高考数学人教B版一轮复习训练8-5空间直角坐标系空间向量及其运算

核心考点·精准研析考点一空间向量的线性运算

1.在空间四边形ABCD中,若=(3,5,2),=(7,1,4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为 ()A.(2,3,3) B.(2,3,3)C.(5,2,1) D.(5,2,1)2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________.

3.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点.用QUOTE,QUOTE,QUOTE表示QUOTE,则QUOTE=________.

4.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且QUOTE=2QUOTE,若QUOTE=xQUOTE+yQUOTE+zQUOTE,则x,y,z的值分别为________. 导学号

【解析】1.选B.因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,设O为坐标原点,所以=,=QUOTE(+),=QUOTE(+).所以=QUOTE(+)QUOTE(+)=QUOTE(+)=QUOTE[(3,5,2)+(7,1,4)]=QUOTE(4,6,6)=(2,3,3).2.设M(0,y,0),则QUOTE=(1,y,2),QUOTE=(1,3y,1),由题意知|QUOTE|=|QUOTE|,所以12+y2+22=12+(3y)2+12,解得y=1,故M(0,1,0).答案:(0,1,0)3.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE),所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE)+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE.答案:QUOTE+QUOTE+QUOTE4.因为QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(QUOTEQUOTE)=QUOTE+QUOTEQUOTE=QUOTE+QUOTE×QUOTE(QUOTE+QUOTE)QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以x,y,z的值分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE.答案:QUOTE,QUOTE,QUOTE(1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形,正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则及四边形法则,就近表示所需向量.考点二共线向量定理、共面向量定理及其应用

【典例】1.已知a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.【解题导思】序号联想解题1因为a,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程组可求参数值.2要证B,G,N三点共线,只要证QUOTE=λQUOTE即可,想到选择恰当的基向量分别表示QUOTE和QUOTE.【解析】1.选D.因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序实数对(x,y),使得xa+yb=c,所以QUOTE,解方程组得λ=QUOTE.2.设QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,则QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=a+QUOTE(a+b+c)=QUOTEa+QUOTEb+QUOTEc,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=a+QUOTEb+QUOTEc=QUOTE.所以QUOTE∥QUOTE,即B,G,N三点共线.证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面QUOTE=λQUOTE且同过点PQUOTE=xQUOTE+yQUOTE对空间任一点O,QUOTE=QUOTE+tQUOTE对空间任一点O,QUOTE=QUOTE+xQUOTE+yQUOTE1.e1,e2是平面内不共线两向量,已知QUOTE=e1ke2,QUOTE=2e1+e2,QUOTE=3e1e2,若A,B,D三点共线,则k的值是 ()A.2 B.3 C.2 D.3【解析】选A.QUOTE=QUOTEQUOTE=e12e2,又A,B,D三点共线,设QUOTE=λQUOTE,所以QUOTE,所以k=2.2.如图,已知平行六面体ABCDA′B′C′D′,E,F,G,H分别是棱A′D′,D′C′,C′C和AB的中点,求证E,F,G,H四点共面.【证明】取QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,则QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=ba+2a+QUOTE(QUOTE+QUOTE+QUOTE)=b+a+QUOTE(baca)=QUOTEbQUOTEc,所以QUOTE与b,c共面.即E,F,G,H四点共面.考点三空间向量的数量积及其应用

命题精解读考什么:(1)考查空间向量的数量积运算、利用数量积求线段长度、夹角大小以及证明垂直问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养.怎么考:常见命题方向:证明线线垂直,求空间角.新趋势:以柱、锥、台体为载体,利用空间向量的数量积运算解决求值问题.学霸好方法1.(1)利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.①a≠0,b≠0,a⊥b⇔a·b=0;②|a|=QUOTE;③cos<a,b>=2.交汇问题:与立体几何知识联系,考查证明垂直,求空间角等问题.空间向量的数量积运算【典例】1.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则·=()A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2)且ka+b与2ab互相垂直,则k=________. 导学号【解析】1.选D.·=QUOTE·=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.由题意得,ka+b=(k1,k,2),2ab=(3,2,2).所以(ka+b)·(2ab)=3(k1)+2k2×2=5k7=0,解得k=QUOTE.答案:QUOTE空间向量数量积计算有两种方法:基向量法与坐标法,在具体题目中我们如何选择使用哪种方法?提示:只要能建系写坐标的题目,尽量使用坐标法.数量积的应用【典例】已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以QUOTE,QUOTE为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=QUOTE,且a分别与QUOTE,QUOTE垂直,求向量a的坐标. 导学号【解析】(1)由题意可得:QUOTE=(2,1,3),QUOTE=(1,3,2),所以cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sin<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,所以以QUOTE,QUOTE为边的平行四边形的面积为S=2×QUOTE|QUOTE|·|QUOTE|·sin<QUOTE,QUOTE>=14×QUOTE=7QUOTE.(2)设a=(x,y,z),由题意得QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1,1,1).空间向量数量积的基本应用有哪些?提示:(1)求角.(2)求线段长.(3)证明垂直.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则QUOTE·QUOTE等于 ()A.16 B.8 C.8 D.16【解析】选D.QUOTE·QUOTE=(QUOTEQUOTE)·(QUOTE)=QUOTE·QUOTE+QUOTE=16.2.如图所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为(1)求AC1的长.(2)求证:AC1⊥BD.(3)求BD1与AC夹角的余弦值.【解析】(1)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=QUOTE.||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×QUOTE=6,所以||=QUOTE,即AC1的长为QUOTE.(2)因为=a+b+c,=ba,所以·=(a+b+c)·(ba)=a·b+b2+b·ca2a·ba·c=b·ca·c=|b|·|c|cos60°|a||c|cos60°=0.所以⊥,所以AC1⊥BD.(3)=b+ca,=a+b,所以||=QUOTE,||=QUOTE,·=(b+ca)·(a+b)=b2a2+a·c+b·c=1.所以cos<,>==QUOTE.所以AC与BD1夹角的余弦值为QUOTE.1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,QUOTE=QUOTE,|QUOTE|=1,则QUOTE·QUOTE=________.

【解析】由题干图可得:QUOTE·QUOTE=(QUOTE+QUOTE)·QUOTE=QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=0+QUOTE·QUOTE=QUOTE(QUOTE