湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.10 因式分解-分组分解法（专项练习）

专题3.10因式分解-分组分解法（专项练习）一、单选题1．(2023·全国七年级课时练习）分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（）A．（x﹣y）（x﹣y+1）B．（x﹣y）（x﹣y﹣1）C．（x+y）（x﹣y+1）D．（x+y）（x﹣y﹣1）2．(2023·上海市民办新竹园中学七年级月考）用分组分解的因式，分组正确的是（）A． B．C． D．3．(2023·安徽亳州市·八年级期末）把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）．A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)4．(2023·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期中）将多项式x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1分解因式，正确的是（）A．（x+y）2 B．（x+y﹣1）2C．（x+y+1）2 D．（x﹣y﹣1）25．(2023·清华附中上庄学校七年级期中）把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）6．(2023·湖北荆门市·中考真题）下列运算不正确的是（）A．B．C．D．7．(2023·湖南广益实验中学八年级开学考试）把xy2y1分解因式结果正确的是（）A．xy1xy1 B．xy1xy1C．xy1xy1 D．xy1xy18．(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（）A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-20219．(2023·长沙市一中湘一南湖学校七年级月考）若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（）A．8 B．4 C．－4－ D．－810．(2023·全国七年级单元测试）下列多项式不能分解因式的是（）A． B．C． D．11．(2023·全国八年级课时练习）把分解因式的结果是（）．A． B．C． D．12．(2023·重庆八中八年级课时练习）已知，，则代数式的值为（）A．4 B． C． D．13．(2023·全国七年级专题练习）已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则三角形ABC的形状是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形14．(2023·重庆八年级月考）已知实数m，n，p，q满足，，则（）A．48 B．36 C．96 D．无法计算二、填空题15．(2023·西交利物浦大学附属学校七年级月考）因式分解：mymxyx（___________）16．(2023·全国七年级单元测试）因式分解：______.17．(2023·上海市泾南中学）分解因式：_________．18．(2023·全国八年级课时练习）若的三边、、满足，则这个三角形是_______．19．(2023·全国八年级课时练习）已知，，，则的值为_____．20．(2023·上海市西南模范中学七年级期中）若x2+4x+8y+y2+20＝0，则x﹣y＝_____．21．(2023·浙江宁波市·九年级月考）分解因式：______．22．(2023·贵阳市南湖实验中学八年级期末）已知，，则代数式的值是________．23．(2023·福建泉州市·八年级期中）若，则______．24．(2023·宁津县育新中学八年级月考）已知a﹣b=3，b+c=﹣5，代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为__．25．(2023·安徽九年级专题练习）因式分解：________．26．(2023·台州市路桥区东方理想学校九年级月考）分解因式：_________．三、解答题27．(2023·全国八年级单元测试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程为：；这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.28．(2023·全国八年级单元测试）先分解因式，再求值：，其中，．29．(2023·重庆市万州第二高级中学八年级期中）分解因式：（1）；（2）．30．(2023·上海松江区·七年级期末）因式分解：．31．(2023·全国八年级）把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：（1）﹣x2y+6xy﹣9y；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（3）1﹣x2﹣y2+2xy．

参考答案1．A【解析】当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x2﹣2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x﹣y为一组．解：x2﹣2xy+y2+x﹣y=（x2﹣2xy+y2）+（x﹣y）=（x﹣y）2+（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y+1）．故选A．2．D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可.【详解】===.故选D.【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键.3．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1），=x2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A．4．B【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．【详解】解：x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1=（x2+2xy+y2）﹣（2x+2y）+1=（x+y）2﹣2（x+y）+1=（x+y﹣1）2．故选：B5．D【分析】先把x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3转化为（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4），因为前三项、后三项符合完全平方公式，然后根据平方差公式进一步分解．【详解】解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3=（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）=（x﹣1）2﹣（y+2）2=[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]=（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选D．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，本题的关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解．解题时要求同学们要有构造意识和想象力．6．B【解析】【详解】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．，A正确，不符合题意；，B错误，符合题意；，C正确，不符合题意；，D正确，不符合题意；故选B．【点拨】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．7．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=

=

=

故选：A．【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．8．C【分析】先将x2-2x-1=0变形为x2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x2-2x=1整体代入降次，最后可化简求得答案．【详解】解：∵x2-2x-1=0，

∴x2-2x=1，

∵2x3-7x2+4x-2019

=2x3-4x2-3x2+4x-2019，

=2x（x2-2x）-3x2+4x-2019，

=6x-3x2-2019，

=-3（x2-2x）-2019

=-3-2019

=-2022，

故选：C．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．9．D【分析】根据已知，将其a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0变形为，利用非负数的性质，求出a和b，最后代入即可.【详解】解：a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝a2－2ab＋b2＋b2＋4b＋4＝a-b=0b+2=0a+3b=故选择D【点拨】本题考查了利用公式进行变形，其次是平分的非负性，利用这个性质求得a,b的值是关键.10．D【分析】A、原式展开后，利用分组分解法提公因式分解即可；B、利用分组分解法，再运用公式法分解即可；C、先对前三项利用“十字相乘法”分解因式，再次利用“十字相乘法”分解因式即可；D、不能分解.【详解】A.能分解，本选项不合题意；B.=能分解，本选项不合题意；C.且∴原式能分解，本选项不合题意；D.，不能提公因式，不能用公式，不能用十字相乘法，不能分解，符合题意.故选：D.【点拨】本题考查了对学习过的几种分解因式的方法的记忆和理解，熟练掌握公式结构特征以及各种分解方法是解本题的关键．11．B【分析】此题可用分组分解法进行分解，分别将一、三项和二、四项分为一组，然后再用提取公因式法进行因式分解．【详解】解：a2+2a-b2-2b，

=（a2-b2）+（2a-2b），

=（a+b）（a-b）+2（a-b），

=（a-b）（a+b+2）．

故选：B．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．应针对各式的特点选用合适的分组方法．12．D【分析】由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可．【详解】解：因为，，∴，将，代入得：，故选：D．【点拨】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解．13．D【分析】将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性质求解即可．【详解】∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．故选D．【点拨】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．14．A【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【详解】解：，，，，，，，，，，，，，，故选：A．【点拨】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．15．(m-y)(m+x)【分析】先分组进行因式分解，再提取公因式即可求解．【详解】mymxyxm(m-y)+x(m-y)=(m-y)(m+x)故答案为：(m-y)(m+x)．【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知分组因式分解的应用．16．【分析】利用分组分解法，把前两项分成一组提公因式，把后两项分成一组，再应用提公因式法分解，最后应用平方差公式再分解即可.【详解】【点拨】本题考查了因式分解－分组分解法、公式法、提公因式法，分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止，否则会造成分解不彻底的错误.17．【分析】先分组分解,再利用提公因式法进行因式分解.【详解】故答案为:.【点拨】本题主要考查分组分解法和提公因式法,解决本题的关键是要熟练掌握分组分解法和提公因式法.18．等腰三角形【分析】对等式前两项利用平方差公式进行因式分解，而后两项提出公因式，然后再进一步因式分解观察即可.【详解】∵，∴．∴．∵、、是的三条边，∴，∴，即，∴为等腰三角形．故答案为：等腰三角形.【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.19．【分析】根据完全平方公式将原式进行因式分解，然后再将，，，代入计算即可.【详解】由题意得：，∵，，，∴原式．故答案为：.【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.20．4．【分析】把原式配方，然后，根据完全平方公式和非负数的性质，解答出即可．【详解】由x2+4x+8y+y2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0，∴x+2＝0，y+4＝0，解得x＝﹣2，y＝﹣4，∴x﹣y＝4；故答案为：4．【点拨】本题考查了分解因式和非负数的性质，正确分组是解答的关键．21．【分析】先分组逆用完全平方公式，然后再使用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：===【点拨】本题考查了运用分组法和十字相乘法因式分解以及完全平方公式的灵活应用，解答本题的关键在正确的分组．22．-3【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.【详解】∵，，∴a-c=-1，∴====-3，故答案为：-3.【点拨】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.23．-1【分析】先分组，再化为完全平方公式，进而求出x、y的值即可.【详解】由x2−4x+y2+6y=−13，得x2−4x+y2+6y+13=0，故x2−4x+4+y2+6y+9=0，(x-2)2+(y+3)2=0，所以x-2=0，y+3=0，所以x=2，y=-3，所以x+y=2-3=-1.故答案为：-1【点拨】此题考查了分组法分解因式，掌握完全平方公式是解答此题的关键.24．-6【分析】先利用已知条件计算出a＋c＝−2，然后利用分组分解的方法把ac−bc＋a2−ab因式分解，再利用整体代入的方法计算．【详解】∵ac−bc＋a2−ab＝c（a−b）＋a（a−b）＝（a−b）（c＋a），∵a−b＝3，b＋c＝−5，∴a＋c＝−2，∴ac−bc＋a2−ab＝3×（−2）＝−6．故答案为：−6．【点拨】本题考查了因式分解的应用：用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．25．【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可.【详解】解：故答案为：【点拨】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键.26．【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可．【详解】解：====．故答案为．【点拨】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是正确解答本题的关键．27．（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；

（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．【详解】解：（1）9x2-6xy+y2-16

=（3x-y）2-42

=（3x-y+4）（3x-y-4）；

（2）∵a2-ab-ac+bc=0

∴a（a-b）-c（a-b）=0，

∴（a-b）（a-c）=0，

∴a=b或a=c或a=b=c，

∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．【点拨】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．28．，．【分析】先利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，再将a、b的值代入求值即可得．【详解】原式，，，当，时，原式，，．【点拨】本题考查了利用分组分解法、公式法、提公因式