概率论与数理统计徐雅静版课后题答案1-7章

的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。8.已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．解：记每页印刷错误个数为，i=1，2，3，…300，则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（Xi）=0.2，D(Xi)=0.2所以9.设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产，记X为100台机床中需开工的机床数，则X~B(100，0.64),E（aX）=64a，D(aX)=100×0.64×0.36，所以10.某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X~B(10000,0.017)。保险公司在一年内的保险亏本的概率为所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01四、应用题1.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额760元内的概率．解：设每位顾客的消费额为Xi，i=1,2,…400,且Xi~U(20，100)，则，由独立同分布的中心极限定理,所以2.设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为110元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为2000小时）．解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件，记第件的寿命为Xi小时，i=1，2，3···,m/110，且Xi~E(20)，所以E（Xi）=20，D(Xi)=400，==0.95，所以所以m=12980即在年计划中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应.3.据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．若该村共有400对夫妻，试求：(1)400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2)只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．解：(1)设第k对夫妻孩子数为Xk，则Xk的分布律为Xk012p0.050.80.15则，故即400对夫妻的孩子总数超过450的概率为0.1357(2)设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y~B(400,0.8)，即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938．（B）1.设随机变量的概率密度为，m为正整数，证明：（提示：利用Chebyshev不等式）．证明：E（X）=f(x)d=，由切比雪夫不等式==2.设为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明服从Chebyshev大数定律．Xn0pk1/41/21/4证明：，又因为独立且同分布，所以服从切比雪夫大数定律.3.设随机变量序列独立同分布，，又存在（n=1,2,…），证明：．（提示：利用Chebyshev大数定律）证明：因为随机变量序列独立同分布，所以也独立同分布，存在由Chebyshev大数定律，第六章（A）三、解答题1.已知总体X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一个样本，求(1)X1，X2，…，Xn的联合分布律;(2)的分布律;(3)解：因为X的分布律为且X1，X2，…，Xn均于X独立同分布，所以（1）X1，X2，…，Xn的联合分布律为（2）因为，所以.（3）因为，所以2.从总体N(52，6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值落在50.8到53.8之间的概率．解：因为X~N(52，6.32)，所以，3.某种灯管寿命X（以小时计）服从正态分布X～N(，2)，为来自总体X的样本均值．(1)求与的偏差大于的概率．(2)若未知，2=100，现随机取100只这种灯管，求与的偏差小于1的概率．解：因为X～N(，2)，，所以(1)(2)因为2=100，n=100，，所以4.在天平上反复称量重量为w的物体，每次称量结果独立同服从N(w，0.04)，若以表示n次称重的算术平均，则为使，n至少应该是多少？解：X1，X2，…，Xn为称重的结果，则X1，X2，…，Xn相互对立且均服从N(w，0.04)，于是，欲使，须使，即解得查表得由于是递增函数，须使解得n>15.366,故n至少为16.5.从正态总体中抽取样本X1，X2，…，X10(1)已知=0，求；(2)未知，求．解：（1）因为Xi～N(0，0.52)，，即,令，则由于查表知，所以.(2)）因为Xi～N(，0.52)，即，所以,,=，查表知，所以6.已知X~t(n)，求证X2~F(1，n)．证明：因为X~t(n)，存在Y～N(0，1)，Z～2(n)，Y与Z独立，使，由于，，且Y2与Z独立，所以.第七章7（A）三、解答题1.设总体服从几何分布，分布律为，()求的矩估计量．解：因为，所以X的一阶矩用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到所以的矩估计量为2.求均匀分布中参数的矩估计量．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到解得的矩估计量为3.设总体的概率密度为，是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量．解：总体X的一阶为用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到4.设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量．解：总体X的一阶为总体X的二阶为用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到解得和的矩估计量为，.5.设，m已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量．解：由于X的分布律为基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为解得的最大似然估计值为的最大似然估计量为6.设总体的概率密度为，今从X中抽取10个个体，得数据如下:1050110010801200130012501340106011501150试用最大似然估计法估计．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为当时，，令，解得．考虑到所以，θ的最大似然估计值为将数据代入计算，θ的最大似然估计量为0.0008587.设某电子元件的使用寿命的概率密度为为未知参数，是的一组样本观测值，求的最大似然估计值．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为容易看出θ越大L()越大，在约束下，即为θ最大似然估计值。8.设是取自总体N(，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为的无偏估计量，并确定最有效的一个．，，证明：因为独立均服从N(，1)，且.所以，，均为的无偏估计量。又因为所以最有效。9.设总体X的数学期望为，是来自的简单随机样本．是任意常数,证明是的无偏估计量．证明：因为Xi的数学期望均为，所以故是的无偏估计量．10.设总体是来自X的一个样本．(1)试确定常数c，使为2的无偏估计;(2)试确定常数c，使为2的无偏估计．解：（1）因为所以当时，为2的无偏估计。（2）因为所以当时，为2的无偏估计。11.设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从N(，2)；在下面两种情况下，求的置信水平为0.95的置信区间．(1)由以往的经验知=0.6(小时);(2)未知．解：（1）由于=0.6，求的置信区间由公式计算，其中n=9，=0.05，1.96，，代入计算得的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）.（2）由于未知，求的置信区间由公式计算，其中n=9，=0.05，=2.306，，，代入计算得的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）12.某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布．解：设X~N(,2),由于2未知，的置信区间为，其中n=9，=0.01，，，，代入计算得的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）.13.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间．解：设X~N(,2),由于未知，的置信区间为，其中n=9，=0.05，=2.306，，代入计算得的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）.14.假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s=2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．解：设X~N(,2),由于未知，2的置信区间为其中n=8，=0.01，，s=2.4，代入计算得的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.15.从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电池寿命方差的置信水平为95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布．解：设X~N(,2),由于未知，2的置信区间为其中n=5，=0.05，，，，代入计算得方差的置信水平为95%的置信区间为（0.29，6.73）.16.设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布．试验数据如下:使用第一种药物使用第二种药物假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差的置信水平为99%的置信区间．解：设两正态总体分别为X~N(1,12)，Y~N(2,22)，由于12=22未知，的置信区间为，其中查t分布分位数表知t/2(n1+n2–2)=t0.005(28)=2.1199．故得的置信水平为0.99的置信区间为（-3.3，-2）．17.测得两个民族中各8位成年人的身高（单位:cm）如下A民族：162.6170.2172.7165.1157.5158.4160.2162.2B民族：175.3177.8167.6180.3182.9180.5178.4180.4假设两正态总体的方差相等，求两个民族平均身高之差1–2的置信水平为90%的置信区间．解：由于总体方差相等但未知，可采用计算1–2的置信区间．其中，由两个民族的观测数据计算得查t分布分位数表知t/2(n1+n2–2)=t0.05(14)=1.761．故得1–2的置信水平为0.90的置信区间为(-18.78，-9.80)．18.工人和机器人独立操作在钢部件上钻孔，钻孔深度分别服从N(1，12)和N(2，22)，1，2，12，22均未知，今测得部分钻孔深度（单位:cm）如下工人操作：4.023.944.034.023.954.064.00机器人操作:4.014.034.024.014.003.994.024.00试求的置信水平为0.90的置信区间．解：由于1和2未知，可采用计算的置信区间．由两样本观测值计算得，，=0.1，查F分布的分位数表知F0.05(6,7)=3.87，F0.95(6,7)=故得的置信水平为0.95的置信区间为．19.求12题中的置信水平为0.95的单侧置信区间下限．解：设X~N(