中考数学二轮复习常考题型练习-圆的综合问题

圆的综合问题

圆的有关内容在历年的中考题中均有考查,考查内容涉及利用圆周角定理及

推论,圆内接四边形、特殊三角形、三角函数求角度、线段长、弧长、阴影面积

等,综合性较强.

一、判定切线的常见方法

1.(2021•黄冈)如图,在Rt△八BC中,N八CB=90°,O。与8C/C分别相切于点E,F,8。

平分N48C,连接OA

(1)求证:A8是ΘO的切线；

⑵若BE=AC=Z1QO的半径是1,求图中阴影部分的面积.

2.(2022•贺州)如图,AABC内接于。。/8是直径,延长到点E使得BE=BC=G1

连接Ec且NECB=NCW,点D是AB上的点,连接AO,8,且CD交AB于点F.

(1)求证:EC是。。的切线；

⑵若BC平分NEeD,求AD的长.

二'圆中求线段长度

3.（2022•湖州）如图,已知在Rt∆Λ6Cφ,ZC=90°Q是AB边上一点,以8D为直径

的半圆O与边八C相切,切点为E,过点。作OFj_8C,垂足为F.

⑴求证：。F=EC

⑵若NA=30°,8。=2,求AD的长.

4.（2022•河南）为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校

运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行

了研究,如图,滚铁环时,铁环。。与水平地面相切于点&推杆48与铅垂线ZID的夹

角为NBAD,点、OAB,CQ在同一平面内.当推杆AB与铁环。。相切于点B时,手上

的力量通过切点B传递到铁环上,会有较好的启动效果.

CD

⑴求证：N80C+ZBAD=90

⑵实践中发现,切点B只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动.图中

点B是该区域内最低位置,此时点A距地面的距离AD最小,测得cosN8AD总已知

铁环00的半径为25Cm,推杆A8的长为75Cm,求此时AD的长.

5.（2021•陕西）如图58是00的直径,点E、F在。。上,且∕=2施，连接OE、AF1

过点B作。。的切线,分别与。E、AF的延长线交于点C、D.

⑴求证:NCoB=N八；

⑵若A8=6,CB=4,求线段FD的长.

三'圆与三角形函数相结合

6.（2022•南充）如图/8为0。的直径,点C是。。上一点,点。是。。外一

点,N8CD=N8AC,连接OD交BC于点E.

⑴求证：CD是。。的切线.

⑵若CE=OASinN8AC=，求IanZCEO的值.

7.（2022•雅安）如图,在Rt△4BC中,N4C8=90°,AO是C的角平分线,以。为

圆心QC为半径作0。与直线AO交于点E和点D.

（1）求证FB是。。的切线；

⑵连接CE,求证:AACES∕∖ADC;

⑶若笫O的半径为6,求tanNOAC

四、强化训练

8.（2021•广东改编）如图,在四边形ABCD中∕B"CO,A8≠CD,NABC=90°,点E、F

分别在线段BC、AD上,且EF//CD1AB=AF1CD=DF.

⑴求证：CF，FB；

⑵求证:以AD为直径的圆与BC相切.

9.（2020•雅安）如图,四边形ABCD内接于QaNABC=60°,对角线DB平分NADC.

⑴求证:△八BC是等边三角形；

⑵（选做）过点B作BE//3沃DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,^∆BDE的面积.

圆的综合问题参考答案

一'判定切线的常见方法

1.解:⑴证明涟接OE,过点0作OOLAB,垂足为D.

:。。与BC相切于点El.'.OE±BCl

VBO是NA8C的平分线,OD_LAB,

*

..OD=OE1

YOE是圆的一条半径，

，。。是0。的半径，

.∙.4B是。。的切线.

（2）如图,连接OF.

∙.∙BC1AC与Θ。分别相切于点E1F1

ΛOE±BC,OF1AC1

又，：ZACB=90°,

，四边形OECF是正方形,

.∙.OE=OF=EC=FC=I1

：.BC=BE+EC=4l：.AB=5.

易得Rt∆Λ0D^Rt∆Λ0F,

：.ZOAD=ZOAF=-ZBAC

21

：.ZOBD=Z0AD=-ZABC+-ZBAC=^5

22

：.NAOB=I80°-45°=135°,

.ccc53π53π

・・ɔ阴影='z∖408∙∖扇形Λ40Λ∕=--=T--.

ZOLo

故图中阴影部分的面积是炉ɪ.

28

2.解:⑴证明:连接OC

"：OA=OC1：.ZCAB=ZACO.

".'ZECB=ZCABI

。NECB=NACO,.∙.AB是。。的直径.

∙.∙ZACB=90°,：.ZACO+ZOCB=QO°,

：.NECB+NOCB=90°,即OClEC.

又∙.∙0C是0。的半径，

,EC是。。的切线.

(2)VBC平分/ECD1：.ZBCD=ZECB.

"：ZBCD=ZBAD,：.ZECB=ZBAD.

又∙/ZECB=ZCAB1：.ZBAD=ZCAB.

又∙.N8是。。的直径,.∙.48LDC.

在Rt∆FCfΦ,VBE=BC1:.ZE=ZECB1

：.NE=NECB=NBCF=30°.

在Rt∆6CF中,8C=6,NBCF=30:

：.CF=BC∙cosZ6CF=6×y=3√3.

∖,ABLCD1AB是0。的直径，

/.DF=CF=35

在RtZ∖4DF中,NDAF=NBCF=30°,

DF3√3

：=6λ∕3.

.AD=SinzDTlF--

二'圆中求线段长度

3⑴证明:如图,连接OE1

C

∙.NC切半圆。于点E1：.OE.LAC.

VOF±BClZC=90°,

，NoEC=NOFC=NC=90°,

/.四边形OFCE是矩形,.,.OF=EC1

⑵解:BD=2,：.OE=-BD=-X2=1,

o

•/ZΛ=30,OE±ACl

.".AO=2OE=2×l=2l

：.AD=AO-DO=2-1=1.

4.(1)证明:∙.∙。。与水平地面相切于点C1

：.OClCDl

,

'.AD±CDl：.AD//OC.

•.MB与。。相切于点B,.,.ABIOB1

4084=90°.

过点B作BE〃/W,则BE//OC1

：.ZBAD=ZEBA,ZCOB=ZOBE1

：.ZCOB+ZBAD=ZOBE+ZABE=ZOBA=90

ZBOC+ZBAD=SO°.

⑵解:如图,过点B作CD的平行线，

交AD于点G,交OC于点F1

.'.FG±AD,FG±OCl

则四边形CFGD是矩形，

ZBOC+ZBAD=SOσ,ZABO=90

：.NOBF=90°-ZFOB=ZA1

在M∕∖ABG中，

cosZBAD=-AB=75cm

5l'z'

O

.,.AG=AB×cosZBAD=75×-=45(cm),

在MAOBF中，

3

cosZθ8F=cosA=-OB=25cm,

5I''

βF=0β×∣=25×∣=15(cm),

/.OF=>∕OB2-BF2=y∕252-152=20(cm),

，ΓC=OC-OF=25-20=5(cm),

DG=FC=Scm,

ΛΛD=ΛG+GD=45+5=50(cm).

5.⑴证明:如图,取小的中点M,连接OMQF.

BF=2BE,：.BM=MF=BE,

.∖ZCOB=^ZBOFl

∙/ZA=^ZBOFι:.ZCOB=ZA-,

⑵解:连接BF.

,JCD为。。的切线,.∙.A8LC0,

ZOBC=ZABD=90°,

∙.∙ZCOB=NA,，AOBCSjBD,

.∙.丝="即北二解得80=8,

ABBD,6BD1'

在Rt∆Λ6D中，

AD=y∕AB2+BD2=y∕62+82=10,

∖,AB是。。的直径,，ZAFB=90°,

".'ZBDF=ZADBI

RtZWBFSRQOAB,

・DFDB日HOF8A7,4HCL32

・・一=—,即一二一,解得DF=-

DBDA1810'5

三'圆与三角形函数相结合

6.⑴证明:连接OC1

；AB为Θ。的直径,ZACB=BOo,

：.ZACO+ZOCB=SO°.

OA=OC1：.ZA=ZACO.

"：ZBCD=ZBAC1：.ZBCD=ZACO1

：.ZBCD+ZOCB=90o,ΛOC±CD,

...CD是。。的切线.

(2)解:过点。作OFtBC于点F1

4

"CE=OAlSlnZBAC=-,

.设8C=4x,则AB=5x,OA=CE=2.5xl

.BE=BC-CE=ISx,

,ZC=90:

.AC=Λ∕AB2-BC2=3x,

'OA=OBOF//AC：.—=—=1,

11CFOA

.CF=BF=2x,EF=CE-CF=OSx,

・OF为∕∖A8C的中位线，

.OF=-AC=ISx

2t

.tanZCEO=-=—=3.

EF0.5%

7⑴证明:如图,过O作OHlAB于H1

,ZACB=90o,AO是aABC的角平分线,

.OC=OH1

,。为圆心,。，为半径,

.∙.4B是。。的切线.

⑵证明:如图,连接CE.

•；DE为。。的直径，

/.NoCE=90°=ZDCO+ZOCE1

,：NAC8=90°=NACE+NBCE,

：.ZDCO=ZACEI

"：OD=OC1：.ZODC=ZOCD,

：.NACE=NADC,

".'ZCAE=ZDACI：.XACESXAOC.

⑶解:∙.∙NCEs人Dc,祟W

.AE_AC_1

**AcΓAlT

设AE=X,则AC=2xlAD=^×l

而AD=AE+DE=x+12l

.∙.4x=x+12,解得x=4,

J.AE=4lAC=SlAD=16l

.OC63

..tianZOAC=——

AC84

四、强化训练

8.证明:⑴；CD=DF,

设NDCF=NDFC=a,

.".ZFDC=ISO°-2a,

oo

∖'CD∕∕ABl.'.ZBAF=180-(180-2σ)=2a,

又∙.NB=AF,

,

..ZABF=ZAFB=^-^=90°-al

2,

：.NCFB=I80o-ZCFD-ZBFA=ISOO-a-(900-o)=90°,

.∖CF±BF.

(2)作AD的中点为。,过点。作OGlCB于点G,连接CA交OG于点H.

o

VOGlBClZABC=ZBCD=90,

：.OG//CD//AB.

"：AO=DO1.,.AH=CH1CG=BG.

.∙.GH是4A8C的中位线，

.∙.GH=∕B.同理OH=TCD.

：.OG=^(AB+CD)l

'：AD=AFWF,又∖"AF=AB1DF=DC1

：.AD=AB+CD=20G,：.OG=^AD=OD1

又；OGLBC,.∙.以AD为直径的圆与BC相切.

9.⑴证明:•••四边形八88内接于圆0,

，ZABC+ZADC=180°.

'：ZABC=GO°,：.ZADC=120°.

,.∙DB平分NADa

：.ZADB=ZCDB=GO0.

'."AB=AB1BC=BC1

O

ZACB=ZADB=GOI

ZBAC=ZCDB=60°l

ZABC=ZACB=ZBACI

.∖∆ABC是等边三角形∙

⑵解:如图,过点A作AMLC。,交CD的延长线于点M,过点B作8N，八&垂足为N1

.ZAMD=90