2024届五年高考数学（文课）真题分类训练：七 不等式

专题七不等式

考点19不等式的性质与解法、基本不等式

题组

一、选择题

1.［2021全国卷乙，5分］下列函数中最小值为4的是(C)

_4

2

A.y=%+2%+4B.y=Isinx\+-|-s-i-n-x-|-

C.y=2X+22TD.y=In%+—

/，Inx

［解析］对于选项A,因为y=/+2%+4=(%+1)2+3,所以当无=—1时，y

取得最小值，且%nin=3,所以选项A不符合题意.

对于选项B,令|sin久|=t，则0<t<1，由函数y=t+£在(。,1］上单调递减可

知y25,所以选项B不符合题意.

对于选项C,因为y=2久+22T2272乂・22T=4,当且仅当乎=,即

X=2-X,即％=1时不等式取等号，所以%nin=4,所以选项C符合题意.对

于选项D,当0<%<1时，ln%<0,y=Inx+<0,所以选项D不符合

题意.故选C.

【易错点拨】利用基本不等式求最值时，必须关注其中的“等号”能否取到.

2.［2021浙江，4分］已知a,0,丫是互不相同的锐角，则在sinacos。，

sinpcosy,sinycosa三个值中，大于:的个数的最大值是(C)

A.0B.1C.2D.3

［解析］因为a,/?，Y是互不相同的锐角，所以sina,cos?,sin?,

cosy,siny,cosa均为正数.由基本不等式可知sinacos夕W---------,

sin0cosy<sm丫,sinycosa<,也比.三式相力口可得$也acos6+

sin8cosy+sinycosa:<-,当且仅当sina=cos/?,sin/?=cosy,siny=

cosa,即a=£=y=:时取等号，因为a,0,y是互不相同的锐角，所以

sinacos0+sin8cosy+sinycosa<|,所以这三个值不会都大于［.若取a=

ITITIt.ITTiV3V2福、2

则s吗c吗=|x］sin-cos-=—X一—>―

6=时=142342244

3sin9cosm==所以这三个值中大于；的个数的最大值为2.

24622422

故选C.

3.［2020北京，4分］已知函数/(%)=2x-x-l,则不等式/(久)>0的解集是

(D)

A.(-1,1)B.(―8,—1)u(1,+8)C.(0,1)D.

(—00,o)U(1,4-00)

［解析］函数/(%)=2乂—%—1,则不等式/(%)>0的解集即2支>%+1的解

集，在同一平面直角坐标系中画出函数y=2丫,y=%+1的图象(图略)，结

合图象易得乃>x+l的解集为(―*0)U(1,+8),故选D.

二、填空题

4.［2021天津，5分］若a>0,5>0,则工+9+5的最小值为2Vs.

a

____A=乌

［解析F+S+2］^+5=：+匕22位,当且仅当］:一》'即。=/)=/

ab27ab2匕

时取等号，所以W+b的最小值为2夜.

abz

5.［2020天津，5分］已知a>0,b>0,且ab=1,则工+々的最小值

2a2ba+b

为4.

a+b,8a+b,8、。a+b8.

［解析］依题意得;+。+=------1------=-------1------>Z——x——=4,当且

2a2ba+b2aba+b2a+b2a+b

'G>0,

仅当lajJ'l即产:1'”时取等号.因此，；+5+三的最小值为4.

山〜1(2+D=42a2ba+b

a+b_8

<2a+b'

6.［2020江苏，5分］已知5%2y2+y4=i(%,yeR),则/+/的最小值是

［解析］解法一由5x2y2+y4=1得%2=9,则为2+了2=已+z

23号=：,当且仅当之=华，即产=/时取等号，则/+/的最小值是

75yz555yz52

4

5,

解法二4=(5%2+y2).4y2<[(5x+[)+4y]2_m(%2+、2)2,则%2_1.y2>

I，当且仅当5/+y2=4y2=2,即％2铲=1时取等号，则/+/的

最小值是，

7.［2019天津，5分］设％>0,y>0,久+2y=4，则竺且空B的最小值为:.

xy2

[解析]解法一由题意知％=4—2y,代入得(4-?+；)y+1)=-4常?+5=2+

(4-2y)y-2y2+4y

而I再，当y=l时，-2y2+4y取得最大值2,此时原式取得最小值，所以

(%+l)(2y+l)..59

-------->Z9+-=-

xy22

解法二由题意知y=2,代入得空罢尹=筌萨-2X2+8%+10

-%2+4%

-F-,当％=2时，-/+4%取得最大值4,此时原式取得最小值，所以

-(x-+-l-)(-2-y-+-l)>_Z„+,-5--9

xy22

解法三由题意知殳3为二①把"=空小=2+三，因为％>O,y>

xyxyxyxy

0,所以4-x+2y>2j2xy,即%y<2,当且仅当％=2y=2时取"=",

所以史但

xy22

8.［2019北京，5分］李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草

莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为

增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就

少付％元，每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.

①当％=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付130元:

［解析］顾客一次购买草莓和西瓜各1盒共需60+80=140（元），总价达到

120元，又％=10,即顾客少付10元，所以需要支付130元.

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则

x的最大值为15.

［解析］设顾客买水果的总价为a元，当0Wa<120时，顾客支付a元，李明得

到0.8a元，且0.8a20.7a,显然符合题意，此时％=0；当a2120时，则

0.8(a—x)20,7a恒成立，即％工二a恒成立，x<(-a］，又aA120,所

8

187min

以=15,所以％415.综上可知，04%415,所以％的最大值为15.

'8/min

考点20二元一次不等式(组)与简单的线性规划问

题

题组

一、选择题

rx+y>2,

1.［2022全国卷乙，5分］若％,y满足约束条件,+2yW4,贝ijz=2%—y的最

(y>o,

大值是(c)

A.-2B.4C.8D.12

［解析］作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分，作出直线y=2%,平移该

直线，当直线经过点(4,0)时，z最大，此时z=2x4—0=8,故选C.

X—2>0,

2.[2022浙江，4分]若实数％,y满足约束条件2久+y—7W0,则z=3久+4y

.x-y-2<0,

的最大值是(B)

A.20B.18C.13D.6

第2题图

作出不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线3%+4y=0,由图知，当直

线经过点2(2,3)时目标函数z=3%+4y取得最大值，即Zmax=3x2+4x3=

18,故选B.

'x+y>4,

3.［2021全国卷乙，5分］若％,y满足约束条件卜—yW2,则z=3x+y的最小

V<3,

值为(c)

A.18B.10C.6D.4

［解析］作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=—3%，并平移，数形结合

可知，当平移后的直线经过点2时，直线y=-3%+z在y轴上的截距最小，即

z最小.解方程组K=4,得即点a的坐标为(1,3).从而z=3%+y的

最小值为3x1+3=6.故选C.

【方法技巧】一般地，求目标函数z=a%+by+c的最值时，要注意两个问

题：①准确判断直线20：a%+by=0与可行域的边界所在直线的相对位置；②

当匕>0时，10向上平移z增大，I。向下平移z减小，当5<0时，10向上平移z

减小，2。向下平移z增大.常见的目标函数还有：距离型一一形如z=

(%-a)2+(y-b)2；斜率型一一形如z=当.具体解题时，必须注意转化的等

价性及几何意义.

%+120,

4.[2021浙江，4分]若实数％,y满足约束条件％—yW0,则z=%—[y

.2%+3y-1<0,

的最小值是(B)

311

A.-2B.--C.--D.-

2210

[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=2%并平移，数形结合可

知，当平移后的直线经过点a时Z取得最小值.由心工?;1=。'得z[1'

的边界交点处取得.

5.[2020浙江，4分]若实数为,y满足约束条件二瑟。'则z=%+2y的

取值范围是(B)

A.(—00,4]B.[4,+oo)C.[5,+oo)D.(-oo,+oo)

［解析］画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线“+2y=0,平移该直线，

易知当直线经过点2(2,1)时，z取得最小值，Zmin=2+2X1=4,再数形结

合可得z-x+2y的取值范围是［4,4-00).

/%+y-2<0,

6.［2019天津，5分］设变量久,y满足约束条件］：］匕;？2°，则目标函数z=

ly>-1,

-4x+y的最大值为(C)

A.2B.3C.5D.6

［解析］作出可行域如图中阴影部分所示.由z=-4x+y得y=4x+z,结合图形

可知当直线y=4%+z过点2时，z最大，由匕;2=0,得义―I#,故

zmax=-4x(—1)+1=5.故选C.

二、填空题

3%—2y<3,

7.［2023全国卷甲，5分］若％,y满足约束条件卜2%+3y<3,则z=3久+2y

.X+y>1,

的最大值为15.

［解析］根据不等式组作出可行域如图所示，作出直线3久+2y=0并平移，由图

可知，当平移后的直线经过点2时，z取得最大值.根据得

｛；13所以Zmax=3x34-2x3=15.

最大值为8.

［解析］如图，作出可行域，为一封闭三角形区域(包含边界).作出直线y=2%

并平移，当直线y=