所以A，=闻，GH=30，AG=2√6,

30+18-242√15

则COSNAHG=

2×√30×3√2^15'

故异面直线PQ与MN所成角的余弦值是噜.

故选：B

6.（2022•北京•人大附中模拟预测）已知正方体ABCD-ABCQ,。为对角线ACI上一点（不与点AG重合）,

过点O作垂直于直线4G的平面。，平面。与正方体表面相交形成的多边形记为M,下列结论不正确的是

)

AD

A.M只可能为三角形或六边形

B.平面ABCD与平面α的夹角为定值

C.当且仅当。为对角线AG中点时，M的周长最大

D.当且仅当。为对角线AG中点时，M的面积最大

【答案】C

【解析】如下图，在正方体中，体对角线AG与平面CBQ-平面AB。，平面。PQRST都垂直，由图可知,

在平面α运动过程中M只可能为三角形或六边形，故A正确：由题可知平面α与AG都垂直，所以平面ɑ在

移动过程中都是平行平面，与平面ABCD的夹角为定值，故B正确；如下图，当。为对角线AG中点时，M

为正六边形。PQRST,而三角形ABO为等边三角形，根据中位线定理。T=；4C,可得两个截面周长相等,

故C错误；由图可得，当。为对角线4G中点时，M为正六边形OPQRST,设边长0T=α,面积为土叵〃，

2

当。向下刚开始移动时，M为六边形。出。RQZ,结合图形可知两邻边一条增大，一条减小且变化量相等,

设。1="+x,S"="-x(0<x<4),而且所有六边形的高都相等且等于扃，两邻边夹角都为120,则S,、

边彩°∣4Q∣R∣S∣T]=S附”+S稀彩

PAs,τ,+sQAS,=:(α+x)(α-X)Sin120×2+^-(a+x+a-x)×y∣3ax2<,当M为三角形时

22222

面积最大为岛2<转所以当且仅当。为对角线Aa中点时，M的面积最大，故D正确.

2

故选：C.

7.(2022•河南安阳•模拟预测(理))在四面体ABC。中，NBCD=90。,AB，平面BCD,AC=CD.过点

B作垂直于平面AS的平面α截该四面体，若截面面积存在最大值，则tanZAC8的最大值为()

A.√2B.√2C,√3D.%

【答案】C

【解析】在四面体ABC。中，NBCD=90。,AB_L平面Be3,AC=Cr).TABJ_平面8C£),CDU平面BCQ,

ABLCD,又CDLBC,ABCBC=B,则COl平面ABC,过8作BEj_AC于点E,过点E作所〃CD,则

斯_L平面ABC,BEU平面ABC,故EF上BE,ACEF=E,则AC_L平面BEF,ACU平面AC。，故

平面8£产_1_平面AC。，设tanZACB=<9,设AC=I,在RABC中，BC=cosθ,AB=Sin。，在RABE中，

AEEF

ZABE=8,BE=ABcosθ=sin0cosθ,ΛE=ABsin^=sin2在△ACQ中，EFHCD,则=故

EF=AE=Sin2O,故

111isin"cos。1tan3θ

=X

S八BFF=-BE∙EF=-Sin。COs。∙sin2。=—Sin3夕Cos。=不x7Γ^Zforι4λ,9tnn2n,1

△BEF2222(sin20+cos26›)2tan6+2tan6+1

11

X—/(x)=V+2x+',得

2ɪ2^令X=---,x∈(0,÷∞)

—~—I--------FtanΘtanθ

tanθtanθ

尸(X)=3/+2—=3x4+2/-I=(3七)产+1),当广⑴>。时，》〉手，当/(力<。时，0<*<4,

XX"x"ʒ3

故函数/（X）在用时单调递减，在（理,+8）时单调递增，即当X=。时，F（X）有最小值，此时截面

面积最大，故当一!一=@,tan，=石时，截面面积最大，故若截面面积存在最大值，则—L≥走，故

tan3tan。3

tanZACB的最大值为6，

8.（2022•浙江绍兴.模拟预测）如图，斜三棱柱ABC-A4G中，底面二43C是正三角形，瓦尸,G分别是

侧棱AAl,即,CG上的点，^.AE>CG>BF,设直线CA,8与平面EFG所成的角分别为名/，平面防G与

A.SineVSina+sin/?,CoSe≤COSa+cos/?

B.Sin8≥sin。+sin/?,cos<cosa+COS/

C.SineVSina+Sin分,cos，>cosa÷cos/7

D.Sine≥sinα+sin。cosθ≥cosa+COS/7

【答案】B

【解析】

如图：延长ERAB交于M,延长EG,AC交于N,延长FG,BC交于D,易得MN为平面ABC和平面EFG

的交线,

又。在平面ABC和平面MG上，则£＞在直线MN上，即M,M。三点共线，由外角定理可得

ττ

NANM+NCDN=-.

3

过A作APL面EFG,垂足为P,过A作AQLMN,垂足为Q,连接PQ,PN,易得N/W尸即为直线C4与

平面EFG所成的角。,

则Sina=—,又APjL面EbG,MNU面EFG,则AP_LMN,又AQlMN,AP,AQu面APQ,

AN

APryAQ=Af

所以MNl.面"。，PQU面AP。，则MNLPQ,则/AQP即为平面石FG与底面ABC所成的锐二面角巴

∆p

贝IJSine=而,

又SinNANM=强,

则Sina=Sine∙sinZ∕VW,同理可得sin/?=Sine∙sin∕CDN,则

AN

sinα+sin/7=Sine∙(sinZANM+sinZC£W),

又由

sin公NM=—M+NCDNSCDN

22

.∕ANM+/CDN、/ANM-/CDN、/ANMtZCDN、./ANM-NCDN、

=sɪn(---------------------)cos(----------------------)+cos(----------------------)sɪn(----------------------),

sinACDN=sin/ANMCDNAANM-/CDN)

,ZANM+ZCDN/ANM-/CDN、/ANM+4CDN、.，AANM-NCDN、

=sɪn(---------------------)xcos(-----------------------)-cos(----------------------)sɪn(----------------------),

则

za+zc

sinZANM+sinZCDN=2sin(≡≡)CoSlNM-NSV)52^^ANM+ZCDN=?SinJ,

2226

故Sina+sin力=Sin"(SinZAΛ7W+sinNCfW)≤sin6,A,C错误;

故CoS2，=I-Sin26≤l-(sinα+sin⑶2,由α,∕eθ,ɪ可知α-∕e，所以1+2COS(α-∕7)>0,

即l+2cos<zcos∕7+2sinasinβ>G,整理可得

sin2α+cos2α+sin2)9+cos2夕+2COSaCOS尸+2SinaSinβ-∖>Q,

即(SinC+siny0)^+(CoSa+cosβ∖-1>O,即(CoSa+cos∕7)~>1-(Sinaf+sin∕7)^,

故cos*=I-Sin2e≤l-(sinc+sin夕y<(cose+cos∕)2,又CoSa,cos/?,CoSe≥0,故CoSe<cosα+cos4，B

正确，D错误.

故选：B.

二、多选题

9.（2022・广东•大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体ABCf）-A耳GR中，。为线

段AC的中点（图中未标出），以下说法正确的有（）.

A.线段CD中点为E,则直线OE与平面ABCR所成角的正弦值为T.

B.在线段AB上取靠近8点的三等分点F,则直线O尸与直线CQl不共面.

C.在平面ABCD上存在一动点P,满足∣M+WH=2,则P点轨迹为一椭圆.

D.在平面C248上存在一动点。，点。到点。的距离和点Q到直线AB的距离相等，则点Q的轨迹为抛

物线，其准线到焦点的距离为√5.

【答案】AD

【解析】选项A：取AC中点“，连接HZXAH、OE、A'CDr4。

正六面体48CD-AMGA中，DH±D,C,DHVBC,DxCΓχBC=C

则_L平面AiBCDl,则NDAIH为直线4。与平面AiBCDl所成角

Rt∆DΛ,H,中DH=6,Ao=20

则SinNDA”=半=：,即直线A。与平面A1BCD1所成角的正弦值为;.

2√222

由0为线段AC的中点，E为线段CD中点，可得4。〃。石

则直线OE与平面ABC。所成角的正弦值为g.判断正确；

选项B：在线段GA上取靠近2点的三等分点“，连接HARB、D1C

qG

H

正六面体ABCD-AMG2中，Dt/∕BC,A1D1=BC

则四边形AACB为平行四边形，则A0、B。相交且互相平分，则ACCS。=。

又HDJiBF,”2=B尸，则四边形"RF8为平行四边形，

则HF、BDt相交且互相平分，则HFCBR=O

又四边形HRFB为平行四边形，则GACoF=H

则直线QF与直线GA共面.判断错误：

选项C：在平面ABCD上一动点P,满足IAH+忸H=2,

又正六面体ABCA-AACQ的棱长为2,则P点轨迹为线段A8.判断错误；

选项D：连接AG、D1B.AD1

则正六面体ABS-ABCQ中，ABCAC=O,AGCAC=O

则0点为矩形GAAB的中心.

在平面CiQAB上一动点。，点。到点0的距离和点Q到直线的距离相等,

则点Q的轨迹是以。为焦点以直线AB为准线的抛物线，

焦点。到准线AB的距离为贬.判断正确.

故选：AD

ɪθ.（2022•湖北省仙桃中学模拟预测）已知点£F为正方体ABCD-ABGA的棱AB、BC的中点，过EF

的平面ɑ截正方体，AB=4,下列说法正确的是（）

A.若α与地面ABCD所成角的正切值为应，则截面为正六边形或正三角形

B.α与地面ABCO所成角为45则截面不可能为六边形

C.若截面为正三角形耳6时，三棱锥Q-EFG的外接球的半径为竽

D.若截面为四边形，则截面与平面4E尸所成角的余弦值的最小值为1

【答案】AD

【解析】取EF的中点。，做Ool底面48GA,则。为Ba的四等分点，

且Oa=4,30=0,分别取AA、DG的中点M、N,连接MN、旦9交于K点，则K点为用仅的四等分

点，连接0K,在正方体ABCn-AMG。中，OKLMN,BlDi1MN,此时E尸、MVU平面α,

即平面α与底面ABeR所成的角为ZOKB1,且tanNOKBL器=壶=0,

因为平面A88//平面AB∣G2,所以平面α与底面ABCD所成的角的正切值为&,

再分别取4A、CG的中点。、P,连接EQ、QM、NP、PF,即过"'的平面α截正方体的截面为正六边形

EGMNPF；取用8的中点G,连接EG、FG,则4EFQ为等边三角形，EFLOQ,EFlOB,所以N8OQ即

为平面ABC。与平面所G所成的二面角的平面角，⅛Oβ=→4√2=√2,BG=I,

4

Rr2L

tanZBOG=—=-==√2,

OG√r2

所以平面ABCDH与平面EFG所成的二面角的平面角的正切值为正，此时.EFG为等边三角形，故A正确;

当NoKBl=45时，IanZOKBl=1,所以Ool=KOl=4,所以AK=30-4,

由于M/V//EF,所以。MN为等腰直角三角形，MN=60-8,

由于EF=2近，所以四边形MNFE为等腰梯形，必与GC、AA有交点，

则截面为六边形，故B错误；

若截面为正三角形EFG时，则G为四B的中点，

所以三棱锥Q-EFG为正三棱锥，且EF=2√LAG=Jl6+16+4=6,

设正三角形EFG的外接圆的圆心为。一外接球的球心为。，连接。G.OG,

则Oo=OG=R,QlG=EF=巫，因为AG2=。哥+与G2=32+4=36,

'2sin603

222

所以D1O1=DtG-O1G=36-在RtOGO1中,

因为。o；+OiG2=OG?,所以竽-Rj+[3]=A2,解得R=竽，故C错误;

若截面为四边形，则截面与底面ABC，棱的交点必在ABrC4上，且截面为AcLE时与平面瓦E尸所成

角的最大，此时的余弦值最小，连接4C，取AG的中点T，连接87，OBi,则F8∣=B∣E,OBjEF,

四边形AaEF为等腰梯形，OTLEF,

则ZTOB1即为截面为ACFE时与平面B1EF所成平面角,Bo=16+2=18,

22

B1T=8,TO=16+2=18,在0叫中,

由余弦定理得3々。4=吗%普故D正确.

2BlO×OT2×189

E

故选：AD.

三、填空题

11.（2022・河南•新乡县高中模拟预测（理））已知A,B两点在球O的球面上，过直线A8的两个平面所

成的锐二面角为60。，两平面与球面的交线分别为圆C和圆。，圆C的半径为1,圆。的半径为2,且AB

是圆C的一条直径，则该球的半径为.

【答案】√5

【解析】由题意可知，如图所示，

因为AD=%）