2023-2024学年山西省大同市育英中学高三数学理模拟试卷含解析

2023年山西省大同市育英中学高三数学理模拟试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.过曲线a2-b"2=l(a>0,b>0)的左焦点典作曲线G：x'+y2=a2的切线，设切点

为M,延长FM交曲线Cs：y=2px(p>0)于点N,其中曲线G与C3有一个共同的焦点，若

iMFthlMNl，则曲线Q的离心率为()

遥+]

A.V5B.V5-1C.V5+1D.2

参考答案：

D

【考点】KC：双曲线的简单性质.

【分析】双曲线的右焦点的坐标为(c,0),利用。为FE的中点，M为FiN的中点，可

得0M为△NFM的中位线，从而可求|NFj,再设N(x,y)过点F作x轴的垂线，由勾股

定理得出关于a,c的关系式，最后即可求得离心率.

【解答】解：设双曲线的右焦点为R,则F?的坐标为(c,0)

因为曲线3与G有一个共同的焦点，所以y?=4cx

因为0为FE的中点，M为的中点，所以0M为△NFF2的中位线，

所以0M〃NF?,

因为|0M|=a,所以|NF?|=2a

又NF?_LNFi,|FF21=2c所以|NF』=2b

设N(x,y),则由抛物线的定义可得x+c=2a,

♦・x=2a-c

过点Fi作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a

由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2)

得e?-e-1=0,

遥+]

/.e=2.

故选：D

2.已知二,七.)为虚数单位，且(工一2)(—/=一1+1,则(1+产的值为()

A.4B.T

C.4+4D.2*

参考答案：

B

11

3.设4=05?.6=09n沼黑，则a,b,c的大小关系是().

A.a>obB.c>a>bc.a>b>cD.

b>a>c

参考答案：

D

略

4.设全集U=R,，={xR=lg(2x-/)),5=处=2七叫，则(CJ)C8=

A.(p,o)B.(0Jc.oa£[24c°)

参考答案：

D

略

04x4加

＜《2

5.已知M(x,y)为由不等式组,所确定的平面区域上的动点，若点

A(加，1),则z=5的最大值为()

A.3B.为历C.4D.W2

参考答案：

C

考点：简单线性规划.

专题：数形结合；平面向量及应用.

分析：由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解,

求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.

04x《加

y<2

解答：解：由约束条件y作出可行域如图,

A1版,1),M(x,y),

/.z=OM-0A=V2x+y,化为y=-42x+z,

由图可知，当直线尸-&x+z过B(V2)2)时，

z有最大值为：V2X72+2=4.

故选：C.

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了平面向量的数量积，训练了数形结合的解题思

想方法，是中档题.

6.如图，梯形ABCD中，AD//BC,ZABC='^->',AD：BC：AB=2:3:4,E、F分另lj是AB.CD

的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论：

①。F_LBC；②BD_LFC；③平面OBF_L平面BFC；④平面OCF_L平面BFC.在翻折过程中，

可能成立的结论是

)

A.①③B.②③C.②④

参考答案:

B

略

近

7.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为2,一个内角为60°的菱

正次图优视图

区

形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为*,**

A.24B,44C.8D.4

参考答案:

D

/(x)="cos(2x+⑸+sm(2x+0)(I<P|<—)人

8.设函数2,且其图象关于直线x=0对

称，则

/Q马

(A)的最小正周期为兀，且在'''5上为增函数

(B)y=/a)的最小正周期为二明且在“亏上为减函数

coy=yg的最小正周期为5,且在“口上为增函数

(D)的最小正周期为5,且在,"N上为减函数

参考答案：

B

9.如图，若程序框图输出的S是126,

则判断框①中应为()

A.为三5?B.为46?

C.附《7?D.寿48?

参考答案：

B

略

10.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若点(a,b)在直线

x(stn4+sm3>飞

>$inB=c$mC上.则角c的值为

nn竺

A.6B.6C.3D.3

参考答案：

D

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

(2Vx-

11.二项式Jx展开式中含X2项的系数是。

参考答案：

-192

x一尸A0

,x+”°x.(ly

12.已知实数思尸满足条件〔x'l，则'5的最大值为.

参考答案：

£

2

略

13.等比数列区｝中各项均为正数,和是其前n项和，且满足2s3=8%+3a2,a4=16,则

S4=.

参考答案：

30

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.

【解答】解：设等比数列｛aj的公比为q>0,・・・2S3=8ai+3a2,a4=16,

3

/.2ai(1+q+q2)=ai(8+3q),al=16,

解得ai=q=2.

2(2"1)

则S4=2-1=30.

故答案为：30.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

2.在等差数列｛"J中，若ai+a2+a3+a4=30,则a?+a3=.

参考答案：

15

15.平面区域〃={5。),+7£6,了M0)、0)./={",尸),乏4.尸=04―2>,0),若

向区域U内随机投一点P,则点P落入区域力的概率为.

参考答案：

2

9

16.在单位正方体4EB-A耳GA的面对角线43上存在一点一使得4尸+9。最短，则

AP+可的最小值_______________________.

参考答案：

^24"^2

布分析，将三角形448烧4S旋好到与平面48尊其面,此时NA46G35'由余

法定理*^J=l+l-2xlxlx«wl35*=2+^,所以4P.0P的最小值为

4=也+反

17,已知向量〃=0，-4)力=(0-1),则向量2在向量3的方向上的投影

是.

参考答案：

4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知a>0,b>0,a+b=2.

1_4

(1)求a+b的最小值；

abG/^+V^)

(2)求证：a+bW1.

参考答案：

【考点】7F：基本不等式.

【分析】(1)分式类型，巧运用a+b的式子即可；

世(五+五)Va+Vb/a+ba+b

(2)利用基本不等式转化为五=ab?-2—E)2求解即可.

【解答】解：(1)a+b=2.

—14——1-a-+-b-..4.(.a.+.b..)-1X、，-b-,\4a9

/.a+b=2(a+b)=2(5+ab)22仅当(b=2a等号成立)；

abG/^+C)Va+Vb/a+ba+b

(2)证明：a+b=ab?-2―?(~2~)2=1.(当且仅当a=b等号成

立).

19.(本小题满分12分)

某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元(t为常

数，且2£t三5),出厂价为x元(25Wx£40),根据市场调查知，日销售量q(单位：个)

与3成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个.

(I)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；

(II)若t=5,则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大

值.

参考答案：

⑴设日输■q=S0t90)，则由照霖需q=4=100.解需k=100

••

...日输量q=哼二•••谈玩具厂的日利国y元与每个玩具的出厂价x元之)同的函数关系式为y

100esSr_20-t/一一.、人

=---------：-------^25WxW4O).…“—...............P分r

.、趣.alOGt^r-2$...100<::26-M-、

(2)当t=5时，y=-------;------(25WxW40x3•・，=-----;----(25WxS40).♦

ee

由y'>0,得25Wx〈26,由y'<0,得26〈xW40.

函数在区间［25,26)上单调递增，在区间(26,40］上单调递减.

二当x=26时，函数取得最大值，ymax=100e4................12分

20.已知三棱锥S-ZAC,SA=SB,AC=BC,0为HI的中点，SO_L平面

AB=4,8=2,N是£4中点，8与S。所成的角为a,且0a=2.

(1)求证：OCLON.

(2)求三棱锥S-ZAC的体积.

N

B

参考答案:

解（1）,证明：Q/C=BC,。为府的中点

OC1AB.....................................2分

又S9_L平面

：.OC±SO4分

二8_L平，面"，曲Fu平面S15

二81皿......................................6分

（2）设Q1中点为“，连接卬、MC,则皿〃S。，

故N6M即为CW,与S9所成的角为a

又M7_L皿且aa=2所以M7-2AW-S9

又MC=Joe2+a/2=必+产=6,即so=5

所以三棱锥S-4BC的体积三棱锥3323

21.（本小题满分12分）在三棱柱ABC-A|B1cl中，已知AB=AC=AAL石,

BC=4,A］在底面ABC的射影是线段BC的中点O.

⑴证明：在侧棱M上存在-点E,使得OEJ•平面BB^C,并求出AE的长；

(2)求二面角AJ-BJC-C!的余弦值.

参考答案:

■:⑴佛♦•上接A03AAOA,中.作0C1,AA］于点E………・・丁・|分

VAA,〃BS.UC1B8,-----------------------------------------------------------2分

•••40次TBABC.・A,01BC.又AB・AC.0为BC的中点AO1BC.iBCxfB

AA.O.・・・K10£t.\0£i^B叫JC4分

由AO・〃『-出―仙,AE-Jr■<…

(2)如显.分则磔OA.OB.OA,所在直线为i.y.t■立

空间直角箜住4L

MA<1.0.0).B(0,i,0),C(0,-2.0),A,(0.04)

由A£・/AAJ,存点E的*力.(y.O.y)■

dXDMTRB.CC,t9-4*tt«lWO2-(y.O.j)••

---------------------------------------------------9分

・

设早AtB,C的快白量星：>(>.;.>).

；ii•皿A8«O叱„r-«-*2»®O__...、

(00-I).H分

6

所以,虐标一*.

即所求翕的余奴・为罐-------------------------------------------------------12分

/、_Inx^k

22.已知函数/")=/(其中kW区),F8为r(x)的导函数.

(I)求证：曲线尸/口)在点(1,/(1))处的切线不过点(2,0);

(II)若在区间(°川中存在%，使得/(%)=0,求上的取值范围；

八<二+1

(ni)若rQ)=o,试证明:对任意x>o,」⑶7+7恒成立.

参考答案:

lnx+k..l-jbr-xlnx

解：(1)由/⑶=一？-得/㈤=17—jeQico),

/⑴=21^

所以曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线斜率为.s,

V/<1>=^,曲线v=，g切线方程为"一；=丁"7,.....2分

-k1—上-.、

0——=(2-1)

假设切线过点(2,0),代入上式得：Q