二次根式-2022年中考数学课本知识梳理（全国通用）(解析版)

专题04二次根式

冲考分析

二次根式是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现,

主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法.

1.了解二次根式的有关概念以及二次根式是否有意义的条件.

2.了解掌握二次根式的性质.

3.学会二次根式的运算以及估值方法.

族。识框架］

二次根式的定义布佃20)

合运算：类比整式的运算法则进行计算

国要考厂I

1.二次根式

形如JZ(α20)的式子叫做二次根式，如6,,√5面,C等式子，都叫做二次根式.

2.最简二次根式

①被开方数是整数或整式；

②被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如也,，石,3«,寿等都是最简二次根式.

要点：最简二次根式有两个要求：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中每个因式的指数都小于

根指数2.

3.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这儿个二次根式就叫同类二次根式.

要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.

如逝与血，由于a=2夜，、反与血显然是同类二次根式∙

4.二次根式的性质

①①≥0

(2)(√^)2≥0

③a(a>O)

=Iai=-O(a=O)

--a(a<0)

*5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数

式相乘,若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.

常用二次根式的有理化因式：

①指■与几互为有理化因式；

②a+TU与a-VU互为有理化因式；

③6+TU与布-VU互为有理化因式。

一、单选题

1.(2021•湖北黄石•中考真题)函数y=[g+(x-2)°的自变量X的取值范围是()

A.x≥-lB.x>2C.x>-l且XH2D.XX-I且XH2

【答案】C

【分析】

根据被开方数大于等于0,分母不为0以及零次幕的底数不为0,列式计算即可得解.

【解析】

解：函数>=+(x-2)°的自变量X的取值范围是:

x+l>0Jix-2≠0,

解得：x>-l且XH2,

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（I）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数：

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

2.（2006•广东深圳♦中考真题）〃、b在数轴上的位置如图所示，那么化简卜-耳-77的结果是（）

----------------1---------1------->

h0a

A.2a—hB.hC.—bD.—2α+h

【答案】C

【分析】

根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案.

【解析】

解:原式=a-b-a

=-b.

故选：C.

【点睛】

本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化筒整式是解题关键.

3.（2020•广西河池•中考真题）若y=怎有意义，则X的取值范围是（）

A.x>0B.x>0C.x>2D.x≥2

【答案】B

【分析】

根据二次根式有意义的条件：被开方数应大于或等于0,列式计算即可得解.

【解析】

解：由题意得，2x≥0,

解得x≥0.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数应大于或等于0.

4.（2020.辽宁丹东.中考真题）在函数y=√^右中，自变量X的取值范围是（）

A.x≤3B.x<3C.x>3D.x>3

【答案】A

【分析】

根据二次根式有意义，列不等式9-3XN0,求出X的取值范围即可.

【解析】

解：根据二次根式有意义，

所以,9-3x>0,

解得，x≤3.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式

无意义.

5.(2020.湖北黄石.中考真题)函数y=-1+√7≡5的自变量X的取值范围是()

x-3

A.x≥2,且XH3B.x≥2C.x≠3D.x>2,且XH3

【答案】A

【分析】

根据分式与二次根式的性质即可求解.

【解析】

依题意可得x-3≠0,x-2≥0

f⅛星得x≥2,∖∖,x≠31

故选A.

【点睛】

此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质.

6.(2020•四川攀枝花•中考真题)实数。、》在数轴上的位置如图所示，化简

J(q+I):+Js-If-y∣(a-bf的结果是().

a,b

-3-2-10123

A.-2B.0C.-2aD.2b

【答案】A

【分析】

根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答

案.

【解析】

解：由数轴可知-2<a<-l,l<b<2,

.∙.a+lV0,b-1>0,a-b<O,

；・y∣(a+1)2+Js-1)?—yj(a-h)2

=-(6Z+l)+(Z?-l)+(6Z-Z?)

=-2

故选A.

【点睛】

此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的

位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断.

二、填空题

7.（2021•江苏镇江•中考真题）使G7有意义的X的取值范围是

【答案】x≥7

【分析】

直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案.

【解析】

解：有意义，则x-7≥0,

解得：x≥7.

故答案为：x≥7.

【点睛】

］此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键.

8.（2021.辽宁盘锦・中考真题）计算：∣6-2∣+J/=

【答案】

2+√3

【分析】

直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案.

【解析】

解：原式=2-6+2G

=2+G-

故答案为：2+∖∕J.

【点睛】

此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键.

9.（2021•辽宁丹东•中考真题）在函数y=中，自变量X的取值范围.

【答案】x>3

【分析】

根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【解析】

根据题意得：

.∙.自变量X的取值范围是x≥3∙

故答案为：x≥3.

【点睛】

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（I）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

10.（2020・湖南益阳•中考真题）若计算灰X机的结果为正整数，则无理数加的值可以是

.（写出一个符合条件的即可）

【答案】√12（答案不唯一）

【分析】

根据（Jily为12,即可得到一个无理数m的值.

【解析】

解：V（√12）2=12,

m=时痴X”的结果为正整数，

故答案为：√12（答案不唯一）.

【点睛】

本题考查了二次根式，注意（右）,=。是解题的关键.

2

11.（2018•广东广州•中考真题）如图，数轴上点A表示的数为α,化简：a+y∣a-4a+4=

A

—'-------1----'---->

0a2

【答案】2.

【分析】

直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可.

【解析】

由数轴可得：0<a<2,

贝IJa+Ja'_4a+4=a+J（2-a>=a+（2-a）=2.

故答案为2.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键.

12.（2019.山东枣庄•中考真题）观察下列各式：

请利用你发现的规律，计算:

1+++1+++1++++1++

^F⅛J⅛⅛J⅜⅛-JΞδ⅛Ξδ^其结果为

【答案】2018^^.

2019

【分析】

根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可.

【解析】

1+++l++++

^⅛⅛J⅛⅛^÷⅛÷⅛/+盛

11

+--------------

20182019

2018

=2018

2019

9∩ιo

故答案为2018瑞I

【点睛】

本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题

的关键.

二、二次的运算

1.二次根式的运算

①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根

代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根

号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方

数和根指数不变，即合并同类二次根式.

要点：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二

次根式.如√2+3√2-5√2=(l+3-5)√2=-√2.

③乘除法：

乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法4a×∖[b=y[ab{a>0,Z?≥0)

y[ab=G×y[b(a≥0,b≥0)

商的算术平方根化简公式:

f∣*≥0,b>0)

二次根式的除法Fa_∖∣a

(«>0,/?>0)

要点:

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如

a^[b∙Cyfd=acy[bd.

（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如J（-4）X（-9）H√≡5X口.

④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,

都适用于二次根式.

一、单选题

1.（2021•四川绵阳•中考真题）计算JTixJ历的结果是（）

A.6B.6√2C.6√3D.6√6

【答案】D

【分析】

由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.

【解析】

解：√18×√Γ2

=3√2×2√3

=6>/6

故选：D.

【点睛】

本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.

2.（2021.广西桂林•中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.B.∙^4C.a^D.y]a+b

【答案】D

【分析】

要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整

数或整式；2、被开方数不能再开方.由被选答案可以用排除法可以得出正确答案.

【解析】

A、4被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B、"=2是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、√7=∣α∣,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式：2、被开方数不能再开方.

3.（2021•内蒙古呼和浩特•中考真题）下列计算正确的是（）

A.3（/2+4«2=7a4B.-Ja^一=1

a

3白21

C.-18÷12÷（--）=4D.—---l=-

2a-∖cιa-∖

【答案】D

【分析】

根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可.

【解析】

3α2+4α2=Ia2»故A错；

当a>0,■—=],当a<0,,故,B错;

aa

3

—18+12÷（-ɪ）=-26,故C错；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键.

4.（2021•湖南益阳•中考真题）将后化为最简二次根式，其结果是（）

ʌ√45r√90「9√I03√10

2222

【答案】D

【分析】

根据二次根式的化筒方法即可得.

【解析】

解：原式=、隹迈，

V2x2

3√lδ

=-----,

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键.

5.（2021•湖北恩施•中考真题）从亚，-√3,-夜这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有

）个.

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解.

【解析】

解：由题意得：

-√3×√2=-√6,-√2×√2=-2,-^×（-√2）=√6,

,所有积中小于2的有-n,-2两个；

故选C.

【点睛】

本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键.

6.（2021•江苏泰州•中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）

A.瓜与上B.0与痘C.后与屈D.后与旧

【答案】D

【分析】

把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断.

【解析】

A、底=20,2血与否不是同类二次根式，故此选项错误；

B、√I2=2√3,√Σ与2石不是同类二次根式，故此选项错误；

C、石与J区不是同类二次根式，故此选项错误；

D、√75=5√3.√27=3√5-5月与3石是同类二次根式，故此选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式.

7.（2021•广东•中考真题）设6-JfG的整数部分为4,小数部分为6,则出+加a的值是（）

A.6B.2√iθC.12D.9√IO

【答案】A

【分析】

首先根据国的整数部分可确定。的值，进而确定b的值，然后将。与b的值代入计算即可得到所求代

数式的值.

【解析】

V3<√iθ<4,

••2<6-JlO<3,

二6-J元的整数部分4=2,

二小数部分6=6—而-2=4-9，

.∙.(2β+√iθ)⅛=(2×2+√iθ)(4-√iθ)=(4+√iθ)(4-√iθ)=16-lθ=6.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，正确确定6-质的整数部分。与小数部分匕的值是解题关键.

8.(2021.河北•中考真题)若g取1.442,计算后-36-983的结果是()

A.-100B.-144.2

C.144.2D.-0.01442

【答案】B

【分析】

类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可.

【解析】

vɜ=1.442

√3-3^-98√3=(l-3-98)√3=-100√3

.∙.-100√3=-144.2

故选B.

【点睛】

本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键.

9.(2021.江苏扬州•中考真题)如图，一次函数y=x+0的图像与X轴、y轴分别交于点A、B,把直

线A3绕点8顺时针旋转30。交X轴于点C,则线段AC长为()

A.√6+√2B.3√2C.2+√3D.6+夜

【答案】A

【分析】

根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作

CDLAB,垂足为。，证明AACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x,结合旋转的度数，用两种方法

表示出8。，得到关于X的方程，解之即可.

【解析】

解：•••一次函数y=χ+√∑的图像与X轴、y轴分别交于点A、B,

令X=0,则尸应，令尸0,则X=-√5,

则A(-√2-0),B(0,√2)，

则△04B为等腰直角三角形，NAB失45。，

.∙.AB=J(√2)2+(√2)2=2,

过点C作CCA8,垂足为，

,.∙ZCAD=ZOAB=45o,

ΛΔACD为等腰直角三角形，设CD=AD=X,

∙'∙AC=ADr+CD1=旧，

；旋转,

.∙.ZABC=30o,

：.BC=2CD=2x,

■■BD=√BC2-CD2=币X，

又BD=AB+AD=2+x,

2+x=λ∕3%,

解得：Λ=>∕3+1>

•∙AC-5/2x~z5/2(√3+1)=ʌ/ð+√2,

故选A.

D

【点睛】

本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股

定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形.

二、填空题

10.（2020•山东青岛・中考真题）计算：√12-^×√3=

【答案】4

【分析】

根据二次根式的混合法则运算计算即可.

【解析】

（2∕ξλ

解：原式=2Λ∕3----×Vs

kɔ）

=处乂6

3

=4,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.

11.(2020•辽宁营口•中考真题)(3λ^+√6)(3√2-√6)=.

【答案】12

【分析】

直接利用平方差公式计算得出答案.

【解析】

解：原式=(3√2V-(√6)2

=18-6

=12.

故答案为：12.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键.

12.(2018•广西河池•中考真题)计算：^∣×√2=.

【答案】3

【分析】

直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案.

【解析】

故答案为3.

【点睛】

此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键.

b(a>b)定义一种新运算aXb=r竺2,

13.(2020・青海・中考真题)对于任意不相等的两个实数a,

\Ja-h

如3X2=里±2,那么12X4=

√3^2

【答案】√2

【分析】

按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可.

【解析】

解：12X4=^^H=半=夜

√12-4√8

故答案为：√2

【点睛】

此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键.

14.（2011∙广东珠海•中考真题）将按右侧方式排列.若规定（，"，"）表示第〃，排从左向

右第〃个数，则（5,4）与（15,7）表示的两数之积是一.

1第1排

√2√3第2排

√61√2第3排

√3√61√2第4排

√3√61√2√3第5排

【答案】2√3

【分析】

根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数.第三排3个数，第四排4个数，…第WJ-I

排有（加1）个数，从第一排到（怯1）排共有：1+2+3+4+...+（W-I）个数，根据数的排列方法，每

四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算.

【解析】

解：（5,4）表示第5排从左向右第4个数是：√2.

（15,7）表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1,

第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1,那么第7个就是：√6,

.∙."x夜=26.

故答案为2#.

15.（2017•青海西宁•中考真题）计算：（2-2石）2=.

【答案】16-8√3

【解析】

试题分析：原式=4-8+12=16-8

考点：二次根式的混合运算.

16.（2016•山东聊城・中考真题）计算:

【答案】12

【解析】

试题分析：直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案.

考点：二次根式的乘除法

17.(2021.山东威海.中考真题)计算®-JlXA的结果是

【答案】-√6

【分析】

根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解.

【解析】

解：原式=2#-3石

=2√6-3√6

=—ʌ/ð，

故答案为：-R.

【点睛】

本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解.

18.(2021•贵州铜仁•中考真题)tt-M(√27+√18)(√3-√2)=；

【答案】3

【分析】

先化简二次根式，再利用平方差公式展开计算即可求出答案.

【解析】

解：(历+硝(&-@

=(3√3+3√2)(√3-√2)

=3×(√3+√2)(√3-√2)

=3×1

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，细心运算是解题的关键.

19.(2021.湖南岳阳•中考真题)已知x+'=0,则代数式X+'-夜=.

XX

【答案】0

【分

把X+4=&直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值.

X

【解析】

X+1-&=应-√Σ=0

X

故答案为：0.

【点睛】

本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键.

20.(2021•湖北荆州•中考真题)已知：4=［；［+卜6『，⅛=(√3+√2)(√3-√2),贝IJ

•Ja+b—.

【答案】2

【分析】

利用负整数指数幕和零指数寻求出”的值，利用平方差公式，求出〃的值，进而即可求解.

【解析】

c22

W-：V^［∣j'÷(-√3)=2+l=3,⅛=(^+√2)(^-√2)=(√3)-(√2)=l,

∙*∙∙Ja+b=，3+1=2,

故答案是：2.

【点睛】

本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数基和零指数基以及平方差公式，是解题的关键.

三、二次根式的应用

一、单选题

1.(2019•湖北宜昌・中考真题)古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的

三边求面积的公式,称为海伦-秦九韶公式:如果一个三角形的三边长分别是。，b,c,记P=”产,

那么三角形的面积为S=JPS-4)(∕-6)S-c)如图,在ΔA3C中，ZA,DB,NC所对的边分别记

为。，b,c,若a=5,b=6,c=l,则A4BC的面积为()

A.6√6B.6√3C.18D.y

【答案】A

【分析】

利用阅读材料，先计算出〃的值，然后根据海伦公式计算AABC的面积:

【解析】

。=7,b=5,c=6.

AABC的面枳S=√9（9-5）×（9-6）×（9-7）=6√6：

故选A.

【点睛】

考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大.

2.（2017・四川泸州•中考真题）已知三角形的三边长分别为a、b、c,求其面积问题，中外数学家曾经

进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron,约公元50年）给出求其面积的海伦公式

S=加夕一a）S-6）S-C），其中P=3+；+°；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）

曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=Ly阴_（一科♦」一.若一个三角形的

2V2

三边长分别为2,3,4,则其面积是（）

ʌB.c,D.叵

~8~~1~~2~~2~

【答案】B

【解析】

试题解析：:S=Lb*H\

2V2

.∙.若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是:s=ι以上二£)*=辿

2V2q

故选B.

考点：二次根式的应用.

二、填空题

3.（2021♦青海•中考真题）观察下列各等式:

根据以上规律，请写出第5个等式：

【答案】6+⅛

【分析】

根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与I的差，右边根号内为左边

根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第〃个等式，再将”=6代入即可求出答案.

【解析】

解：猜想第〃个为:

ng.fɪ=Jn+√-（〃为大于等于2的自然数）；

V∕r-1VAr-I

理由如下：

Vrt>2,

添项得:

提取公因式得:

分解分子得:

即:

第5个式子，即"=6,代入得:

本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性

的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系.

4.（2021・四川眉山・中考真题）观察下列等式：χl=^l+l+X=∣=l+-L;

根据以上规律，计算％+X2+X3++⅛-2021=

I

【答案】-

2021

【分析】

根据题意，找到第〃个等式的左边为M卜