2023-2024学年上海市浦东新区高二年级上册期中数学模拟试题（附解析）

2023-2024学年上海市浦东新区高二上学期期中数学模拟试题

一、填空题(每小题3分，共36分)

I.公理2：不在同一直线上的点确定一个平面.

2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的_________直线都垂直，那么此

直线与该平面垂直.

3.三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在一

垂直.

4.已知球的半径为3,则该球的体积为.

5.一个圆柱的底面半径为3cm,高为4cm,则它的侧面积为cm2.

6.已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的

大小为.

7.一个正四棱柱底面边长为1,高为2,则它的表面积是.

8.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.

(1)直线"'与直线相交；

(2)直线S与直线。£平行；

(3)直线与直线DE是异面直线；

(4)直线S与直线8G成60。角.

9.若空间三条直线blc,则。，6的位置关系是.

10.在正方体/BCD-4片G2中，平面43CA与平面/8CD所成的锐二面角的大小

是.

11.如图，正方体々co-45GA的所有棱中，其所在的直线与直线84成异面直线的共有

条.

12.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席（应e〃a。）.已知在鳖If

M-N8C中，MAmABC,MA=AB=BC=2,则该鳖席的外接球的表面积为

二、选择题（每小题3分，共12分）

13.“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

14.设加，〃是两条不同的直线，。是平面，则下列命题正确的是（）

A.若加//a,〃//a,则加〃〃B.若冽//a,九ua,则加〃〃

C.若加//〃,〃//1，则加//aD.若加//〃，加则冽//a

15.如图，A、B、C、。是某长方体四条棱的中点，则直线48和直线。的位置关系是（）

C.异面D.垂直

16.已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）

三、解答题

17.正四棱柱/BCD-4与G2,的底面边长/3=2,若异面直线4/与4。所成角的大小为

arctan1,求正四棱柱ABCD-A^QD,的侧面积和体积.

------------

18.如图，正三棱锥尸-48c的底面边长为2,侧棱长为3.

(1)求正三棱锥尸-4BC的表面积；

(2)求正三棱锥尸-A8C的体积.

19.如图所示，已知四棱锥尸-/BCD中，底面48co是直角梯形ND//3C,AB1BC,AB=AD=\,

BC=2,P5_L平面/BCD,PB=1.

(I)求证：CD1PD；

(II)求四棱锥尸-48CD的表面积.

20.如图，已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为O,高为26,底面半径为2.

⑴求该圆锥的侧面积；

(2)设0408为该圆锥的底面半径，且乙408=90。，/为N2的中点，求二面角尸-48-。的大

小(用反三角表示)

21.如图，尸N_L平面/BCD,四边形/BCD是矩形，PA=AD,M,N分别是A8,PC的中点.

(1)求证：跖V〃平面尸4D；

(2)求证：平面MVD_L平面尸CO.

1.三##3

【分析】根据公理2判断可得；

【详解】解：公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面

故三

2.两条相交

【分析】根据直线与平面垂直的判定定理得解；

【详解】解：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，

那么此直线与该平面垂直.

故两条相交

3.平面上的射影

【分析】由三垂直线定理及其逆定理可得答案.

【详解】解：由三垂线定理得：平面上的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则

它也与这条斜线垂直；

由三垂线定理的逆定理得：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它与这条斜线在平

面上的射影垂直；

所以平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂

直，

故平面上的射影.

4.367r

【分析】根据球的体积公式计算可得；

44

【详解】解：因为球的半径尺=3,所以球的体积〃=33=36万；

33

故36万

5.24%

【分析】由圆柱的侧面积公式计算可得答案.

【详解】解：圆柱的底面半径为3cm,高为4cm,则它的侧面积为27rx3x4=24"cn?,

故答案为.24〃

n

6.-##60°

3

【分析】根据线面角的定义计算可得；

【详解】解：因为斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，记这条斜线和这个平面

所成的角为0,贝！Icos8=；,因为。＜0段,所以6=(

峙

7.10

【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可

【详解】因为正四棱柱底面边长为1，高为2,

所以它的表面积为2x1x1+4x1x2=10,

故10

8.(3)(4)##(4)(3)

【分析】还原正方体/BCD-EFG8,结合图形即可判断(1)(2)(3),再连接NX,AC,贝1Ja田。

为异面直线CH与直线BG所成的角，根据三角形的性质即可求出异面直线所成角；

【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体/2C。-EFG//,

可得'与ED为异面直线，故(1)错误；

CH与。E为异面直线，故(2)错误；

直线3G与直线DE是异面直线，故(3)正确；

连接AC,由正方体的性质可得M〃8G,所以ZAf/C为异面直线S与直线8G所成的角,

因为ANHC为等边三角形，所以乙4〃C=60。，即直线S与直线8G所成角为60。，故(4)正确;

故(3)(4).

【分析】根据空间直线的位置关系判断可得；

【详解】解：因为空间三条直线a，c,b^c,所以。与6的位置关系是平行，相交或异面;

故平行，相交或异面

71。

10.-##45

4

【分析】利用正方体的几何性质以及二面角的定义找到对应的平面角，在三角形中求解即可.

【详解】正方体/3CD—44G。中，8C1平面/2瓦4,

又45U平面片4，

所以48LBC,又AB，BC,

所以N&B4是平面&BCD]与平面4BCD所成的锐二面角的平面角,

rr

在直角△484中，乙424=1，

7T

所以平面45CA与平面/BCD所成的锐二面角的大小是.

4

,,71

故）

4

11.6

根据几何体依次写出与直线B4成异面的直线即可得解.

【详解】正方体9CD-44G。的所有棱中，其所在的直线与直线34成异面直线如下:

AD,DC,DD[,BG，GDi，GC,一共6条.

故6

此题考查异面直线的辨析，关键在于根据几何体特征准确找出与直线24成异面的直线.

12.12万.

【分析】证明3CL8M,可得MC是外接球的直径，求得长度后可球表面积.

【详解】因为M4_L平面NBC,3Cu平面48C,所以M4_LBC,同理肱4_LNC,

又AB_LBC,48nM4=/,/瓦他4<=平面吊48,所以8cl平面M43,

又MBu平面"ZB,所以所以MC的中点。到〃,4民。四点距离相等，为四面体

M-ABC外接球球心，

又由已知得/c=百万=2血，MC=W+Q6¥=2拈,

所以外接球表面积为S=4Tx(g)2=12".

故12万.

关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径.三棱

锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上.

13.B

【分析】找出“两条直线没有公共点”的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结

论.

【详解】“两条直线没有公共点”o“两条直线平行或异面”，

所以，“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要非充分条件.

故选：B.

14.D

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于N中，茗则加与〃相交，平行或异面，故/错误；

对于2中，若m//a,wua,则机与"平行或异面，故2错误；

对于C中，若机//","//1,则阴有可能在平面C内，故C错误；

对于。中，若m"n,maa,nua,由直线与平面平行的判定定理，可得加//a,

所以。是正确的.

故选：D

15.A

【分析】如图，延长GM到N,使=连接AN,DN.由NB和。。分别平行于正方体的两条

相交的对角线，从而得与。C相交.

【详解】如图，延长GM到N,使MN=；GM，连接AN,DN.

■：ABHFM,AN〃FM,

，A,B,N三点共线，

同理D,C,N三点共线，

.：48与。。相交，

故选：A.

本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

16.A

【分析】将正四面体放入正方体中，可得正方体的棱长为也，求出正方体外接球的体积即为正

2

四面体外接球的体积.

如图将棱长为1的正四面体片-/C，放入正方体/3CD-48CQ中,

且正方体的棱长为lxcos450=42

2

22

所以正方体的体对角线NG=++

、2,

所以正方体外接球的直径2H="

12

44㈤3

所以正方体外接球的体积为丁二产=——71，

8

因为正四面体的外接球即为正方体的外接球,

所以正四面体的外接球的体积为如兀，

8

故选：A.

17.5=32,7=16.

【分析】首先根据异面直线所成的角，求6月，再求正四棱柱的侧面积和体积.

【详解】VAAJ/BB,,

Be]

.•・面直线4/与BC所成角是NC8H，,tanZCB.B

XDDyZ

BC=AB=2,BBt=4,

.•.正四棱柱的侧面积5=4x2x4=32,体积­=2仓啦4=16.

18.(1)672+73;(2)—.

3

(1)取8c的中点。，连接PD,利用勾股定理求得尸。，可得三角形尸8C的面积，进一步可得

正三棱锥尸-4BC的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥尸-4BC的表面积可求；

(2)连接设。为正三角形ZBC的中心，则P。工底面求解尸。，再由棱锥体积公式

求解.

【详解】(1)取BC的中点。，连接尸口，

在RtAPJSZ)中，可得尸。=yJpB2-BD2=272.

:.S&PKC=^BC-PD=2s/2.

•••正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，

/.正三棱锥尸-4BC的侧面积是3sSBC=6V2.

・•・正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，•.-L"x2xsn16。。一技

则正三棱锥P-48c的表面积为6亚+6；

(2)连接4D,设。为正三角形ZBC的中心，则P。工底面NBC.

S.OD=-AD=—.

33

在Rt△尸。。中，PO=Jp。2-亦=进'.

3

正三棱锥P-ABC的体积为工54谢-PO=—.

33

本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.

直+收+6

19.（I）见解析；（II）

2

【分析】（I）在梯形/BCD中，易求得又由依，平面/BCD,得PBLCD,利用线

面垂直的判定定理，即可得到CD_L平面尸50,即可得到CD_LP£>.

（II）由（I）求得5仔8=坐，进而根据依，平面43。，得至（JAPND，△尸84APCD,

SAP/D,SAP/W，

APCZ）都为直角二角形，分别求得5ApBC，S梯形4BCD的面积，即可求解.

【详解】（I）在梯形48co中，易求CD=拒,8。=血,尸。=百，尸N=后,

•1•BC=2,:.CD1BD.

:必，平面，ABCD,:.PB1CD,

又PBcBD=B,:.CD1平面PBD,

又尸。u平面尸8D,...CD，PD,.

（II）由（I）知S"CD=L曰密=叵

APCD22

又•••DAHBC,BC3,尸3，平面ABCD,

APADCPBA^PCD都为直角三角形.

：.S"AD=^~>S"AB=不，S"BC=''所以,,S梯形”8=J,

..・四棱锥尸-4BCD的表面积为在+也+°+1+吕=13任6.

22222

本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面

位置关系的判定定理与性质定理，以及准确计算几何体中每个面的面积是解答的关键，着重考查

了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.

20.⑴8元

(2)arctan遍

【分析】(1)根据题意，由勾股定理求出圆锥的母线，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解；

(2)如图，由题意可得、＜W_L/8,则/尸MO为二面角尸-4B-O所成角.在放APOM中,

解三角形即可求解.

【详解】(1)由题意知，。尸_L平面。LB,OBu平面048,

所以OPLO3,所以圆锥的母线：曲后7万=4,

所以圆锥的侧面积S=Ttlr=8兀；

(2)如图，连接9,M为NB的中点，PA=PB,贝！|PW_L/8,

又AO/8为等腰三角形，04=OB,所以

所以ZPMO为二面角产一月8-。所成角.

在等腰直角AO48中，04=02=2,所以。0=也，

在MAPOM中，OP=26,OM=6.,ianZPMO=—==V6,