高三二轮复习专题02不等式2

2024届高三二轮复习第2讲：不等式解析版2023年考情考题示例考点关联考点2023年新I卷，第10题不等式的性质对数的运算2023年乙卷文科，第15题线性规划无2023年乙卷理科，第15题线性规划无2023年甲卷理科，第14题线性规划无2023年甲卷理科，第14题线性规划无题型一：不等式的性质【典例例题】例1.（2023春·黑龙江省绥化市海伦市第一中学模拟）（多选）已知实数a，b，c满足，且，则下列不等关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知条件得a，c的符号，利用不等式的基本性质，判断选项的正误.【详解】因为，且，所以，，对于A，因为，，所以，A正确；对于B，因为，，所以且b符号未知，不能得到，B不正确；对于C，因为，，则，因为b可能为零，不能得到，C不正确；对于D，因为，所以，，D正确.故选：AD.【变式训练】1.（2023秋·福建省百校联考模拟）（多选）若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式性质可判断AB，作差比较可判断C，利用放缩法可判断D.【详解】，由不等式的性质可得，，故A错误；，，，，即，故B正确；，由，得，，所以，即，C正确；因为，，，所以，D正确．故选：BCD2.（2023秋·广东七校联考模拟）（多选）已知，下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则ac2>bc2C.若，则 D.若，则【答案】CD【解析】【分析】由不等式的性质可判断ABC，由作差法可判断D.【详解】对于A，若，则，A错误；对于B，若,且时，则，B错误；对于C，若，则，故，则必有，C正确；对于D，若，则，所以，D正确故选：CD3.（2023秋·河北省部分名校模拟）（多选）已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知，可根据题意，选项A可根据条件直接判断；选项B，先判断，，在利用基本不等式的知识即可判断；选项C，先根据条件判断，再判断；选项D，由已知条件可直接判断.【详解】对A，由，得，A正确；对B，由，得，所以，，根据基本不等式知，B正确：对C，因为，所以，因此，所以该选项显然错误；对D，由，所以，所以D正确.故选：ABD.4.（2023春·安徽省滁州市定远县育才学校高三模拟）（多选）下列命题正确的是（）A.若，则B.若，，则C.D.若，则有最小值【答案】BC【解析】【分析】利用不等式性质、重要不等式及基本不等式判定选项即可.【详解】取，满足，不满足，A错误；若，，故，，故，则，B正确；，即成立，C正确；当即时等号成立，等号成立条件不满足，D错误；故选：BC．题型二：基本不等式【典例例题】例2.（2023秋·福建省厦门双十中学模拟）在空间直角坐标系O－xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面上的任意一点，且，，，则当取得最小值时，的最大值为______．【答案】【分析】由题设有，利用基本不等式求得并求对应x、y的数量关系，进而得到，令构造，应用导数求最大值即可.【详解】由题设，，故，当且仅当时等号成立，所以，此时，令，则，故，所以，当时，当时，即在上递增，在上递减.故，且时等号成立，综上，的最大值为.故答案为：.【变式训练】1.（2023春·广东省佛山市第一中学高三一模）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】不等式恒成立，即为不大于xy的最小值，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．【详解】∵正实数x，y满足，所以，即，当且仅当时等号成立，由恒成立，可得，解得故答案为：2.（2023秋·江苏省连云港市灌南高级中学模拟）（多选）下列命题中错误的是（）A.当且时， B..当时，C.当时，的最小值为 D.当时，有最大值【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式，注意“一正”“二定”“三相等”即可求解；【详解】对于A：当时，，此时，故A错误；对于B：当时，，当时取得等号，故B正确；对于C：当时，令，即有的导数为：，因此，在单调递减，可得最小值为3，故C错误；对于D：当时，的导数为，因此，在单调递减，可得最大值为，故D错误；故选：ACD.3.（2023春·黑龙江省绥化市海伦市第一中学模拟）若实数x，y满足，则的值可以是（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】令，由条件用表示，结合基本不等式求的取值范围即可.【详解】因为，又，所以，设，则，即.因为，即，当且仅当，即时等号成立，解得，，所以的取值范围是故选：C.4.（2023春·广东省深圳市高三二模）（多选）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，B错误；C选项，，故恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AC5.（2023秋·河北省邢台市四校质检联盟模拟）已知，，且，则最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得，当且仅当，时，等号成立．故答案为：186.（2023秋·福建省福州第一中学模拟）已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为____________．【答案】25【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再由基本不等式求最值．【详解】解：随机变量服从正态分布，，由，得，又，，且，，则．当且仅当，即，时等号成立．的最小值为25．故答案为：25．题型三：一元二次不等式解法【典例例题】例1.（2023秋·江苏省兴化市楚水实验学校、兴化一中等四校模拟）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为故选：D【变式训练】1.（2023春·湖北省恩施州高中教育联盟模拟）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】由题意，得，且，是方程的两根，由韦达定理，解得；，由基本不等式得，从而可得，利用对勾函数性质可求解.【详解】因为的解集为，所以，且，是方程的两根，，得；，即，当时，，当且仅当，即时取等号，令，由对勾函数的性质可知函数在上单调递增，所以，的最小值为3.故选：D．2.（2023春·山东省青岛莱西市模拟）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（）A. B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式能成立以及存在量词命题的概念求解.【详解】因为命题“，”为真命题，若，即，则，；若，即，要使得命题为真命题，则，即，解得或，又因为，所以此时；若，即，则满足命题“，”为真命题；综上，，故选:D.3.（2023春·黑龙江省鸡西市鸡东县第二中学模拟）（多选）下列命题中是假命题的有（）A.函数的最小值为2B.若，则C.不等式对任意恒成立，则实数的范围是D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】A.取判断；B.解不等式判断；C由时判断；D取时判断.【详解】A.当时,,故错误；B.因为，解得,故正确；C当时，不等式显然恒成立，故错误；D当时，，故错误．故选：ACD．4.（2023春·河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学模拟）下列说法中，正确的是（）A.不等式的解集是 B.“”是“”成立的充分条件C.函数的最小值为2 D.“”是“”成立的必要条件【答案】BD【解析】【分析】对于A：取即可判断；对于B：利用定义法进行判断；对于C：求出的最小值即可判断；对于D：利用定义法进行判断.【详解】对于A：不等式解集是，没意义，不在解集内.故A错误；对于B：因为“”由同向不等式相乘可以得到“”，但是，当“”时，可以有，不符合“”，所以“”是“”成立的充分条件.故B正确；对于C：对于函数，令，则在上单增，所以，即的最小值为.故C错误；对于D：因为“”可以推出“”，但是“”时有，所以“”是“”成立的必要条件.故D正确.故选:BD5.（2023秋·江苏省兴化市楚水实验学校、兴化一中等四校模拟）已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数，则在上恒成立，利用二次函数的性质有即可求结果.【详解】由题设，且，可得，所以在上恒成立，而在上递增，故只需即可，所以.故答案为：1.（新课标全国Ⅰ卷）1．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【详解】由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即，所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD.2.（全国乙卷数学（文）(理)）2．若x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】8【详解】作出可行域如下图所示：，移项得，联立有，解得，设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，代入得，故答案为：8.3.（全国甲卷数学（文）（理））5．设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为____________．【答案】15【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：151.（2023秋·山东省实验中学模拟）（多选）若，则（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】首先由条件得，再根据不等式的性质，以及函数的单调性，即可判断选项.【详解】由，得，则，所以，故A正确；，，则，故B正确；由，则，故C错误；由，则，故D错误.故选：AB2.（2023秋·山东省泰安市新泰市新泰中学模拟）（多选）如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.【详解】取，则，，故AC不正确；因为，所以，故B正确；因为，所以，故D正确.故选：BD3．（2023秋·山东省泰安市新泰市新泰中学模拟）（多选）下列命题为真命题的是（）A．， B．“”是“”的充分条件C．若，则 D．若，，则【答案】CD4.（2023秋·江西省南昌市南昌县莲塘第一中学模拟）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（）．A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，又，，所以，又三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.5.（2023秋·福建省福州第一中学模拟）（多选）已知均为正实数，且，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式求解判断.【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，故正确；由得，同理，当且仅当，即时等号成立，故B正确；满足题意，但，故C错误；由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以，故D正确.故选：ABD.6.（2023春·辽宁省丹东市等2地大石桥市模拟）（多选）已知直线与圆相切，则下列说法正确是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，求出a与b的关系式，再利用均值不等式逐项判断作答.【详解】因为直线与圆相切，则，即，，对于A，因为，解得，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，因为，当且仅当时取等号，则，因此，当且仅当时取等号，D不正确.故选：ABC7.（2023秋·福建省百校联考模拟）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.16 B.12 C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】设直线与曲线的切点为，求导，根据导数的几何意义求出切点处的切线方程，再结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】解：设直线与曲线的切点为，因为，所以，切线方程为，所以，，所以，又，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值是4.故选：D.8.（2023秋·江苏省兴化市楚水实验学校、兴化一中等四校模拟）（多选）已知一次函数满足，且点在的图象上，其中，，则下列各式正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据求出b判断A,根据点在函数图象上判断B，由均值不等式判断CD.【详解】，，即，故A不正确；由在函数图象上可得，即，故B正确；由均值不等式可得，即，故C正确；因为，所以D正确.故选：BCD9.（2023春·天津市宁河区芦台第一中学模拟）（多选）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（）A.的最大值是1 B.的最小值是4C.的最大值是 D.的最小值是1【答案】AC【解析】【分析】对于A、B、D：利用基本不等式求出最值，即可判断；对于C：利用二次函数求最值.【详解】正数x，y满足.对于A：，所以.（当且仅当时“=”成立）.所以的最大值是1.故A正确；对于B：因为，所以，所以，所以（当且仅当时“=”成立）.故B错误；对于C：因为正数x，y满足，所以，其中，所以，所以当时，的最大值是.故C正确；对于D：因为正数x，y满足，所以，所以（当且仅当，即时“=”成立）.故D错误.故选：AC10.（2023秋·山东省泰安新泰市第一中学（东校）模拟）设实数、满足，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，最小值为.故选：B.11.（2023秋·新疆乌鲁木齐市第四十中学模拟）（多选）已知，，