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文档简介
河北省石家庄第十五中学2023-2024学年高二上学期期中
数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.在棱柱/8CQ-中,DC+AD+CC^()
CCA
A・4。,ACX-CXAD.X
2.已知点Z(T4),5(2,7)在直线/上,则直线/的倾斜角的大小为()
5兀3兀71
A.B.D
~6T4?
3.一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.3,目标未受损的概率为0.2,则使目标
受损但未击毁的概率是()
A.0.8B.0.56C.0.5D.0.06
4.如图所示,在平行六面体48CD-481Goi中,N为4cl与的交点,M为口口
的中点,若而土,而=心AAx=c^则加=()
1一1一1一1-11一
A.—a+—b+—cB.—a—7b+—c
222222
C.匕+与一二1一
D.——Q
222222
5.已知{a],,}是空间的一个基底m=2a+3b-c,n=x(a-b\+y\b-c\+c
试卷第11页,共33页
若云〃力贝1Jx+y=()
A--6B.0C.5D.6.
6.已知圆C经过点A/(3,-5),N(-l,3),且圆心C在直线3x+y+5=0上,若尸为圆C
上的动点,则线段OP(O为坐标原点)长度的最大值为()
A.6+5B,2指C.10D,275+10
7.已知木盒中有围棋棋子15枚(形状大小完全相同,其中黑色10枚,白色5枚),
小明有放回地从盒中取两次,每次取出1枚棋子,则这两枚棋子恰好不同色的概率是
()
A.iB.1C.|D.|
9993
8•点/(2,-4)到直线/:(1-3Mx+(1-相力+4+4相=0(加为任意实数)的距离的取
值范围是()
A.[。,5]B,[0,275]
C.[。,4]D.[。,叵|
二、多选题
9.已知/J五是空间中三个向量,则下列说法错误的是()
A.对于空间中的任意一个向量前,总存在实数x,yz,使得前一步+石+分
illill—ACTy/TN/V
B.若卮谒是空间的一个基底,贝市为方获一2彳也是空间的一个基底
C若注J,3,则源
试卷第21页,共33页
D.若Tjj所在直线两两共面,则TJi共面
10.从1,2,3,…9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和两个都是奇数;②至少
有一个偶数和两个都是偶数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数
和至少有一个偶数.在上述事件中,是互斥事件的是()
A.①B.②C.③D.④
H.已知直线/过点0,3),若/与X,y轴的正半轴围成的三角形的面积为s,则s的值
可以是()
A.3B.5C.7D.9
12.如图,在正四棱锥P-48CD中,PA=AB=26,M,N分别是尸8,尸£)的中点,
则下列说法正确的是()
A.B.直线和所成角的余弦值是§
C.点'到直线"N的距离是叵D.点“到平面"CN的距离是2
3
三、填空题
13.若直线(3一机)x+y+l=0与直线2x-(加-2万+3=0垂直,则实数——•
14.在用随机数(整数)模拟“有5个男生和5个女生,从中抽选4人,求选出2个男
生2个女生的概率”时,可让计算机产生o~9的随机整数,并且0~4代表男生,用
5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.通过模拟试验产生了
20组随机数:
试卷第31页,共33页
6830321570566431784045237834260453460952
6837981657344725657859249768605191386754
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为
15.在四棱柱42C7)一43CQ]中,四边形48CD是正方形,/&=5,48=2,
ZA^AB=ZA.AD=60。,则BD{的长为------
16.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情,唐诗中边
塞诗又称出塞诗,是唐代汉族诗歌的主要题材,是唐诗当中思想性最深刻,想象力最
丰富,艺术性最强的一部分.唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说:“白
日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”,
即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使
总路程最短?在平面直角坐标系中,设将军的出发点是/(2,4),军营所在位置为
8(6,2),河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马,再回到
军营(“将军饮马”)的总路程最短,则将军在河边饮马地点的坐标为.
四、解答题
17.已知三条直线4:3x-4y+ll=0,Jx+2y-3=0和
l3:(2m+l)^-2m+3=0-
(1)若〃/,求实数机的值;
(2)若三条直线相交于一点,求实数小的值.
18.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办,为做好本次亚运会的
服务工作,从某高校选拔志愿者,现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核,
根据学生考核成绩分为4民。,。四个等级,最终的考核情况如下表:
等级ABCD
人数10404010
试卷第41页,共33页
(1)将频率视为概率,从报名的100名学生中随机抽取1名,求其成绩等级为c或。的
概率;
(2)已知42等级视为成绩合格,从成绩合格的学生中,根据考核情况利用比例分配的
分层随机抽样法抽取5名学生,再从这5名学生中选取2人进行座谈会,求这2人中有
A等级的概率.
19.已知/(_1,1),以2,-2),。(5,1)―
(1)求点A到直线8c的距离;
⑵求A/BC的外接圆的方程.
20.如图,在直三棱柱48c一44G中,BA工BC,BA=BC=BB、=2,。,E,尸分
别为441,Bg,48的中点•
⑴证明:EF//平面NCG4;
(2)求直线CE与平面DEF所成角的正弦值.
21.一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论,一题多解不但达到了解题
的目标要求,而且让学生的思维得以拓展,不受固定思维模式的束缚.学生多角度、
多方位地去思考解题的方案,让解题增添了新颖性和趣味性,并在解题中解放了解题
思维模式,使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩.假设某题共存在4种常规解法,已
知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为g,且各种方法能否答对互
试卷第51页,共33页
不影响,小红使用四种解法全部答对的概率为二.
⑴求P的值;
(2)求小红不能正确解答本题的概率;
(3)求小红使用四种解法解题,其中有三种解法答对的概率.
22.图,在三棱台/8C匣中,是等边三角形,48=244=4,CG=2,侧
棱Cq_L平面4BC,点D是棱48的中点,点E是棱58]上的动点(不含端点?)•
⑴证明:平面
平面
DCC/
(2)求平面
ABE与平面
ACE的夹角的余弦值的最小值.
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参考答案:
1.B
【分析】根据向量的加法运算法则直接计算.
【详解】DC+AD+CC^AD+DC+CC^AC^
故选:B.
2.C
【分析】利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为土
4
【详解】直线/的斜率为左=士工=1,
2-(-0
设直线/的倾斜角为C,贝1
因为兀),所以
4
故选:C.
3.C
【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式计算即可.
【详解】依题意,目标受损但未击毁的概率是i_0.3_0.2=0.5・
故选:C
4.B
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为N为4G与耳A的交点,
____.1.1.1.1_.1_1_
所以D|N=—A4+—AG=-―AD+-AB=b+-a,
12112112222
^MN=IlN-iyM=IlN--Dl)=-]-b+-a-\--c\=-a--b+-c
111212212^222
故选:B.
答案第11页,共22页
5.D
【分析】利用空间向量基底的概念及共线定理计算即可.
【详解】易知几=(x+4)Q+(y-x)B+(_y+4)C,
因为浣//,所以存在实数%,使得[=4浣,
所以(x+4)a+(>-x)B+(-y+4)。=“(2"+33-c)
x+4=24A=2x+y=6
所以y-x=3A=<元=0,所以
_y+4=—4y=6
故选:D.
6.A
【分析】求出圆心和半径,根据[0尸]胸=|℃|+「即可得答案.
【详解】解:线段”N中点的坐标为(1,7),3,=之91=_2
—1—3
所以线段卬的中垂线的斜率为八;
所以线段的中垂线的方程为x-2y-3=0,
又圆心在直线3x+y+5=0上,
由[x-2y-3=0,解得]x=T,
[3x+y+5=0[y=-2
所以圆心为(-1,-2)/=7(3+1)2+(-5+2)2=5,.
答案第21页,共22页
所以|0尸|=|OC|+r=5+V5-
IImaxII
故选:A.
7.A
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】从盒中随机取出1枚棋子,“是黑棋子”记为事件人,“是白棋子”记为事件5,
则尸.)=|,P⑻=;,
两枚棋子恰好不同色包含:
第一次取出黑棋子,第二次取出白棋子;第一次取出白棋子,第二次取出黑棋子,这两个
事件是互斥事件.
第一次取出黑棋子,第二次取出白棋子相互独立,概率为尸(/8)=尸(/)•尸(8)=手
第一次取出白棋子,第二次取出黑棋子也相互独立,概率为尸(血)=尸").尸(/)=/.
4
所以这两枚棋子恰好不同色的概率是P(/B)+尸(9)=;
故选:A.
8.B
【分析】由题意可知直线/恒过点8(4,-8),由此可知A到直线/的最远距离为以刈,最短
答案第31页,共22页
距离为0,即可得答案.
【详解】解:将直线方程(1-3切)%+(1-祖)y+4+4加=0变形为
(x+y+4)+(―3x—y+4)加=0'
由]x+y+4=0,解得"4,
[-3%-^+4=0[y=-8
由此可得直线/恒过点5(4,-8),
所以A到直线/的最远距离为1N可,此时直线/垂直于48,
A到直线/的最短距离为0,此时直线/经过点A.
又|/司=J(2-4'+(-4+8)2=2M,
所以人到直线’的距离的取值范围是10,20].
故选:B.
9.ACD
【分析】根据空间向量基本定理分别判断.
【详解】由空间向量基本定理.可知只有当工不共面时.2才能作为基底,
才能得到云=J+yJ+Z元,故A错误:
答案第41页,共22页
若何可是空间的一个基底,则中不不共面.*3/也不共面,
所以卜T/齐及k-2i}也是空间的一个基底,故B正确;
若7,尸7,则在不一定平行,故C错误;
若宗]左所在直线两两共面,则7J彳不一定共面,故D错误.
故选:ACD.
10.AC
【分析】根据题意,由互斥事件的定义,对选项逐一判断,即可得到结果.
【详解】根据题意,从1,2,3,…,9中任取两数,其中可能的情况有“两个奇数”“两
个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况.依次分析所给的4个事件可得,①恰有一个
偶数和两个都是奇数,不能同时发生,是互斥事件;
②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,与两个都是偶
数不是互斥事件;
③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,和“两个都是
偶数”不能同时发生,是互斥事件;
④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,至少有一个偶
数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,不是互斥事件.
故选:AC.
11.CD
【分析】利用直线的截距式,结合基本不等式可得解.
【详解】由题意知直线/在x,y轴上的截距存在且大于0,
可设的方程为±+[=1(,),
ab
由直线,过点得L3=i,
ab
答案第51页,共22页
所以1」+八2巨,当且仅当即"2,8=6时,等号成立,
ab\ab"b
即“612,所以s=%26,
2
故选:CD.
12.ABC
【分析】连接80,利用中位线、正四棱锥的性质判断A;过c作CG//8ZT交43延长线
于G,若F为CG中点,连接〃F,4F,先证MNCF为平行四边形,由异面直线定义确定
直线和CN所成角的平面角,再求其余弦值判断B;A/BN中求各边长,余弦定理求
cosZBAN,进而求点8到直线4N的距离判断C;证面/EC,等体积法有
嗫…c=九一皿+右一皿求点面距离判断口―
【详解】A:连接30,M,N分别为PB,PZ)的中点,即为中位线,则KV//8。,
由尸-/BCD为正四棱锥,故/BCD为正方形,则m_L/L所以对;
B:过C作CG//3D,交48延长线于G,若尸为CG中点,连接及4,4F,
又CD〃AB,艮产〃叱则8G。为平行四边形,故皿CF//BD,
22
EMNIIBD口…..MN//CFMN=CF刖MNCF过
而且MN=-BD,故且n,即为平行四边形,
2
所以CNI〔MF且CN=MF1故直线%"和CN所成角,即为44斯或其补角,
4=45=2行及正四棱锥的性质知:侧面为等边三角形,底面为正方形,且棱长均为2亚,
答案第61页,共22页
所以3=CN="尸=&,414c2+货=,2加+”=2生,
方从声弋故直线%3所成角的余弦值4对;
2
c:"BN中AN=瓜AB=2也,又pDrBTBWD,贝/a+9=5,
2
所以PD_LP8,则BN=,尸2?+PN。=M'
所以cos㈤N=8+.10立,故sin®N=叵,
2x2j2xj666
所以点B到直线的距离是N8sin4NN=巫,对;
3
D:由上分析知:MN=-BD=2,若。为底面中心,则。为'。中点,PD=PB,
2
连接P0,交MV为E,则P0_L8D,则PO_LMV,
又MN1AC,尸。n/C=O,PO,/Cu面尸ZC,
所以面尸,即脑。面易知:
W4C/EC,VM_ANC=VU_AEC+VN_AEC^
令M到平面ACN的距离为h,贝H〃1-S“NC'J1W-S“EC,
3AZ17W3△/IJCV
答案第71页,共22页
由/N=NC=V^,/C=4,贝1JA/NC中/C上的高为血,故S/NC=2加,
由"E=EC,OE=LPO=4PB2-OB2=1,贝!|S"c=2,
22
所以〃=也,错,
故选:ABC
13.-/2-
33
【分析】根据两直线垂直列方程,解方程即可.
【详解】因为直线(3-»?)x+y+l=0与直线2x-(/M-2)y+3=0垂直,
所以2(3-加)-(加-2)=0,解得以=|,
故答案为:
14.I/0-5
2
【分析】根据题意,由古典概型的概率计算公式,代入计算,即可得到结果.
【详解】在20组数中,6830,7840,7834,5346,0952,5734,4725,5924,6051,9138
满足要求,共10个,由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为g.
故答案为:!
6V33
【分析】由题意先将两分解成五彳,加,刀的线性组合,结合已知条件以及模长公式即可
答案第81页,共22页
求解.
【详解】如图所示:
由题意知西=西一方=怒+而一方,
所以
------»2/------►------►-----»\-2
BD、=^AA{+AD-ABJ
-------»2►2►2»►»►►►
=AA1+AD+AB+2AA、•AD—2AD•AB—2AA、•AB
=52+22+22+2x2x5xl-2x2x5x-=33,
22
所以I的卜屈,即明的长为回
故答案为:^^33,
1311
16.
【分析】结合两点间线段最短,只需求其中一个点关于直线的对称点,再求对称点与另一
点的距离即可.
【详解】
答案第91页,共22页
由题可知48在x+y—3=o的同侧,
设点B关于直线x+y-3=0的对称点为B'(a,b),
工互3=0a=l,B'(l,-3)
b.,即
则,:、2,解得
【a-6''
将军从出发点到河边的路线所在直线即为/",又4(2,4),
所以直线/夕的方程为7x-y-10=0,
设将军在河边饮马的地点为
Z7
贝即为7x—y—10=0与x+>—3=0的交点,
(lx-y-W=013
h+y-3=o,解得<x=一
8
11
y=—
1311
所以以
1311
故答案为:
17.(1)3
2
⑵§
【分析】(1)由两条直线平行的条件求解即可;
(2)先由两条确定的直线求出交点坐标,然后带入含参直线求解即可.
答案第101页,共22页
【详解](1)因为+1]=0,/3:(2m—3)x—(m+l)y—2m+3=0///3,
所以3x[_(加+1)]=-4x(2冽-3)解得加=3.经检验,冽=3时,IJH3-
(2)由产-勺+11=0,解得尸=-1即4与,2的交点为M21,
[x+2y-3=01)=2
因为三条直线相交于一点,所以点削2。在%上,
所以(2"-3)(-1)-(m+1)2-2优+3=0,解得/」
3
1
18.(1)2
(2)|
【分析】(1)根据等可能事件概率计算公式求解即可;(2)取的5名学生中成绩为42
等级的人数分别为1,4,从这5名学生中选取2人,列举出所有结果,根据古典概型概率
计算公式计算即可.
【详解】(1)由题知,任意抽取1人,抽到的学生成绩等级为0或。的概率为端苫=;.
(2)由题知,抽取的5名学生中成绩为45等级的人数分别为1,4,
记这5人分别为A,与,鸟,鸟,以,从中抽取2人的样本空间为
{(4片),(482),(4层),(454),(4,鸟),(乌,团,(综为),但,员),(82,8)(居应)},
共10个样本点,其中有A等级的样本点有(/心),(4修),(44),(44),共4个,
答案第111页,共22页
所以这2人中有A等级的概率为2=2
19.⑴3亚
(2)x2+v2-4x-2j-4=0
【分析】(1)利用直线的两点式求得直线8C的方程为》->-4=0,由点到直线距离公式
即可求出结果;
(2)设△48c的外接圆的方程为/+/+DX+/+尸=o,代入坐标联立解方程组即可求得
结果.
【详解】⑴直线的方程为=
1-(-2)5-2
化简可得x-y-4=0,
所以点人到直线的距离"=廿旦=_鼠=3及・
#+(-1)2亚
(2)设48C的外接圆的方程为—+y2+Dx+Ey+F=0>
将4及C的坐标代入,得
’(-以+俨一。+E+尸=0,f-D+E+F^-2
-22+(-2)2+2D-2E+F=0,即<2D-2E+P=-8
52+l2+5£>+£1+F=0[5D+E+F=-26
D=-4
解得<E=_2;
故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-4=0-
答案第121页,共22页
20.(1)证明见解析
(2)由1
11
【分析】(1)取ZC的中点G,连接尸G,GG,利用线线平行证明线面平行;
(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】(1)证明:取NC的中点G,连接尸G,GCj
因为尸,G分别为/B,/c的中点,
所以FG〃BC,FG,BC,
2
又£为BtC,的中点,BCHB\C\,BC=Bg,
所以FG〃EG,FG=EC,>
所以四边形EFGG是平行四边形,
所以EF//GG,
又EFB平面ACC,A,>GC,<=平面ACQA,>
所以厮//平面NCG4-
(2)
答案第131页,共22页
解:在直三棱柱ABC由14。1中,3311,平面ABC,
又A4u平面/2C,8Cu平面4BC,
所以BB}1BC<又BALBC,
故以8为原点,BA,BC,8与所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则。(0,2,0),£>(2,0,1)-£(0,1,2)'产(1,0,0),
所以厚=(一1,1,2),丽=0,0,1),CE=(O,-l,2)'
设平面DM的法向量为蔡=(x,y,z),
m-FE=-x+y+2z^0X=1>=3z=-l
则m-Fl5=x+z=0令得
所以平面DE1厂的一个法向量为京=0,3,_1),
CEDEF6____\^.CE\|_5|屈
设直线与平面所成的角为,则sin8=1cos(加,CE)=一|昌二得―=
、71\m\\CE\VHxV5H
即直线C"与平面"跖所成的角的正弦值为运.
11
21.(1);7=-;
3
(2)1;
6
1
答案第141页,共22页
【分析】(1)根据给定条件,利用相互独立事件的概率公式计算得解.
(2)利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
(3)利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】(1)记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件D,E,F,G,则
P(D)=P(E)=P,P(F)=:,P(G)=;,
因为各种解法能否答对互不影响,且全部答对的概率为
于是P(DEFG)=P(D)P(E)P(F)P(G)=gp2=g,解得,
o/2J
所以p=;.
(2)若小红不能正确解答本题,则说明小红任何方法都不会,
所以小红不能正确解答本题的概率是“--£|x1i-£|=g
(3)记事件"为小红使用四种解法解题,其中有三种解法答对,
则尸(H)=P^DEFG^+P^DEFG^+P^DEFG^+P@EFG)
所以小红使用四种解法解题,其中有三种解法答对的概率为:.
22.⑴证明见解析
1
⑵7
答案第151页,共22页
【分析】(1)先分别证明CC|_LN8、CDAB,由此即可证明N8/平面DCQ,从而由
面面垂直的判定定理即可得证.
(2)建立适当的空间直角坐标系,设面=/函(%e(0,1)分别求出求平面/BE与平面
ACEA
«l,n
的法向量2(含有参数),由公式即可表示出cosO=|cos5i,%
可以看成是关于2的函数),从而将问题转换为了求函数的最小值,从而即可求解.
【详解】(1)因为一8C是等边三角形,点。是棱的中点,
所以,
又Cq_L平面/8C,43u平面48C,
所以CC]_
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