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文档简介

河北省石家庄第十五中学2023-2024学年高二上学期期中

数学试题

学校:姓名:班级:考号:

一、单选题

1.在棱柱/8CQ-中,DC+AD+CC^()

CCA

A・4。,ACX-CXAD.X

2.已知点Z(T4),5(2,7)在直线/上,则直线/的倾斜角的大小为()

5兀3兀71

A.B.D

~6T4?

3.一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.3,目标未受损的概率为0.2,则使目标

受损但未击毁的概率是()

A.0.8B.0.56C.0.5D.0.06

4.如图所示,在平行六面体48CD-481Goi中,N为4cl与的交点,M为口口

的中点,若而土,而=心AAx=c^则加=()

1一1一1一1-11一

A.—a+—b+—cB.—a—7b+—c

222222

C.匕+与一二1一

D.——Q

222222

5.已知{a],,}是空间的一个基底m=2a+3b-c,n=x(a-b\+y\b-c\+c

试卷第11页,共33页

若云〃力贝1Jx+y=()

A--6B.0C.5D.6.

6.已知圆C经过点A/(3,-5),N(-l,3),且圆心C在直线3x+y+5=0上,若尸为圆C

上的动点,则线段OP(O为坐标原点)长度的最大值为()

A.6+5B,2指C.10D,275+10

7.已知木盒中有围棋棋子15枚(形状大小完全相同,其中黑色10枚,白色5枚),

小明有放回地从盒中取两次,每次取出1枚棋子,则这两枚棋子恰好不同色的概率是

()

A.iB.1C.|D.|

9993

8•点/(2,-4)到直线/:(1-3Mx+(1-相力+4+4相=0(加为任意实数)的距离的取

值范围是()

A.[。,5]B,[0,275]

C.[。,4]D.[。,叵|

二、多选题

9.已知/J五是空间中三个向量,则下列说法错误的是()

A.对于空间中的任意一个向量前,总存在实数x,yz,使得前一步+石+分

illill—ACTy/TN/V

B.若卮谒是空间的一个基底,贝市为方获一2彳也是空间的一个基底

C若注J,3,则源

试卷第21页,共33页

D.若Tjj所在直线两两共面,则TJi共面

10.从1,2,3,…9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和两个都是奇数;②至少

有一个偶数和两个都是偶数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数

和至少有一个偶数.在上述事件中,是互斥事件的是()

A.①B.②C.③D.④

H.已知直线/过点0,3),若/与X,y轴的正半轴围成的三角形的面积为s,则s的值

可以是()

A.3B.5C.7D.9

12.如图,在正四棱锥P-48CD中,PA=AB=26,M,N分别是尸8,尸£)的中点,

则下列说法正确的是()

A.B.直线和所成角的余弦值是§

C.点'到直线"N的距离是叵D.点“到平面"CN的距离是2

3

三、填空题

13.若直线(3一机)x+y+l=0与直线2x-(加-2万+3=0垂直,则实数——•

14.在用随机数(整数)模拟“有5个男生和5个女生,从中抽选4人,求选出2个男

生2个女生的概率”时,可让计算机产生o~9的随机整数,并且0~4代表男生,用

5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.通过模拟试验产生了

20组随机数:

试卷第31页,共33页

6830321570566431784045237834260453460952

6837981657344725657859249768605191386754

由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为

15.在四棱柱42C7)一43CQ]中,四边形48CD是正方形,/&=5,48=2,

ZA^AB=ZA.AD=60。,则BD{的长为------

16.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情,唐诗中边

塞诗又称出塞诗,是唐代汉族诗歌的主要题材,是唐诗当中思想性最深刻,想象力最

丰富,艺术性最强的一部分.唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说:“白

日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”,

即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使

总路程最短?在平面直角坐标系中,设将军的出发点是/(2,4),军营所在位置为

8(6,2),河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马,再回到

军营(“将军饮马”)的总路程最短,则将军在河边饮马地点的坐标为.

四、解答题

17.已知三条直线4:3x-4y+ll=0,Jx+2y-3=0和

l3:(2m+l)^-2m+3=0-

(1)若〃/,求实数机的值;

(2)若三条直线相交于一点,求实数小的值.

18.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办,为做好本次亚运会的

服务工作,从某高校选拔志愿者,现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核,

根据学生考核成绩分为4民。,。四个等级,最终的考核情况如下表:

等级ABCD

人数10404010

试卷第41页,共33页

(1)将频率视为概率,从报名的100名学生中随机抽取1名,求其成绩等级为c或。的

概率;

(2)已知42等级视为成绩合格,从成绩合格的学生中,根据考核情况利用比例分配的

分层随机抽样法抽取5名学生,再从这5名学生中选取2人进行座谈会,求这2人中有

A等级的概率.

19.已知/(_1,1),以2,-2),。(5,1)―

(1)求点A到直线8c的距离;

⑵求A/BC的外接圆的方程.

20.如图,在直三棱柱48c一44G中,BA工BC,BA=BC=BB、=2,。,E,尸分

别为441,Bg,48的中点•

⑴证明:EF//平面NCG4;

(2)求直线CE与平面DEF所成角的正弦值.

21.一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论,一题多解不但达到了解题

的目标要求,而且让学生的思维得以拓展,不受固定思维模式的束缚.学生多角度、

多方位地去思考解题的方案,让解题增添了新颖性和趣味性,并在解题中解放了解题

思维模式,使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩.假设某题共存在4种常规解法,已

知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为g,且各种方法能否答对互

试卷第51页,共33页

不影响,小红使用四种解法全部答对的概率为二.

⑴求P的值;

(2)求小红不能正确解答本题的概率;

(3)求小红使用四种解法解题,其中有三种解法答对的概率.

22.图,在三棱台/8C匣中,是等边三角形,48=244=4,CG=2,侧

棱Cq_L平面4BC,点D是棱48的中点,点E是棱58]上的动点(不含端点?)•

⑴证明:平面

平面

DCC/

(2)求平面

ABE与平面

ACE的夹角的余弦值的最小值.

试卷第61页,共33页

参考答案:

1.B

【分析】根据向量的加法运算法则直接计算.

【详解】DC+AD+CC^AD+DC+CC^AC^

故选:B.

2.C

【分析】利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为土

4

【详解】直线/的斜率为左=士工=1,

2-(-0

设直线/的倾斜角为C,贝1

因为兀),所以

4

故选:C.

3.C

【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式计算即可.

【详解】依题意,目标受损但未击毁的概率是i_0.3_0.2=0.5・

故选:C

4.B

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为N为4G与耳A的交点,

____.1.1.1.1_.1_1_

所以D|N=—A4+—AG=-―AD+-AB=b+-a,

12112112222

^MN=IlN-iyM=IlN--Dl)=-]-b+-a-\--c\=-a--b+-c

111212212^222

故选:B.

答案第11页,共22页

5.D

【分析】利用空间向量基底的概念及共线定理计算即可.

【详解】易知几=(x+4)Q+(y-x)B+(_y+4)C,

因为浣//,所以存在实数%,使得[=4浣,

所以(x+4)a+(>-x)B+(-y+4)。=“(2"+33-c)

x+4=24A=2x+y=6

所以y-x=3A=<元=0,所以

_y+4=—4y=6

故选:D.

6.A

【分析】求出圆心和半径,根据[0尸]胸=|℃|+「即可得答案.

【详解】解:线段”N中点的坐标为(1,7),3,=之91=_2

—1—3

所以线段卬的中垂线的斜率为八;

所以线段的中垂线的方程为x-2y-3=0,

又圆心在直线3x+y+5=0上,

由[x-2y-3=0,解得]x=T,

[3x+y+5=0[y=-2

所以圆心为(-1,-2)/=7(3+1)2+(-5+2)2=5,.

答案第21页,共22页

所以|0尸|=|OC|+r=5+V5-

IImaxII

故选:A.

7.A

【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.

【详解】从盒中随机取出1枚棋子,“是黑棋子”记为事件人,“是白棋子”记为事件5,

则尸.)=|,P⑻=;,

两枚棋子恰好不同色包含:

第一次取出黑棋子,第二次取出白棋子;第一次取出白棋子,第二次取出黑棋子,这两个

事件是互斥事件.

第一次取出黑棋子,第二次取出白棋子相互独立,概率为尸(/8)=尸(/)•尸(8)=手

第一次取出白棋子,第二次取出黑棋子也相互独立,概率为尸(血)=尸").尸(/)=/.

4

所以这两枚棋子恰好不同色的概率是P(/B)+尸(9)=;

故选:A.

8.B

【分析】由题意可知直线/恒过点8(4,-8),由此可知A到直线/的最远距离为以刈,最短

答案第31页,共22页

距离为0,即可得答案.

【详解】解:将直线方程(1-3切)%+(1-祖)y+4+4加=0变形为

(x+y+4)+(―3x—y+4)加=0'

由]x+y+4=0,解得"4,

[-3%-^+4=0[y=-8

由此可得直线/恒过点5(4,-8),

所以A到直线/的最远距离为1N可,此时直线/垂直于48,

A到直线/的最短距离为0,此时直线/经过点A.

又|/司=J(2-4'+(-4+8)2=2M,

所以人到直线’的距离的取值范围是10,20].

故选:B.

9.ACD

【分析】根据空间向量基本定理分别判断.

【详解】由空间向量基本定理.可知只有当工不共面时.2才能作为基底,

才能得到云=J+yJ+Z元,故A错误:

答案第41页,共22页

若何可是空间的一个基底,则中不不共面.*3/也不共面,

所以卜T/齐及k-2i}也是空间的一个基底,故B正确;

若7,尸7,则在不一定平行,故C错误;

若宗]左所在直线两两共面,则7J彳不一定共面,故D错误.

故选:ACD.

10.AC

【分析】根据题意,由互斥事件的定义,对选项逐一判断,即可得到结果.

【详解】根据题意,从1,2,3,…,9中任取两数,其中可能的情况有“两个奇数”“两

个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况.依次分析所给的4个事件可得,①恰有一个

偶数和两个都是奇数,不能同时发生,是互斥事件;

②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,与两个都是偶

数不是互斥事件;

③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,和“两个都是

偶数”不能同时发生,是互斥事件;

④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,至少有一个偶

数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,不是互斥事件.

故选:AC.

11.CD

【分析】利用直线的截距式,结合基本不等式可得解.

【详解】由题意知直线/在x,y轴上的截距存在且大于0,

可设的方程为±+[=1(,),

ab

由直线,过点得L3=i,

ab

答案第51页,共22页

所以1」+八2巨,当且仅当即"2,8=6时,等号成立,

ab\ab"b

即“612,所以s=%26,

2

故选:CD.

12.ABC

【分析】连接80,利用中位线、正四棱锥的性质判断A;过c作CG//8ZT交43延长线

于G,若F为CG中点,连接〃F,4F,先证MNCF为平行四边形,由异面直线定义确定

直线和CN所成角的平面角,再求其余弦值判断B;A/BN中求各边长,余弦定理求

cosZBAN,进而求点8到直线4N的距离判断C;证面/EC,等体积法有

嗫…c=九一皿+右一皿求点面距离判断口―

【详解】A:连接30,M,N分别为PB,PZ)的中点,即为中位线,则KV//8。,

由尸-/BCD为正四棱锥,故/BCD为正方形,则m_L/L所以对;

B:过C作CG//3D,交48延长线于G,若尸为CG中点,连接及4,4F,

又CD〃AB,艮产〃叱则8G。为平行四边形,故皿CF//BD,

22

EMNIIBD口…..MN//CFMN=CF刖MNCF过

而且MN=-BD,故且n,即为平行四边形,

2

所以CNI〔MF且CN=MF1故直线%"和CN所成角,即为44斯或其补角,

4=45=2行及正四棱锥的性质知:侧面为等边三角形,底面为正方形,且棱长均为2亚,

答案第61页,共22页

所以3=CN="尸=&,414c2+货=,2加+”=2生,

方从声弋故直线%3所成角的余弦值4对;

2

c:"BN中AN=瓜AB=2也,又pDrBTBWD,贝/a+9=5,

2

所以PD_LP8,则BN=,尸2?+PN。=M'

所以cos㈤N=8+.10立,故sin®N=叵,

2x2j2xj666

所以点B到直线的距离是N8sin4NN=巫,对;

3

D:由上分析知:MN=-BD=2,若。为底面中心,则。为'。中点,PD=PB,

2

连接P0,交MV为E,则P0_L8D,则PO_LMV,

又MN1AC,尸。n/C=O,PO,/Cu面尸ZC,

所以面尸,即脑。面易知:

W4C/EC,VM_ANC=VU_AEC+VN_AEC^

令M到平面ACN的距离为h,贝H〃1-S“NC'J1W-S“EC,

3AZ17W3△/IJCV

答案第71页,共22页

由/N=NC=V^,/C=4,贝1JA/NC中/C上的高为血,故S/NC=2加,

由"E=EC,OE=LPO=4PB2-OB2=1,贝!|S"c=2,

22

所以〃=也,错,

故选:ABC

13.-/2-

33

【分析】根据两直线垂直列方程,解方程即可.

【详解】因为直线(3-»?)x+y+l=0与直线2x-(/M-2)y+3=0垂直,

所以2(3-加)-(加-2)=0,解得以=|,

故答案为:

14.I/0-5

2

【分析】根据题意,由古典概型的概率计算公式,代入计算,即可得到结果.

【详解】在20组数中,6830,7840,7834,5346,0952,5734,4725,5924,6051,9138

满足要求,共10个,由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为g.

故答案为:!

6V33

【分析】由题意先将两分解成五彳,加,刀的线性组合,结合已知条件以及模长公式即可

答案第81页,共22页

求解.

【详解】如图所示:

由题意知西=西一方=怒+而一方,

所以

------»2/------►------►-----»\-2

BD、=^AA{+AD-ABJ

-------»2►2►2»►»►►►

=AA1+AD+AB+2AA、•AD—2AD•AB—2AA、•AB

=52+22+22+2x2x5xl-2x2x5x-=33,

22

所以I的卜屈,即明的长为回

故答案为:^^33,

1311

16.

【分析】结合两点间线段最短,只需求其中一个点关于直线的对称点,再求对称点与另一

点的距离即可.

【详解】

答案第91页,共22页

由题可知48在x+y—3=o的同侧,

设点B关于直线x+y-3=0的对称点为B'(a,b),

工互3=0a=l,B'(l,-3)

b.,即

则,:、2,解得

【a-6''

将军从出发点到河边的路线所在直线即为/",又4(2,4),

所以直线/夕的方程为7x-y-10=0,

设将军在河边饮马的地点为

Z7

贝即为7x—y—10=0与x+>—3=0的交点,

(lx-y-W=013

h+y-3=o,解得<x=一

8

11

y=—

1311

所以以

1311

故答案为:

17.(1)3

2

⑵§

【分析】(1)由两条直线平行的条件求解即可;

(2)先由两条确定的直线求出交点坐标,然后带入含参直线求解即可.

答案第101页,共22页

【详解](1)因为+1]=0,/3:(2m—3)x—(m+l)y—2m+3=0///3,

所以3x[_(加+1)]=-4x(2冽-3)解得加=3.经检验,冽=3时,IJH3-

(2)由产-勺+11=0,解得尸=-1即4与,2的交点为M21,

[x+2y-3=01)=2

因为三条直线相交于一点,所以点削2。在%上,

所以(2"-3)(-1)-(m+1)2-2优+3=0,解得/」

3

1

18.(1)2

(2)|

【分析】(1)根据等可能事件概率计算公式求解即可;(2)取的5名学生中成绩为42

等级的人数分别为1,4,从这5名学生中选取2人,列举出所有结果,根据古典概型概率

计算公式计算即可.

【详解】(1)由题知,任意抽取1人,抽到的学生成绩等级为0或。的概率为端苫=;.

(2)由题知,抽取的5名学生中成绩为45等级的人数分别为1,4,

记这5人分别为A,与,鸟,鸟,以,从中抽取2人的样本空间为

{(4片),(482),(4层),(454),(4,鸟),(乌,团,(综为),但,员),(82,8)(居应)},

共10个样本点,其中有A等级的样本点有(/心),(4修),(44),(44),共4个,

答案第111页,共22页

所以这2人中有A等级的概率为2=2

19.⑴3亚

(2)x2+v2-4x-2j-4=0

【分析】(1)利用直线的两点式求得直线8C的方程为》->-4=0,由点到直线距离公式

即可求出结果;

(2)设△48c的外接圆的方程为/+/+DX+/+尸=o,代入坐标联立解方程组即可求得

结果.

【详解】⑴直线的方程为=

1-(-2)5-2

化简可得x-y-4=0,

所以点人到直线的距离"=廿旦=_鼠=3及・

#+(-1)2亚

(2)设48C的外接圆的方程为—+y2+Dx+Ey+F=0>

将4及C的坐标代入,得

’(-以+俨一。+E+尸=0,f-D+E+F^-2

-22+(-2)2+2D-2E+F=0,即<2D-2E+P=-8

52+l2+5£>+£1+F=0[5D+E+F=-26

D=-4

解得<E=_2;

故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-4=0-

答案第121页,共22页

20.(1)证明见解析

(2)由1

11

【分析】(1)取ZC的中点G,连接尸G,GG,利用线线平行证明线面平行;

(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求线面夹角正弦值.

【详解】(1)证明:取NC的中点G,连接尸G,GCj

因为尸,G分别为/B,/c的中点,

所以FG〃BC,FG,BC,

2

又£为BtC,的中点,BCHB\C\,BC=Bg,

所以FG〃EG,FG=EC,>

所以四边形EFGG是平行四边形,

所以EF//GG,

又EFB平面ACC,A,>GC,<=平面ACQA,>

所以厮//平面NCG4-

(2)

答案第131页,共22页

解:在直三棱柱ABC由14。1中,3311,平面ABC,

又A4u平面/2C,8Cu平面4BC,

所以BB}1BC<又BALBC,

故以8为原点,BA,BC,8与所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,

则。(0,2,0),£>(2,0,1)-£(0,1,2)'产(1,0,0),

所以厚=(一1,1,2),丽=0,0,1),CE=(O,-l,2)'

设平面DM的法向量为蔡=(x,y,z),

m-FE=-x+y+2z^0X=1>=3z=-l

则m-Fl5=x+z=0令得

所以平面DE1厂的一个法向量为京=0,3,_1),

CEDEF6____\^.CE\|_5|屈

设直线与平面所成的角为,则sin8=1cos(加,CE)=一|昌二得―=

、71\m\\CE\VHxV5H

即直线C"与平面"跖所成的角的正弦值为运.

11

21.(1);7=-;

3

(2)1;

6

1

答案第141页,共22页

【分析】(1)根据给定条件,利用相互独立事件的概率公式计算得解.

(2)利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.

(3)利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.

【详解】(1)记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件D,E,F,G,则

P(D)=P(E)=P,P(F)=:,P(G)=;,

因为各种解法能否答对互不影响,且全部答对的概率为

于是P(DEFG)=P(D)P(E)P(F)P(G)=gp2=g,解得,

o/2J

所以p=;.

(2)若小红不能正确解答本题,则说明小红任何方法都不会,

所以小红不能正确解答本题的概率是“--£|x1i-£|=g

(3)记事件"为小红使用四种解法解题,其中有三种解法答对,

则尸(H)=P^DEFG^+P^DEFG^+P^DEFG^+P@EFG)

所以小红使用四种解法解题,其中有三种解法答对的概率为:.

22.⑴证明见解析

1

⑵7

答案第151页,共22页

【分析】(1)先分别证明CC|_LN8、CDAB,由此即可证明N8/平面DCQ,从而由

面面垂直的判定定理即可得证.

(2)建立适当的空间直角坐标系,设面=/函(%e(0,1)分别求出求平面/BE与平面

ACEA

«l,n

的法向量2(含有参数),由公式即可表示出cosO=|cos5i,%

可以看成是关于2的函数),从而将问题转换为了求函数的最小值,从而即可求解.

【详解】(1)因为一8C是等边三角形,点。是棱的中点,

所以,

又Cq_L平面/8C,43u平面48C,

所以CC]_

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