2023-2024学年河南省许昌市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省许昌市九年级第一学期期中数学试卷

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是()

2.点尸(2,-3)关于原点对称的点P的坐标是()

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

3.如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180。后所得到的图案是()

4.将抛物线y=N先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是()

A.y—(尤-3)2+4B.y—(x+3)2+4

C.y=(x-3)2-4D.y=(x+3)2-4

5.若关于x的一元二次方程(?77-1)N+5X+/"2-4m+3=0的常数项为0,则机的值为()

A.1B.3C.1或3D.0

6.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷

开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设

该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是（）

A.16（1+无）2=23B.23（1-%）2=16

C.23-23（1-x）2=16D.23（1-2%）=16

7.如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△相>£,点2,C的对应点分别是点。，

E,且点E在8C的延长线上，连接3。，则下列结论一定正确的是（）

A./CAE=/BEDB.AB=AEC./ACE=/ADED.CE=BD

8.抛物线y=/+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）

A.」B.—C.-4D.4

44

9.若一个菱形的两条对角线长分别是关于X的一元二次方程尤2-10x+m=0的两个实数根，

且其面积为11,则该菱形的边长为（）

A.aB,273c-714D-2V14

10.已知Pi（xi,yi）,P2（X2,>2）是抛物线y=ox2+4ax+3是常数，aWO）上的点，现

有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点（0,3）在抛物线上；③若

Xl>X2>-2,则—>>2；④若yi=>2,则尤1+无2=-2,其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.把方程3%2=5尤+2化为一元二次方程的一般形式是.

12.正方形绕中心至少旋转度后能与自身重合.

13.二次函数y=-x2-3x+4的最大值是.

14.如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8,4）,连接。3,将绕点。逆时针旋转

90°,得到08,则点B'的坐标为

15.如图，抛物线y=/-6x+5与无轴交于点A,B,与y轴交于点C,点。（2,M在抛

物线上，点E在直线上，若/DEB=2ZDCB,则点E的坐标

16.解方程：

（1）（2尤-1）2=9；

（2）尤2-4x-1=0.

17.如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空.

（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段。8,连接AB；

（2）画出与△AOB关于直线对称的图形，点A的对称点是C；

（3）填空：NOCB的度数为.

18.如图，△ABC中，点E在边上，AE=AB,将线段AC绕A点旋转到A尸的位置,

使得/CAF=N8AE,连接EF,EF与AC交于点G.

（1）求证：EF=BC；

(2)若/ABC=65°，ZACB=28°,求/尸GC的度数.

19.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊

圈A8CD并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640加2的羊圈？

（2）羊圈的面积能达到650〃/吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

'AlID'

Fc

20.一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛

物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离尤（m）之间的函数关

系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A

的水平距离为3m时离水面的距离为7/77.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长.

L

、

押

Osae

Btt

21.某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡

水鱼的日销售量y（千克）与销售价格无（元/千克）（30Wx<60）存在一次函数关系，

部分数据如表所示：

销售价格x（元/千克）5040

日销售量y（千克）100200

（1）试求出y关于x的函数表达式.

（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销

售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？

22.阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程办2+bx+c=0（a#0）的根就是相应的二次函数>=办2+6尤+c（a

力0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况：有

两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两

个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与无轴的交点个

数确定一元二次方程根的情况.

下面根据抛物线的顶点坐标（-4,4ac-b）和一元二次方程根的判别式Am-4ac,

2a4a

分别分a>0和a<0两种情况进行分析：

（1）a>0时，抛物线开口向上.

①当△="-4ac>0时，有4℃-抉<0.•/（z>o,顶点纵坐标4a<-2_匕_<0.

4a

...顶点在无轴的下方，抛物线与尤轴有两个交点（如图1）.

②当A-4ac=0时，W4ac-b2—0.\'a>0,...顶点纵坐标④。3_匕_=°.

4a

顶点在X轴上，抛物线与X轴有一个交点（如图2）.

...一元二次方程。尤2+法+°=0（qWO）有两个相等的实数根.

③当A="-4ac<0时，

（2）a<0时，抛物线开口向下.

任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项

中选出两个即可）；

A.数形结合

B.统计思想

C.分类讨论

D.转化思想

(2)请参照小论文中当。>0时①②的分析过程，写出③中当A<0时，一元二

次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；

(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识.例

如：可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例

为.

Ml图2

23.如图，在中，AC=BC=3&，点。在A8边上，连接C。，将CC绕点C逆时

针旋转90°得到CE,连接3E,DE.

(1)求证：ACAD名ACBE；

(2)若AO=2时，求CE的长；

(3)点。在上运动时，试探究AD2+8Q2的值是否存在最小值，如果存在，求出这

个最小值；如果不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是()

解：A、图形是中心对称图形，符合题意；

8、图形不是中心对称图形，不符合题意；

C、图形不是中心对称图形，不符合题意；

。、图形不是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后

的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键.

2.点尸(2,-3)关于原点对称的点P的坐标是()

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-尤，-y),

即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数.

解：点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是(-2,3).

故选：D.

【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关

键.

3.如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180。后所得到的图案是()

【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关

键点，分析选项可得答案.

解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案

绕中心旋转180。后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C

故选：C.

【点评】本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上

绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后

图形的大小和形状没有改变.

4.将抛物线y=N先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）

A.y=（尤-3）2+4B.y=（尤+3）2+4

C.y=（x-3）2-4D.y=（x+3）2-4

【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可.

解：将抛物线y=N先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是

y=（x-3）2+4.

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的

法则是解决问题的关键.

5.若关于尤的一元二次方程（相-1）x2+5.r+/n2-4m+3—0的常数项为0,则根的值为（）

A.1B.3C.1或3D.0

【分析】常数项为零即加-4〃?+3=0,再根据二次项系数不等于0,即可求得相的值.

解：根据题意得：“祥-4"计3=0,且机-1W0,

解得：%=3,

即m的值为3,

故选：B.

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一

元二次方程的定义是解本题的关键.

6.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷

开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设

该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是()

A.16(1+无)2=23B.23(1-x)2=16

C.23-23(1-x)2=16D.23(1-2x)=16

【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23(1

-x)万元，5月份的售价为23(1-x)(1-x)=23(1-%)2万元，据此根据5月份

售价为16万元可列出方程，进而可得出答案.

解：：3月份售价为23万元，月均下降率是x,5月份售价为16万元，

.\23(1-%)2=16.

故选：B.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5

月份的售价是解答此题的关键.

7.如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△AOE,点2,C的对应点分别是点。，

E,且点E在8C的延长线上，连接8D,则下列结论一定正确的是()

A./CAE=NBEDB.AB=AEC./ACE=/ADED.CE=BD

【分析】由旋转的性质可得/ABC=NAOE,NBAD=NCAE,由三角形内角和定理可得

NBED=ZBAD=ZCAE,

解：如图，设AO与BE的交点为O,

・・,把△A3C以点A为中心逆时针旋转得到△A0E,

ZABC=NADE,ZBAD=ZCAE9

又「ZAOB=ZDOE,

：.ZBED=NBAD=ACAE,

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

8.抛物线y=N+%+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）

A.二B.—C.-4D.4

44

【分析】抛物线与尤轴有一个交点，y=0的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就

等于0.

解：•..抛物线y=N+x+c与无轴只有一个公共点，

方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，

A=5-4ac=12-4Xl・c=0,

...c——1.

4

故选：B.

【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键.

9.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根，

且其面积为11,则该菱形的边长为（）

A.愿B,273c.714D.2714

【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系

得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长.

解：设菱形的两条对角线长分别为。、b,

:菱形的面积=两条对角线积的一半,

J.—ab=\\即ab=22

2

，由题意，得a+b=10

ab=22

，菱形的边长=

=yV（a+b）2-2ab

=-^V100-44

=yx/^56

=V14-

故选：c.

【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、

边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键.

10.已知Pi（xi,yi）,Pi（X2,”）是抛物线>=。/+4也+3是常数，a#0）上的点，现

有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点（0,3）在抛物线上；③若

xi>X2>-2,则%>”；④若yi=>2,则尤1+无2=-2,其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可

以解答本题.

解：：抛物线尸底+4"+3的对称轴为直线x=-冬=-2,

2a

...①正确；

当x=0时，y=3,则点（0,3）在抛物线上，

・••②正确；

当。>0时，xi>X2>-2,则yi>”；

当。<0时，xi>X2>-2,则％〈”；

③错误；

当y1=y2,则为+%2=-4,

**•④错误；

故正确的有2个，

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.

二、填空题（每小题3分，共15分）

1L把方程3尤2=5X+2化为一元二次方程的一般形式是3炉-5x-2=0.

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c^Q（a,b,c是常数且aWO）,据此即

可求解.

解：一元二次方程3N=5X+2的一般形式是3N-5x-2=0.

故答案为:3N-5X-2=0.

【点评】在移项的过程中容易出现的错误是忘记变号.

12.正方形绕中心至少旋转—度后能与自身重合.

【分析】正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角

及旋转对称图形的定义作答.

解：V36O04-4=90°,

正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合.

故答案为：90.

【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转

角.

13.二次函数y=-x2-3x+4的最大值是—今

【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题.

解：y=-N-3x+4=-（x+—）2+—.

24

'：a=-KO,

.•.当尤=Y时，y取得最大值，最大值=孕.

24

故答案为：尊.

4

【点评】本题考查了二次函数的最值，牢记“当自变量取全体实数时，其最值为抛物线

顶点坐标的纵坐标”是解题的关键.

14.如图，在平面直角坐标系中，点8坐标（8,4）,连接将绕点。逆时针旋转

90°,得到。8,则点夕的坐标为（-4,8）

【分析】分别过点2、B'向无轴作垂线，垂足分别为V、N.

（方法一）利用A4s证明RtAOMBgRt△夕NO,根据对应边相等求解;

（方法二）利用直角形中，互余的两个角的三角函数之间的关系求解.

解：分别过点8、B'向x轴作垂线，垂足分别为M、N.

(方法一),:/BOB'=90°,

J.ABOM+AB'ON=90a.

：.ZB'ON=ZOBM.

在Rt/XOMB和RtABzNO中，

'NOMB=NB'NO

•Z0BM=ZByON，

QB=B'0

NO(A4S),

：.B'N=0M=3,ON=BM=4,

...点夕的坐标为(-4,8).

(方法二)根据题意，得OB'=0B=duM'2+BM&=[+“=4A/^.

BM4

sinZBOM=sin(90°-/B'ON)=cosZB'ON愿

OB-4V55，

0M8

-ZB,ON)=sinZB'ON.2反

coscos(90°OB-4V5——5

'ON=4遥义三=4,B'N=OB'-smZB'ON=4、后

：.ON=OB'-cosZB

55

=8.

・••点8'的坐标为（-4,8）.

故答案为：（-4,8）.

【点评】本题考查坐标与图形的变化-旋转，利用图形之间长度与角的关系解题是本题

的关键.

15.如图，抛物线y=N-6x+5与无轴交于点A,B,与y轴交于点C,点。(2,m)在抛

物线上，点E在直线BC上，若/DEB=2/DCB,则点E的坐标是—(芦，言和

【分析】先根据题意画出图形，先求出。点坐标，当E点在线段8c上时：/DEB是乙

DCE的外角，NDEB=2/DCB,而NDEB=/DCE+NCDE,所以此时/。CE=/CDE,

有CE=DE,可求出BC所在直线的解析式y=-尤+5,设E点(a,-a+5)坐标，再根

据两点距离公式，CE=DE,得到关于a的方程，求解。的值，即可求出E点坐标；当

E点在线段CB的延长线上时，根据题中条件,可以证明BG+BD2=DG得到/DBC为

直角三角形，延长EB至E',取BE'=BE,此时，ZDE'E=ZDEE=2ZDCB,从而

证明£'是要找的点，应为OC=OB,△OCB为等腰直角三角形，点£和皮关于8点

对称，可以根据E点坐标求出皮点坐标.

解：根据。点坐标，有根=22-6X2+5=-3,所，以。点坐标(2,-3),

设8C所在直线解析式为y=kx+b,其过点C(0,5)、B(5,0),

(b=5

15k+b=0，

3C所在直线的解析式为：y=-x+5,

当七点在线段上时，设E(〃，-〃+5),ZDEB=ZDCE+ZCDE,而/DEB=2N

DCB,

；・/DCE=NCDE,

・・・CE=DE,

因为E(〃，-〃+5),C(0,5),D(2,-3),

有J&2+(-a+5-5)2(a-2)2+[-a+5-(-3)]，

解得：a=丫,,-a+5=[所以E点的坐标为：

5555

当£在。3的延长线上时，

在△50。中，BD2=(5-2)2+32=18,

5c2=52+52=50,DO=(5+3)2+22=68,

BD2+BUDC2,

：.BD±BC如图延长砂至E,取BE=BE,

则有△OEE为等腰三角形，DE=DE,

：.ZDEE'=ZDE,E,

又。：/DEB=2NDCB,

：.ZDEfE=2NDCB,

则E为符合题意的点，

VOC=OB=5,ZOBC=45°,

E'的横坐标：5+（5-■%）纵坐标为一I"；

555

综上E点的坐标为：（~^1，提）和（与■,

5555

【点评】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图

象和性质，分情况找到E点的位置，是求解此题的关键.

三、解答题(共75分)

16.解方程：

(1)⑵-1)2=9；

(2)x2-4x-1=0.

【分析】(1)把方程两边开方得到2尤-1=±3,然后解两个一次方程即可；

(2)利用配方法得到(x-2)2=5,然后利用直接开平方法解方程.

解：(1)(2x-l)』9,

2x-1=±3,

所以无1=2,尤2=-1;

(2)X2-4x-1=0,

x2-4x—1,

x2-4x+4=5,

(尤-2)』5,

x-2=±b，

所以xi=2+，尤2=2-5-

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步

骤是解决问题的关键.也考查了直接开平方法解一元二次方程.

17.如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空.

(1)画出线段OA绕点。顺时针旋转90°后得到的线段。8,连接A8；

(2)画出与△AOB关于直线02对称的图形，点A的对称点是C；

(3)填空：/0C2的度数为45°.

【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A的对称点8,从而得到

(2)延长AO到C点使0c=。4,则△COB满足条件；

(3)先根据旋转的性质得到。8=。4,ZA(9B=90°,则可判断△0A8为等腰直角三角

形，所以/。42=45。，然后利用对称的性质得到N0C2的度数.

解：(1)如图，08为所作；

(2)如图，△C0B为所作；

(3):线段0A绕点。顺时针旋转90°后得到的线段08,

；.OB=OA,ZAOB=90°,

:.AOAB为等腰直角三角形，

：.ZOAB=45°,

•；小COB与△A08关于直线0B对称，

：.ZOCB^ZOAB^45°.

故答案为：45°.

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转

角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，

找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.也考查了轴对称变换.

18.如图，ZsABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置，

使得NCAP=NBAE,连接EF,EF与AC交于点G.

(1)求证：EF=BC；

(2)若NABC=65°,ZACB=28°,求/PGC的度数.

F

4c—/

BE

【分析】（1）由旋转的性质可得AC=AF,利用SAS证明根据全等三

角形的对应边相等即可得出EF=BC；

（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出/瓦^=180°-65°X2=

50°,那么NE4G=50°.由得出NP=NC=28°,再根据三角形外

角的性质即可求出NFGC=/E4G+/F=78°.

【解答】（1）证明：

ZBAC=ZEAF.

V将线段AC绕A点旋转到AF的位置，

：.AC=AF.

在△ABC与中，

，AB=AE

"NBAC=/EAF，

AC=AF

:.△ABCQAAEF（SAS）,

:.EF=BC；

（2）解：'：AB=AE,AABC=65°,

.\ZBA£=180°-65°X2=50°,

4G=NBAE=50°.

AABC^AAEF,

：.ZF=ZC=2S°,

/.ZFGC=ZFAG+ZF=500+28°=78°.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角

形内角和定理以及三角形外角的性质，证明AABC会AAEF是解题的关键.

19.如图，老李想用长为10m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊

圈A8CD并在边BC上留一个2m宽的门（建在所处，另用其他材料）.

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6407层的羊圈？

（2）羊圈的面积能达到650加2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

IAl7D_1

r-EFC

【分析】(1)根据BC=栅栏总长-2AB,再利用矩形面积公式即可求出；

(2)把5=650代入x(72-2x)中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可.

解：(1)设矩形4BCD的边则边8c=70-2x+2=(72-2x)m.

根据题意，得无(72-2x)=640,

化简，得N-36x+320=0,

解得xi=16,无2=20,

当尤=16时，72-2x=72-32=40(m),

当x=20时，72-2x=72-40=32(m).

答：当羊圈的长为40/77,宽为16m或长为32m,宽为20m时，能围成一个面积为640/的

羊圈；

(2)答：不能，

理由：由题意，得x(72-2无)=650,

化简，得炉-36x+325=0,

A=(-36)2-4X325=-4<0,

•••一元二次方程没有实数根.

羊圈的面积不能达到650m2.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键.

20.一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛

物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离尤(m)之间的函数关

系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A

的水平距离为3m时离水面的距离为1m.

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长.

杪

一

跳

台

支

柱

【分析】(1)用待定系数法可得函数解析式;

（2）结合（1）,令y=0解得x的值即可.

解：（1）根据题意可得，抛物线过（0,10）和（3,7）,对称轴为直线尤=1,

设y关于尤的函数表达式为y=ax1+bx+c,

'c=10

.9a+3b+c=7

••s,

b《

------=1

2a

'a=-l

解得：，b=2,

.c=10

关于x的函数表达式为y=-N+2r+]o；

（2）在y=-N+Zx+lO中，令y=0得0=-N+2X+10,

解得尤=JTI+i或x=-Til+i（舍去），

•••运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（JI1+1）米.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学

问题解决.

21.某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡

水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30W尤＜60）存在一次函数关系，

部分数据如表所示：

销售价格x（元/千克）5040

日销售量y（千克）100200

（1）试求出y关于x的函数表达式.

（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销

售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=fcv+b,由表中数据即可得出结论；

（2）根据每日总利润=每千克利润义销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即

可.

解：（1）设y关于尤的函数表达式为（左/0）.

f50k+b=100

将x=50,y=100和x=40,y=200分别代入，得:

140k+b=200,

fk=-10

解得:

lb=600

.'.y关于x的函数表达式是:y=-10x+600.

（2）W=（x-30）（-lOx+600）=-10x2+900.r-18000.

当x=-2毁=45时，在30Wx<60的范围内，W取到最大值，最大值是2250.

-20

答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元.

【点评】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式.

22.阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程aN+bx+c=0（aWO）的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c（a

。0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标.抛物线与无轴的交点有三种情况：有

两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两

个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与无轴的交点个

数确定一元二次方程根的情况.

下面根据抛物线的顶点坐标（-与,4ac-b）和一元二次方程根的判别式△=吩-4ac,

2a4a

分别分a>0和a<0两种情况进行分析：

（1）a>0时，抛物线开口向上.

①当A=〃-4℃>0时，W4ac-b2<0,,：a>0,.•.顶点纵坐标驷*£<0.

4a

・・・顶点在1轴的下方，抛物线与％轴有两个交点（如图1）.

②当A=b2-4ac=0时，有4ac-b2=o.•.•cz>0,顶点纵坐标