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2023-2024学年高二上学期期末数学考试卷03数学·答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678BDBADCCA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．BC 10．ABD 11．ACD 12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．13 14． 15．或 16．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可得，，则，，∴直线的斜率，且直线过点，∴由直线的点斜式方程得，即，∴所求直线的方程为；（2）∵直线化简得：，∴定点，则点到直线的距离，∴到直线的距离为.18．（12分）【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因为圆心在直线上，设圆心，则与直线垂直，且直线的斜率为，则，可得，解得，所以，圆心的坐标为，则圆的半径为，所以，圆的标准方程为.（2）由题意可知，圆心到直线的距离为，若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，可得，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.19．（12分）【答案】（1）；（2）10【解析】（1）因为，所以当时，，当时，.因为数列为等比数列，首项也满足上式，所以，即，得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得.所以令，即，所以，即，因为，且在上单调递增，，所以的最小值为.故满足条件的最小正整数为.20．（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，取中点E，连接AE，EH，由H为BQ中点，则.在平行四边形中，P、E分别为，的中点，则，由面，面，所以面，面，又，面，所以面面，而面，面.（2）连接，，由四边形为菱形，则.又，则为正三角形，P为的中点，即.因为面面，面面，面，面，在面内过P作交于点R.建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设，，则，，，，则，.设面的法向量为，则，令，则，设面的法向量为，二面角的平面角为，则，解得或（舍），∴且，又，∴，故，，故.所以，即，连接BP，设P到平面的距离为h，则，∴，即点P到平面的距离为.21．（12分）【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由已知得：，联立解得，同理可得．∵，∴，整理得．又，∴，，∴的方程为．（2）要证明，只需证明的中点与的中点重合．设的中点为，直线：，联立得，设，，则，，，即，双曲线：的渐近线方程为，由得可得，由得可得，∴的中点为，∴点与点重合，∴．22．（1

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