函数与导数-2023年高考数学一轮复习（全国通用）（解析版）

考向10函数与导数

1.【2022年全国甲卷第6题】6.当X=I时，函数/(x)=alnx+^取得最大值—2,贝!∣∕'(2)=

X

A.-1B.--C.-D.I

22

【答案】B

,

【解析】∕(x)=--4.由条件，得V⑴="=-2,所以q=6=一2,BPf∖χ)=--+^,

Xχ-[f(∖)=a-b=0Xχ-

221

所以广(2)=-]+球=一故选B.

2.【2022年乙卷文科第11题】11.函数f(%)=cosx+第+l)sin%+l在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为

A.B.--,2EC.--,-+2D.—至3+2

22222222

【答案】D

,

【解析】/'(x)=(x+l)cosx,当Xe(O当时，∕(x)>0;当Xeq苧时，ιf(χ)<O;当Xe穹,2π)时,

/(X)>O.所以,/(X)极小值=∕(y)=~；"X)极大值=/(|)=∣+2.X/(O)=八2兀)=2,所以

/(X)miL樗)=~；/(x)M=吗+2.故选D.

3.【2022年新高考1卷第10题】10.已知函数/(x)=丁一χ+1,则()

A./S)有两个极值点B./(χ)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=∕(x)的切线

【答案】AC

【解析】由题，∕,(X)=3Λ2-1,令∕∙(X)>0得χ>#或x<_曰,

令ro)<o得—B<x<2,

33

所以/(X)在上单调递减，在(-8,-,+00)上单调递增,

所以χ=±且是极值点，故A正确；

3

因"—理)=1+半>。，/(理)=1一竿>0'〃-2)=-5<0，

所以，函数〃元)在卜8,-日)上有一个零点，

当x≥日时，"χ)≥∕∣*)>0,即函数/(x)在γ,+∞上无零点，

综上所述，函数/O)有一个零点，故B错误；

令∕ι(x)=X3-X,该函数的定义域为R，M-X)=(-x)3一(一X)=-X3+x=-,

则Kx)是奇函数，(0,0)是h{x}的对称中心，

将Kx)的图象向上移动一个单位得到/(χ)的图象，

所以点(0,D是曲线y=/(X)的对称中心，故C正确；

令r(x)=3fτ=2,可得χ=±l,又/⑴=F(T)=I,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-l,当切点为(一1,1)时，切线方程为v=2x+3,

故D错误.

故选：AC

4.【2022年新高考1卷第12题】12.已知函数/*)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=∕'(x),

若/(|-2x),g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B∙g(-∕]=0C./(-1)=/(4)D.g(T)=g(2)

【答案】BC

【解析】因为/g(2+x)均为偶函数，

127

所以g(2+x)=g(2-X),

所以/(3-X)=〃尤)，g(4-x)=g(x),则/(T)=f(4),故C正确;

3

函数/(χ),g(χ)的图象分别关于直线x=—,x=2对称，

2

又g(x)=f'(x),且函数/S)可导，

所以g(I)=O,g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以引一不=g-=。，g(T)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误；

若函数/(X)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定F(X)的函数值，

故A错误.

故选：BC.

5.[2022年新高考2卷第14题】写出曲线y=InIx∣过坐标原点的切线方程:,.

【答案】①.y=-x②.y=--x

ee

【解析】因为y=ln∣x∣,当x>0时y=lnx,设切点为(玉,由丁'=1，所以VIΛ=Λ⅛=一,所以

X⅞

切线方程为y-lnx0='(x-/)，又切线过坐标原点，所以TnXo=—(一/)，解得飞=e,所以切线

⅞⅞

方程为y-l=1(x-e),即y=1x；

ee

当x<0时y=ln(-x),设切点为(x∣,ln(-χ)),由丁'=工，所以VLF=所以切线方程为

Xɪi

y-ln(-x1)=-(x-x,),

x∖

又切线过坐标原点，所以-ln(-玉)='(一王)，解得x∣=-e,所以切线方程为y-l=-!-(x+e),即

ɪi-e

y^--x；故答案为：y=1χ;y=一，X

eee

6.[2022年新高考1卷第15题】若曲线y=(x+α)e*有两条过坐标原点的切线，则α的取值范围是

【答案】(fo,-4)(0,y)

【解析】易得曲线不过原点，设切点为(Λ0,(x<)+α)e"),则切线斜率为：

,

∕(Λ0)=(Λ0+α+l)e".可得切线方程为y-(Λ0+α)e"=(xl)+α+l)e"(x-X(1),又切线过原点，可得

-(XO+α)e'>=-x0(x°+α+l)e*,化简得+α⅛—。=0(X),又切线有两条，即※方程有两不等实根，

由判别式A=α2+4a>0,得.<γ,或α>0.

7.[2022年乙卷理科第16题】已知X=XI和X=X2分别是函数/(X)=2ax-ex2(a>O且471)的极小值点

和极大值点，若玉<々，则。的取值范围是

【答案】(o,W

【解析】f∖x)=2(ax]na-ex)至少要有两个零点x=2和x=/，我们对其求导，

f(X)=2αv(lna)2-Ie,

(1)若α>l,则/"(X)在R上单调递增，此时若/"(XO)=()，则f(x)在(一陶玉))上单调

递减，在(%,+⑹上单调递增，此时若有X=%和X=X2分别是函数/(X)=2ax-ex1(a>0且αHl)的

极小值点和极大值点，则不>々，不符合题意。

(2)若0<α<l,则/(%)在R上单调递减，此时若/"(而)=(),则f(x)在(一陶玉))上

单调递增，在(Xo,+8)上单调递减，且Xo=Iog'、2。此时若有X=XI和X=X2分别是函数

(Inay

κ2

/(%)ɪ2a-ex(a>O且ɑ≠1)的极小值点和极大值点，且玉<马，则需满足/(x0)>O，即

—^―>elog,,/'、，=a'na>/c、，=>Inαh*">In,t.ɔ=>-^-lna>l-ln(ln«)2，可解得α>e或

Ina,(lna)2(Ina)?(Ina)?Ina'"

O<α<J,由于0<α<l,取交集即得0<。<!。

1.求曲线内(X)的切线方程的类型及方法

(1)己知切点P(Xo,")，求y√(x)过点尸的切线方程：求出切线的斜率/(Xo),由点斜式写出方程;

(2)已知切线的斜率为A求月∙(X)的切线方程：设切点P(Xo,州)，通过方程柱f'(xo)解得xo,再由点斜式

写出方程；

(3)已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点P(XO,/)，利用导数求得切线斜率尸(Xo),再

由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得心，最后由点斜式或两点式写出方程.

(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，

再由后尸(XO)求出切点坐标(沏,和)，最后写出切线方程.

(5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.

②过点P的切线即切线过点P,P不一定是切点.因此在求过点尸的切线方程时，应首先检验点P是

否在已知曲线上.

2.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式((x)>0

(∕,(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤为：

⑴求尸(X);

(2)确认尸(X)在(0,份内的符号；

(3)作出结论，/'(X)>O时为增函数，/'(X)<0时为减函数.

注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

3.由函数/(x)的单调性求参数的取值范围的方法

⑴可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上/'(x)20(或/'(x)≤0)(∕'(X)在该区间的

任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值

范围；

(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是/'(x)>O(或/'(x)<0)在该区间上存在解集，

这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

(3)若已知一(X)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出/(X)的单调区间，令/是其单

调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.

4.利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利

用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.

5.求函数/(x)在［”,例上最值的方法

(1)若函数/(x)在［”,句上单调递增或递减，/⑷与/S)一个为最大值，一个为最小值.

(2)若函数/(x)在区间(小份内有极值，先求出函数/(x)在区间①，力上的极值，与/伍)、/S)比较，其

中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

(3)函数/(x)在区间(m6)上有唯---个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点.

注意：(1)若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.

(2)极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值

也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

6.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：

(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值,

根据要求得所求范围.一般地，/(x)≥α恒成立，只需/(©,“",Na即可；f(x)≤α恒成立，只需

/(x)max≤α即可・

(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，

然后构建不等式求解.

易错点1：导数与函数的单调性

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的

考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数

求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的

优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

易错点2:导数与函数的极(最)值

求函数处0在S，句上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(4,6)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值/〃)，心)；

(3)将函数兀V)的各极值与人公，人勿比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

易错点3:对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

广(幻>0。Κ€41^11...0/(幻增区间9,8和...

广(X)<O=X∈CUDU…=F(X)增区间为C。和…

x∈。时广(幻〉0=>/(处在区间。上为增函数

尤∈。时r(X)<On/(X)在区间。上为减函数

X∈。时「(x)=On/(x)在区间。上为常函数

讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论.

一、单选题

1.曲线y=χe'+2x-2在X=O处的切线方程是()

A.3x+y+2=0B.2x+y+2=0

C.2x-y-2-0D.3x-y-2=0

【答案】D

【解析】y=xex+2x-2,则y'=(x+l)e*+2,当x=OB⅛,y=-2,)M=3,

所以切线方程为y-(-2)=3X,即3x-y-2=O.

故选：D.

2.已知函数f(x)的导函数为尸(x),且满足/(x)=24'(l)+lnx,则/'(1)=()

A.-eB.-1C.ID.e

【答案】B

【解析】由题意，函数/(x)=24'(l)+lnx,可得r(x)=2∕"⑴+g

所以/'(l)=2f'(l)+l,则r(l)=T.故选：B.

3.曲线>=xln(2x+5)在x=-2处的切线方程为()

A.4x—y+8=0B.4x+y+8=0

C.3x—y+6=0D.3x+γ+6=0

【答案】B

【解析】因为y=xln(2x+5),所以y=[xln(2x+5)]'=ln(2x+5)+St，所以Ml=Y.

又当x=-2时，γ=xlnl=0,故切点坐标为(-2,0),所以切线方程为4x+y+8=0.

故选：B.

4.函数/(x)=gχ2-]nx的单调递减区间为()

A.(-ɪ,l)B.(0,1)C.(1收)D.(0,2)

【答案】B

【解析】/(X)的定义域为(0,+8)

解不等式f'(x)=x--=(V~1)(V+I)<0,可得0<x<1,

XX

故函数/U)=-InX的递减区间为(OJ).故选：B.

2

5.已知函数/(x)=∕+2COSX,设α=f(2°5),⅛=∕(θ.5),c=∕(log052),贝I]()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】F(X)=X2+2CoSX,定义域为R,

/(-x)=(-x)2+2COS(-X)=X2+2COSX=/(X),所以f(x)是偶函数，

/'(x)=2x-2sinx,令g(x)=2x-2sinx,则g'(x)=2-2cosx20,

所以在R上尸(x)单调递增，Z(O)=O,

即在(0,+∞)上/'(x)>0,/(x)单调递增,

2

因为C=/(Iog052)=/(-1)=/(1),205>1>0.5，

所以/(20∙5)>∕(1)>∕(0.52),即α>c>。,

故选：A

6.已知函数f(x)=+cosx,尸(X)是函数/(X)的导函数，则尸(X)的图像大致是()

【答案】C

【解析】/(x)=→2+cosx,则/'(X)=；X-SinX,则函数f'(x)为奇函数，排除BD；

∕,[y]=ɪ-l<O,排除A；

故选：C.

7.若函数/(x)=lnx,g(x)=Jχ3对任意的%>%>o,不等式如>曳尹二X恒成立,则整数机的最小

3g(x∣)-8(工2)

值为()

A.2B.1C.OD.-1

【答案】A

【解析】因为g(x)=；Y单调递增，%>%>。，所以gα)>g(∕)>o,即g(χ)-g(w)>o,

xxx

原不等式恒成立可化为帆g(%)-"Zg(W)>J(i)-^2f(2)恒成立，

即%>x2>0时，加8(玉)一工|/(不)〉〃吆(工2)72/(%2)恒成立，

即函数人(X)=Wg(X)-^(X)=TX3-xlnx在(0,+∞)上为增函数，

所以〃'(X)=Znr2-InX-1≥0在(0,+∞)上恒成立，

、lnx÷lʌ,、InX+1,,、21nx+l

即απm≥——,令A(zX)=—二，则rltM1zX)=-------3-,

XXX

当。vr<eT时，MX)>0，-X)单调递增，当χ>∕时，MX)<0,A(X)单调递减，故当丫一「；时，函数

U'√V%C人一C

.,、Inx+1,,.1/+“e

MX)=一^的最l大值为5,

即机≥∣恒成立，由〃ZeZ知，整数，〃的最小值为2.

故选：A

8.已知函数/(ʌ)ɪɑeʌ-ɪ,若有且仅有两个正整数，使得/(x)<0成立，则实数a的取值范围是()

ʌ-⅛VJb∙⅛vj

Γ9∩「12、

c∙⅛■与Jd∙⅛vj

【答案】C

2O

【解析】由/(x)<0且x>0,得a(x+2)<土，设g(χ)=工，Mx)=a(x+2),

ee

g,(X)="己知函数g(x)在(0,2)上单调递增，在Q,y)上单调递减，

e'

ρ(↑)1&⑵1a(3)Q

函数∕z(x)=a(x+2)的图象过点(-2,0),ɪɪ-=-,τ¾⅛=-,表去二不，结合图象，因为

1^~^(-~z)ɔeZ(一，jQɔz)ɔe

911.9/1

所ccr以豆≤"亚

故选：C

二、填空题

9.已知抛物线/=啰(4>0)在》=1处的切线过点(2,|),则该抛物线的焦点坐标为.

【答案】U

1ɔO

【解析】由题意得：由V=αy可得y=2∙∕,求导可得y=4χ,故切线斜率为K

aaa

1ɔ

故切线方程为y-~L=Wa-I)

aa

又因为该切线过点(2,∣),所以∣-1=∙∣(2T),解得α=2

抛物线方程为f=2y,焦点坐标为(0,；).

故答案为：［ɑ,ɪj

10.已知"x)=(x+l)e',函数/(x)的图象在X=O处的切线方程为.

【答案】2x-y+l=0

【解析】由"x)=(x+l)e*得/'(x)=e'+(x+l)e',所以在X=O处的切线的斜率为∕'(0)=e°+(0+l)e°=2,

又/(。)=1,故切点坐标(0,1),所以所求的切线方程为yT=2x,即2x-y+l=0,

故答案为：2x->∙+l=0.

11.若函数/(X)=丘-e'有两个零点，则k的取值范围为.

【答案】(e,48)

1Y1X

【解析】因为AX)=丘-e'有两个零点，即奴一/=0有两个零点=7==有两个解，即y=7与)，=一的图

kek'e

Y1—Y

象有两个交点，令g(x)=∙⅛(A∙∈R),则g'(x)=­L，

ee

所以当xe(fo,l)时，g'(x)>0,g(x)单调递增;当X∈(L切)时,g")<0,g(x)单调递减;

所以g(x)a=g⑴=［，又因当x<。时，g(x)='<0,

当x>0时，g(x)=2>0,当X=O时，^(χ}=~=0,

ee

要使y=J与y=W的图象有两个交点，所以即k的取值范围为(e,∙).

故答案为：(e,+8).

2

12.关于函数/(x)=x+;~,有下列4个结论：

1+e7

①函数"X)的图象关于点(0,1)中心对称；②函数“X)无零点；

③曲线y=√(χ)的切线斜率的取值范围为C，1]④曲线y=∕(χ)的切线都不过点(0,0)

其中错误结论为.

【答案】②③

7ɔɔOpx

【解析】由已知：f{x)+f(-x)=x+-——--x+-———=-——-+----7=2,故①正确；

l÷e1+e1+el÷e

2O.2

E1J∕(0)=1>0,f(-2)=-2+产^<-2+2=0(或f(-2)=-2+；—=∙jʒ<0)知函数/⑺在(-2,0)内

1+e1+e-l+e-7

有零点，故②不正确；

山"©=I-正了=Je*+e-*+2且e'+e-≥2当且仅当x=°取等号知:/'("的值域为[则，故③错

误；

若曲线y=∕(χ)存在过点(0,0)的切线，设切点为(八/(加))，则由导数的几何意义与斜率公式得：

2

X”'n+---

I__至—=_1+e,化简得：(m+l)em+l=0,令g(x)=(x+l)e'+1,则g'(x)=(x+2)e*,当x<-2时,

(l+ew)2m

√(x)<0,当χ>-2时，g'(x)>0,故gC‰=g(-2)=l-e-2>0,所以函数g(x)无零点，因此方程无实数

解，假设不成立，故④正确.

综上，错误结论为：②③.

故答案为：②③.

一、单选题

ɪ.（2022.海南海口•二模）在核酸检测时，为了让标本中OMi的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常

采用PCR技术对OVA进行快速复制扩增数量.在此过程中，ON4的数量X0（单位：〃g/〃L）与PCR扩

增次数”满足X"=XOXl.6",其中X0为DNA的初始数量.已知某待测标本中DNA的初始数量为01〃g/〃L,

核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10〃g/,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（）（参

考数据：Ig1.6≈0.20,In1.6≈0.47）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【解析】由题意知X。=。」，Xn=10，令Io=O.1x1.6",得16=100,取以10为底的对数得“lgl∙6=2,

2

所以"=τ√^∑≈ιo.

Ig1.6

故选：B.

2.（2022•全国•模拟预测（理））血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血

红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般

不低于95%,在95%以下为供氧不足.当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度

降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：

S（t）=S°eK'描述血氧饱和度5Q）（单位：%）随给氧时间f（单位：时）的变化规律，其中SO为初始血氧饱

和度，K为参数.已知品=57,给氧1小时后，血氧饱和度为76.若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧

时间至少还需要（）（结果精确到0.1,ln3≈l.l,ln4≈1.4,In5≈1.6）

A.0.4小时B.0.5小时C.0.6小时D.0.7小时

【答案】D

【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要”1小时，

由题意可得57e'=76,57e~=95,两边同时取自然对数并整理，

764955

得K=In—=In-=In4-In3,Kt-In—=In-=In5-In3,

573573

则t=等二曾≈ττ~τι≈i∙7-则给氧时间至少还需要o∙7小时

In4-ln31.4-1.1

故选：D

3.（2022.全国.模拟预测（理））已知函数/（x）=C+CIX+上/+/八+lcy++∙⅛x"Ck,

35Kn

〃为正奇数），/'（切是"H的导函数，则r（ι）+∕（o）=（）

A.2"B.2n'

C.2,,+lD.2π-'+l

【答案】D

n

【解析】因为〃X)=C!+c5+∖Cx、卜胃++lcy++lc>,

35Kn

所以"0)=C=I,

所以/'(X)=C,+Ck+c：f++cy-'++cχτ,

则r⑴=c；+c：+c：++c++C-,

其中C,+C+C++c：++c>2n-',

所以/'⑴=2"T,所以/'⑴+/(0)=2"T+l;故选：D

4.(2022•江苏苏州•模拟预测)若X,y∈(O,+∞),x+lnx=e'+siny,则()

A.ln(x-y)<OB.ln(y-x)>OC.χ<e`D.y<lnx

【答案】C

【解析】设=X-SinX,x>0,贝Ur(X)=I-CoSX≥0(不恒为零)，

故“X)在(0,+8)上为增函数，故F(X)>/(0)=0,

所以x>sinx,故y>siny在(0,+OO)上恒成立,

所以X+InX<ev+y=ev÷Inev,

但g(x)=x+lnx为(0,+8)上为增函数，故χ<e，即lnx<y,

所以C成立，D错误.

取X=e,考虑l+e=e∙v+siny的解，

若y≥e+l,则e'≥e印>5>e+2≥l+e-siny,矛盾,

故y<e+l即y-x<l,止匕时ln(y-x)<O,故B错误.

取y=l,考虑χ+lnx=e+sinl,

若x≤2,则x+lnx≤2+ln2<3<e+J<e+sinl,矛盾，

2

故x>2,此时x-y>l,此时In(X-y)>0,故A错误，故选：C.

二、多选题

5.(2022.全国•模拟预测)已知函数2(x)=αlnx+x,g(x)=sinx,若MX)=F(X)-g(x),则下列说法正

确的是()

A.当α=-l时，/(x)有2个零点

B.当α=0时，/(x)恒在g(x)的上方

C.若力(x)在(0,+8)上单调递增,则0≥0

D.若〃(x)在(0,2%)有2个极值点，则-;

【答案】BC

【解析】对于选项A,当α=-l时=/(x)=-lnx+x,则7(X)=-J+1,当Xe(0,1)时，∕,(x)<0,当Xe(Ly)

时，/'(x)>0,所以“力在((U)上单调递减，在(l,+∞)上单调递增，所以〃力的最小值为/⑴=1,即

没有零点，所以A选项错误；

对于选项B,当α=0时，MX)=/(x)-g(X)=X-SinX,则〃'(x)=I-COSX≥0,所以〃(x)在(0,+巧上单调

递增，且MX)>0,即F(X)>g(x),所以B选项正确;

对于选项C,易知〃<》)=乌+1-COSX(X>0),当“≥0时，因为x>0,1-COSX≥0,则∕z'(x)Zθ,所以MX)

在(0,+⑹上单调递增，符合要求；当α<0时，则当Xe(O,-3时，→-2,此时

∕ι,(x)<-2+l-cosx=-(l+∞sx)<0,所以MX)在上单调递减，不符合要求，所以C选项正确；

对于选项D,当OWaWq时，∕f(x)=2+I-CoSX≥0在(0,2兀)上恒成立，所以函数〃(为在(0,2π)单调递增，

所以函数/7。)在(0,2π)不存在极值点，

当-g≤αvθ时，/(x)=g+l-cosx≥0在∣π,2π)上恒成立，所以函数〃(x)在［π,2π)单调递增，所以函数人。)

在［π,2π)不存在极值点，x∈(0,π］时〃(X)=E+1-CoSX单调递增，即函数〃⑴在(0,可至多存在一个极值点,

所以D选项错误.故选：BC.

6.(2022.全国.模拟预测)已知"χ)=3XlnX-(21。则()

A./(x)的定义域是提+8)

B,若直线y=加和/(x)的图像有交点，则“ie(-oo,-∣ln2

,.72√3,

Cr.In-<-----1

63

D-m∣>∙∣(20一1)

【答案】AC

x>01/、1

【解析】A：G=>x≥%,所以/(%)的定义域为[;,+00),故A正确;

2.x-1≥Uλ2

B；∕,(x)=3^1nx+l-√2x-lj,设g(x)=lnx+l-j2x-l,

则"

布g'(x)≤0在百+oo)上恒成立，故g(x)在g,+oo)上单调递减,

Eg(I)=O,所以当xe[g,l)时尸(x)>0,当XG(I,-)时尸(x)<O,

则/S)在耳，1)上单调递增，在(l,+∞)上单调递减,

所以皿=/(i)=τ,若直线y=%与/a)的图像有交点，则∕M≤τ,故B错误;

C：由B中的分析，g()<g(l),代入得1∏,<竽—1,故C正确;

D：由B中的分析，/(I卜”1),代入得∣ln5<2夜-1,故D错误.

故选：AC

三、填空题

7.(2022.山东•烟台二中模拟预测)请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且

最大值为2.其解析式可以为/(X)=

【答案】-炉+2或(--+2,TM+2等)(答案不唯-)

【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2,所以F(X)=-—+2满足题中的条件，再如

/(x)≈-√+2,再如/(x)=小+2等等(答案不唯一).

故答案为：-Y+2或(_/+2,-W+2等)(答案不唯一).

8.(2022•河北邯郸•二模)已知点P为曲线y=号上的动点，。为坐标原点.当IoH最小时，直线OP恰

好与曲线y=”lnx相切，则实数α=一.

【答案】-e

【解析】设P(XSlnX),所以IoPI=JX2+§)2.Qn幻2,

2

设g(x)=χ2+(%∙(lnx)2,g，(x)=2x+(%2(ln.L士Z匕

eXX

1222

当X>—时，InX>—1=>finX>—,2x~>—,所以g'(x)>O,g(x)单.调递增，

ee'ee

1222

」[0<X<—InX<—1—≥——InX<——,∑rx~<-y,

ete^ee^

所以g'(χ)<o,g(χ)单调递减，

当X=I时，函数g(χ)有最小值，即IOH有最小值，所以P(L-3,

eee

此时直线OP的方程为y=T,设直线y=-X与曲线y=αl∏x相切于点(x0,αlm⅛),

由y=Hnxny'=q=>q=-1=>Xo=-α,显然(x0,Hnxo)在直线,=一刀上，

xxO

则4ht⅛=-Xo,因此有qln(-α)=α=>α=-e,故答案为：-e

9.已知函数f(x)U+αlMαeR)若函数“χ)在定义域内不是单调函数，则实数Q的取值范围是.

【答案】((L：)

【解析】由于函数不单调，则函数在定义域内有极值点，<W-p^'+7°,°令函数

5(x)=⅛.X>O1g(x)=T,所以函数g(χ)在区间(O,D上单调递增，在区间(1，+8)上单

调递减，Λ(0)=θ∙乂*>O时，O(X)>0,9⑴=：,所以(0∙7).

10.(2022•上海•模拟预测)设函数"X)满足/(X)=∕(占'定义域为D=[0,y>),值域为A,若集合

｛γly=∕(χ),χ∈[θ,G｝可取得A中所有值，则参数”的取值范围为.

【答案】[存ɪ,+8),

【解析】令X=—、得，X=近二ɪ或X=此二1(舍去)；

x+l22

r11√5-lE

-

当"与时，771"√5-ι+1"^l.故对任意χ..与，

都存在％w[o,>—1=%，故/(χ)=∕ɑ,),

2x+1

I-r-_石-1

>

故A=3y=∕(x),xe[O,m为｝，而当O,,x<g^时，^x+∖√5-l+1^2,

故当A=｛y∣y=∕(x),χe[0,α]｝时，参数”的最小值为止二1,

2

故参数。的取值范围为[铝，+8),故答案为：[铝，+∞).

四、解答题

11.(2022•全国•模拟预测(理))对于区间Mn］,∖m,ri),(nt,ri∖,(m,n),其中“>∕n,统一将加称

为这四类区间的长度.已知函数f(x)=e'+χ2-or(e为自然对数的底数).

⑴当α=e+2时，求/(x)在区间［∣,2］上的值域的区间长度；

(2)若"x)在区间口，2］上单调递增，那么xe［0,3］时，值域的区间的长度是否存在最小值？若存在，求

出最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)(e-lp;(2)存在，最小值为e3-3e+4

【解析】⑴当α=e+2时，函数"x)=e'+x2-(e+2)x,x∈［l,2］,

.∙.∕,(x)=eτ+2x-(e+2),

∙.∙∕'(χ)是增函数，

.∙.raw。)=。，

.∙.∕(x)=e2+f-(e+2)x在区间［1,2］是增函数，

••・函数”x)在区间［1,2］上.的值域为［f⑴J⑵］=［-l,e2-2e］,

，值域区间的长度为e2-2e+l=(e-l)2.

⑵；函数/(x)在区间［1,2］上单调递增，.∙.在区间［1,2］卜J'(x)≥0,即e'+2x-αN0,∙"We+2.

①若α≤l,则f'(0)=l-a≥0,且尸(力递增.

二在区间［0,3］kΓ(x)≥O,从而f(x)在［0,3］上递增，.∙.函数的值域为［"O)J(3)］,

Λn-m=∕(3)-∕(0)=(e3+9-3a)-l=e3+8-30,

•α≤l,—m=e3+8-3cι≥e,+5•

②若α=e+2,则/'(l)=e+2-a=0,且/'(可递增.

ʌ在区间［0,l］±∕((x)≤0;在区间［l,3］±∕,(x)≥0,

∙∙∙/(X)在区间［0,1］上递减,在区间［1,3］上递增，

/n=∕(l)=e+l-α=-l,π=max{∕(0),∕(3)}=^l,e1-3-3e∣=e,-3-3e,

∙>∙n-m=e^-3e+4.

③若IVaVe+2,则八O)=l-ovO,/(l)=e+2-a>0,且若(%)递增.

・・・在区间(0,1)内存在x=f,使得r(f)=e∖2"a=0,

当x∈［0j］上，Γ(x)≤0,在区间上,3］上,∕r(x)≥0,

・・・“X)在区间［0可上递减，在区间匕3］上递增

...m=∕(r)=ez+t2-at,n=max{∕(θ),∕(3)}=^l,e3+9-3a},

Vl<^<e÷2,ΛW=max{/(O)√(3)}={1,e3+9-3tz}=e3+9-,

32t23

/.n-m-/(3)-∕(r)=(e+9-3々)-("+Z-at^=-e-r+αr-3«÷e+9,

;隐零点f满足：e'+2f-Q=0,，消〃可得：n—m=—^-t2+at-3a+e3÷9=(Z—4)ef+^2—6/+e3÷9,

・•・不妨记M。=(，-4)"+产―6l+e3+9,r∈(0,l),・・・〃⑺=。-3户+256=(，-3乂或+2)<0,

・・.Λ(r)=(r-4)ez÷r2-6r+e3÷9,r∈(θ,l)递减，ΛΛ(z)∈(∕ι(l),A(0))=(e3-3e+4,e3÷5),

ΛA(r)>e3-3e+4,.*.n-m>^-3e+4.

综上，当α≤l时，H—/W≥e3+5：

当α=e+2时，77-/?/=e3—3e÷4：

当IVaVe+2时，e3-3e÷4，

,∙,e3+5>e3-3e+4，

，当α=e+2时,〃一机取得最小值e3-3e+4,

・・・函数”力在x∈［0,3］的值域区间的长度的最小值为e3-3e+4∙

12.(2022∙上海•华师大二附中模拟预测)已知定义域为。的函数y=∕(x).当aeθ时，若g(x)="x)7(G

X-Cl

CxeD,x≠a)是增函数，则称f(x)是一个"7(a)函数”.

⑴判断函数y=2f+χ+2(xeR)是否为T⑴函数，并说明理由；

(2)若定义域为［0,+8)的7-(0)函数y=s(x)满足S(O)=0,解关于Λ的不等式s(22)<加⑵；

(3)设P是满足下列条件的定义域为R的函数y=W(x)组成的集合：①对任意"eR,W(X)都是7(")函数；

②W(O)=W⑵=2,W(T)=W⑶=3.若W(X)≥m对一切W(X)eP和所有XeR成立，求实数加的最大值.

【答案】(1)是，理由见解析(2)(0』)(3)%=1

【解析】(1)是，理由：由题，g(χ)=Qx~x+2匕(1"+2)=2X+3(eR,XWI)为增函数，

x

故y=2rz+χ+2(X∈R)是T(I)函数.

⑵因为y=s(χ)是7(0)函数，且S(O)=0,所以g(x)=邛是[0,+向上的增函数，

因为s(24)有意义，所以2≥0,显然，4=0时不等式不成立，下设4>0,

此时,v(2Λ)<Λ√2)等价于丛也<Ma,

2Λ2

由g(x)的单调性得，2Λ<2,即所求不等式的解集为(0,1).

(3)由题意，W(X)是7(0)函数，故y=竺处二是增函数，从而当χ<0时，W(X)-2<W⑵-a=。即W(X)>2；

而W(X)是7(2)函数，故)，=也华是增函数，从而当x>2时，也生等¥=(),即W(X)>2,

X—2x—2.0—2

当0<x<2时，同理可得，W(X)-2>W/)"=_]且W(X)-2<W(3)-2=1,故W(X)>2r且W(X)”，故

X-1x-23-2

W(x)>max{x,2-x}=l+∣x-l∣≥1.

因此，当山£1时，W(X)≥m对一切XeR成立.

下证，任意机>1均不满足要求，由条件②知，机≤2.

另一方面，对任意Me(l,2],定义函数=善卜τ+等，容易验证条件②成立.

对条件①，任取〃wR,有％，(x)-%(")=S(χ+吁S+7-MiXTT

X-U44X-U

注意到y=*+"-