2024年中考培优训练二元二次方程知识点强化训练【含答案】

［2024年中考专题培优训练】二元二次方程知识点强化训练

一、单选题

1.下列说法正确的是（）

A.x2+3x=0是二项方程B.xy-2y=2是二元二次方程

C.史罗是分式方程D.迎x2-后=1是无理方程

2.方程组晶=翡卷

A.没有解B.有1组解

C.有3组解D.以上答案都不对

3.如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余

的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22,长方形③中的阴影部

分面积为96,那么一个小长方形①的面积为（）

A.5B.6C.9D.10

4.以方程组［:久］）=彳的解为坐标的点（x,y）在第（）象限.

（.3%+4y=2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.下列方程中，判断中不正确的是（）

A.方程煮一看=0是分式方程

B.方程3久、+2久+1=0是二元二次方程

C.方程V3x2+V2x—V7=0是无理方程

D,方程（%+2）（久—2）=-6是一元二次方程

二'填空题

6.已知实数a,b同时满足a?+必一11=0，a2-E>b-5-0,则b=.

7.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知“是数学学习中解决问题的基本思维方式.例如：解

方程X-«=0,就可以利用该思维方式，设立=y,将原方程转化为y2—y=0这个熟悉的关于y

的一元二次方程，解出y即可求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面

（5x2y2+2x+2y=133

的问题.已知实数X,y满足x+yr22「，则/+y2的值为________.

"（+2xzyz=51

8.如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个底面为正方形盒内，它们之间互相重叠.已知露

在外面的部分中，红色的面积是20,黄色的面积是13,绿色的面积是n,则盒子底面的面积

为.

9.把二次方程/—4xy+4y2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别

是.

io.解方程组［；的结果为

—V=3---------------------

11.已知两个非零实数a,b满足a2+a=b+3,b2+b=a+3,则代数式。+邹］值为.

ab---------------

12.正整数m、n满足8m+9n=mn+6,则m的最大值为.

13.将二元二次方程久2-6xy+9y2=4化为二个二元一次方程为.

14.二元二次方程/—孙一6俨=0可以化为两个一次方程，他们是.

15.如果一个二元二次方程的一个解是{;二j，那么这个二元二次方程可以

是.（只需写一个）

16.将二元二次方程%2-5xy+6y2=0化为两个一次方程为.

17.方程组,2-3?+2}=0的解是

18.写出二元二次方程/+y2=13的一对整数解是.

19.中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这

个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,a为直角三角形中的较大

锐角，贝tana=.

三、计算题

(2x+y=6

20.解方程组：

lx2+xy—2y2=o'

(x2—xy—6y2—0①

21.；解方程组：Ix+y=4②

22

22.解方程组：］4x—y=15

2x—y=5・

f%2—y2=0

23.<

[%2—xy—y2=9

24.解方程组：］2%—3y=3

%2_9y2=0-

(x2—2xy—3y2=0

25.解方程组：

(x2—xy+y2=3*

26.解方程组：1x2—5xy+6y2=o

%24-y2+%-lly-2=0

27.解方程组：1x+2y=12①

9%2—12xy+4y2=16②

28.解方程组：!y-2x=6①

4x2+4xy+y2=4②

29.解方程组：］x-y-2=0①

/+y2=I。②

30.解方程组：］2x—y=6①

%2—xy—2y2=0②

2

31.解方程组：（x—3xy+2y2=o

%+2y—12=0,

32.解方程组：］x2—2xy+y2=1

(%+2y产-3(%+2y)=10

33.13x2-5xy--6y2=2

、x2—2xy—2y2=1.

34.解方程组：，x2+xy=0,(J)

lx2-2xy-l+y2=0,(2)

35.解方程组：J,2%_y=6

-xy-2y2=0

36.解方程“「一3y=5①

-2xy+y2=4②

37.解方程组：,工+2y=5

(%，-2xy+y2=4*

38.解二元二次方程组[x+y-l=0

-y-2%-1=o

.(x—y=-2

39.解万程组：上2n-

ixz—xy—29yz=0

4。.「解、万/程组：(x口—y；+/1==0］3

41.解方程组：尸一2,7Kl①

Ix-y=l@

Efx+y=2

42.解万程组：2,n2

(xz+xy—2yz=0n

43.解方程组」＞+4初+4亡9①

44.解方程组［

45.解方程组：代27孙？;二

(必+Sxy-6yz=0

E(x+y=2

46.解万程组：22―

Uz—xy—27yz=10

四'解答题

47.在一次捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信

息：(1)乙单位捐款数比甲单位多一倍；(2)乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数

少100元；(3)甲单位的人数是乙单位的］

你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？

48.我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为b+a,则称该方程为“和解方程”.例如：

方程2x=—4的解为x=—2,而—2=—4+2,则方程2%=—4为"和解方程

请根据上述规定解答下列问题：

(1)已知关于x的一元一次方程5x=m是"和解方程”，求m的值；

(2)已知关于一元一次方程-3久=mn+n是"和解方程”，并且它的解是尢=n,求m,n的

值.

五'实践探究题

49.阅读材料：善于思考的小军在解方程组I%+5y=3置时，采用了一种，，整体代换，，的解法：

(4x+lly=5②

解：将方程②变形：4久+10y+y=5即2(2久+5y)+y=5③，

把方程①代入③得：2X3+y=5,

・•・y=-1,

把y=-1代入①得％=4,

请你解决以下问题:

3x-2y=5①

(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组

9%-4y=19②

3%2—2xy+12y2=47①

(2)已知》,y满足方程组•求％2+4y2与孙的值;

2x2+xy+8y2=36②

（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解.

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】1

7.【答案】26

8.【答案】2|6

9.【答案】x-2y=2或％—2y=—2

1。.【答案】y二1

11.【答案】2或一6

12.【答案】75

13.【答案】x-3y=2或x-3y=-2

14.【答案】x-3y=0和%+2y=0

15.【答案】：(答案不唯一)

ly2-%2=12

答有

6X--O和X-=O

3y2y

3

X-

=2%-2

或

3y-1

y-

-2

18.【答案】(任意写一组即可)

(y=3

19.【答案】2

20.【答案】解：八之"十二:①会

[%2+xy—2y2=o②

由②，得(x+2y)(%-y)=0，

%+2y=0或x—y=0③,

由③和①组成方程组二:，胃广；二。6

解得：《二Y二「

所以原方程组的解是仁二12，卷二:

21.【答案】解：由②得：y=4-x③，

把③代入①得：x2-x(4-x)-6(4-x)2=0,

整理得x2-llx+24=0,

解得x尸8,X2=3,

当XI=8时，y=4-8=4,

当X2=3时，y=4-3=l,

；•方程组的解为：「二：，虫:：

4%2—y2=15①

22.【答案】解:

,2久一y=5②

由①得，(2x+y)(2x-y)=15,

将②代入，2x+y=3③，

②+③得，4x=8,解得：%=2,

②—③得，—2y=2,解得：y=—1,

则方程组的解为｛:=21.

23.【答案】解:[2/一七。2V

①-②得%y=-9③，

由①得(%+y)Q-y)=0,

解得X+y=0或％-y=0,

和③组成方程组，(xyi-9＜；=-9-

解期二喉二，卷葛3,

解｛；二:；，整理得/=—9,没有实数解，

故方程组的解为｛.二斗队1二

24.【答案】解：由方程2x-3y=3得，9y2=(2%-3)2,

把9y2—(2%—3尸代入方程/_9y2=Q,

得%2—(2%—3)2=0,

整理得，%2-4%+3=0,

解得X=1或久=3,

把％=1代入2x-3y=3,解得y=-1,

把％=3代入2x-3y=3,解得y=1,

所以，原方程组的解为——1或

(y=_W(y—i

25.【答案】解：—,由①得(x_3y)仁+丫)=0,所以x-3y=0或x+y=0,所

以原方程可转化为12"一3工'或hQ

或

(%乙—xy+y=3(%乙—xy+叶=3

f=3V21

二」'1或,所以原方程组的解为“一二二或

Xy]Y乙J.

\y=—

x=—1

y=1

(x2-5xy+6y2=0①

26.【答案】解:

(%2+y2+x—lly-2=0②'

由①，得(％-2y)(%-3y)=0,

・•・x—2y=0或％—3y=0.

x—2y=0C或者12*2：3'°

・•・原方程组可化为

.%2+y2+%_Uy_2=0ixz+yz+%—lly-2=0

r2

X--4

I1-5%2-

x—2y=0-

解方程组]得《I1y2

%2+y2+x—lly—2=0y--2

k1-5

x—3y=0二3

解方程组或者

,x2+y2+x—lly—2=0=r

r23

X-4rx-

1--5tX2-<3--5

Ii

I1-7O1

•••原方程组的解为：ly2

y------

k1535

27.【答案】解：由②得(3%—2y)2=16.

/.3x—2y=4或3%—2y=-4.

则原方程组可化为D12

(3%—Zy=4(3%—Zy=-4

解这两个方程组，得二:，■二;

28.【答案】解：由②得：(2%+y)?=4,

/.2%+y=±2,即2%+y=2或2%+y=-2,

・・・原方程组可化为两个二元一次方程组

y—2%=6y—2x=6

(图)(团)

2%+y=22x+y=—2'

解(团)得：

解⑻得：七二

=—1'％2=-2

=4，.丫2=2.

x—y—2=0①

29.【答案】解:

%2+y2=10②

由①得％=y+2③,

将③代入②得：(y+2)2+y2=10

解得：y=-3或y=1,

将y=-3代入③得％=-1,

将y=1代入③得尢=3,

...原方程组的解为:｛江二;,忧：.

30.【答案】解：由①得：y=2x-6,

把y=2x-6代入②得：%2-%(2x-6)-2(2久-6)2=0,

整理，得：%2-6%+8=0,

解得：%1=2,%2=4;

当％=2时，y=2x2—6=—2；

当x=4时，y=2x4—6=2；

...方程组的解为：［;二］2或

x2—3xy+2y2=。①

31.【答案】解:

%+2y-12=0②

由①得，%-y=0,%—2y=0,

把这两个方程与②组成方程组得，［获；2

=4%2=6

解得:

%=4'?2=3'

故方程组的解为：n

(x2-2xy+y2=1①

32.【答案】解:l(x+2y了-3(%+2y)=10②

方程①可化为：x-y=±l

即：x—y=1或％—y=—1

方程②可化为：

(%+2y+2)(%+2y—5)=0

x+2y+2=0或%+2y—5=0,

原方程组可以组成四个二元一次方程组:

(x—y=1(x—y=1(x—y=—1(x—y=—1

[%+2y+2=0J(%+2y-5=0，[x+2y+2=(%+2y—5=0?

分别解这四个方程组，得原方程组的解是：

74

X---

33

4

y--1,_

33

3x2—Sxy—6y2=2①

33.【答案】解:

x2—2xy—2y2=1②，

①-②X3得%y=—1@,即1=—xy,

把1=—%y代入②得久2—2xy—2y2=—xy,

整理得(x—2y)(x+y)=0,

/.%—2y=0或欠+y=0,

x—2y=0

和③组成方程组,

xy=-1

解得y2=V，无实数解,

-

俨+y=0=-rl%2=1

(xy=-1.%二1.

故方程组的解为］%1=1俨2=-1

(=1.

Ji=-1'

34.【答案】解：，x2+xy=0

/.%(%+y)=0,

.*.x=0或％=—y,

把冗=0代入②中可得一1+y2=0,解得y=±1,

%=0

即y=1

把X=-y代入②中可得y2+2y2_1+y2=0,解得y=±1,

1(1

%=2x=-2

即,

_1-或・

7~2

11

/I=0x=0x3=9久~2

所以原方程组的解为:24=

bl=1'?2=Tr,y=i

73=-24

2x—y=6①

35.【答案】解：由题意可知:

x2—xy—2y2=o②

对方程②进行因式分解得：(%+y)(x-2y)=0

即%—2y=0或％+y=0

2x—y=6

x+y=0

解得仁;

故原方程组的解为：］；：:;或二g

(x-3y=5①

36.【答案】解:

[x2—2xy+y2=4②

由②得x=y-2(3)或％=y+2④

由①③得:{:“,

把③代入①得：y—2—3y=5，

解得:y=~2f

把y=—(代入③得：％=—早，

(11

X=--5-

.••方程的解为：2;

[y=-2

由①④得:「一"5”，

(%=y+2⑷

把④代入①得：y+2-3y=5，

解得：y——

把y=—1代入①得：x-

(1

x=n2

・・・方程的解为：3

(y=~2

〜心■5,・(%+2y=5

37.【答案】解：,|2Q7A9

-2xy+y"=4

f%+2y=5

"l(^-y)2=4

.(x+2y=5或(x+2y=5

,,(x-y=2{x-y=-2'

1

X--

3

得

解或

7

y-

-3

1

X--

X-33

或

故原方程组的解为y-17

y--

3

久+y-1=0(1)

38.【答案】解：，」

%2—V—2x-l=0(2)

把(1)变形y=l-x,代入(2)得x2-(1-x)-2x-1=0,

化简整理得x2-x-2=0,

1,X2=2,

把x=2代入(1)得y=-1,

把x=-1代入(1)得y=2,

所以原方程组的解氏：;1.

39.【答案】解：由x2-xy—2y2=o得(x+y)(x—2y)=0，即x+y=0或久-2y=0,

/_y=-2(x-y^-2

...原方程组可化为

Ix+y=0-2y=0,

二曾得x=-4

解得m;解

y=-2

X1=-1(笈2=一4

...原方程组的解为

.%=1'I%=-2.

x—y+1=0①

40.【答案】解:

x2+y2=13②'

由①得：X=y-1(3),

将③代入②得：(y—I)2+y2=13

解之得：丫1=-2,丫2=3，

代入③，可得=—3,x2=2,

原方程组的解是：二］：，｛^=3

41.【答案】解：由方程②，得久=y+l③

将③代入①，得(y+I)2—2y2—y=—1

解，得y1=—1,%=2

将丫1=一1代入③，得%1=0；

将%=2代入③，得%2=3

所以，原方程的解是"：二1，gjzf

42.【答案】解：［":①小

(%2+xy-2y2=0(2)

由②得(x+2y)(x-y)=0

所以x+2y=0或x-y=0

原方程组化现o彳咪+广日

所以原方程组的解为｛.1二:2,二;

43.【答案】解：由方程①得(久+2y)2=9则：%+2y=3或久+2y=—3

X+2y=3_^Cx+2y=-3

原方程组可化为

%+y=1或（x+y=1

解这两个二元一次方程组，得，］(2二_今

所以，原方程组的解为｛12］已.

44.【答案】解：由题意：［幺，

由方程①得到：％=2-%再代入方程②中：

得到：(2—y)2—4y2=o,

进一步整理为：2—y=2y或2-y=—2y,

解得当=|>丫2=-2，

再回代方程①中，解得对应的句=g,%2=4,

(4

故方程组的解为：｛「二二2和犯一会

1=3

45.【答案】解：竹2?孙艺

［%2+5xy-6y2=O@

由①可得(2%+y)2=9，贝!h2x+y=±3,

由②可得(％