几何探究题（6大类型）-中考复习讲义及练习（解析版）

模块三重难点题型专项训练

专题39几何探究题(6大类型)

考查类型一非动点探究题

考查类型二动点探究题

考查类型三平移探究题

考查类型

考查类型四旋转探究题

考查类型五折叠探究题

考查类型六类比探究题

新题速递

考查类型一非动点探究题

O氟题悠究

H(2022•宁夏・中考真题)综合与实践

知识再现

如图1,RtABC中，ZACB=90°,分别以8C、CA.48为边向外作的正方形的面积为H、

S2、S3.当S∣=36,S?=1。。时，S?=.

问题探究

图1图2图3

(1)如图2,分别以BC、C4、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S∣、S?、5,,

则用、S2、S,之间的数量关系是.

(2)如图3,分别以BC、C4、AB为边向外作的等边三角形的面积为S八S，、S6,试猜

想S4、S5、Sf之间的数量关系，并说明理由.

实践应用

⑴如图4,将图3中的188绕点8逆时针旋转一定角度至BGH,AeE绕点A顺时针

旋转一定角度至AMN,GH、MN相交于点P.求证：SWW=S四边切”.‹；；

(2)如图5,分别以图3中RrABC的边8C、C4、AB为直径向外作半圆，再以所得图形

为底面作柱体，BC、CA,AB为直径的半圆柱的体积分别为匕、匕、匕.若AB=4,柱

体的高人=8,直接写出匕+匕的值.

图4图5

【答案】知识再现64：

问题探究：(1)5,+S2=53;(2)S4+55=S6i理由见解析；

实践应用：(1)见解析；(2)K+匕=16万.

【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；

问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；

22

⑵过点。作。GJ_BC交于G,分别求出S4=#BC2,S5=J^-AC.S6=^-AB,由勾股

定理可得走BC?+且AC2=@48°,即可求S4+S产S6；

444

实践应用：⑴设AB=c,BC=a,AC=b,则HN=α+6-c,FG=c-a,MF=c-b,可证明AHNP是

等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则S"MN=*(α+8-c)2,

S四边形PAyFG=~γ^(C-4)(c-b),再Ihe~=α~+Z?~,可证明^PMN=S四边形/9七.

⑵设AB=c,BC=a,AC=b,以A5为直径的圆的面积为S3、以3C为直径的圆的面积为S/、

以AC为直径的圆的面积为52,可得S∕+S2=SJ,又由M+匕=g(E+E)∕2=gs3力，即可求

Vl+V2=↑6π.

【详解】知识再现：解：QRfVASC中，ZACB=90。，

AB2=AC2+BC2,

,

..S}+S2=S39

.∙S1=36,S3=1OO,

.∙.S2=64,

故答案为：64；

问题探究：（1）解：QRfVABC中，NACB=90。,

AB-=AC2+BC2.

:.-AB-=-AC'+-BC2,

222

S1+52=S3,

故答案为：S[+$2=S3；

（2）解：QRfVABC中，ZACB=90°,

.∙.AB2=AC2+BC2.

过点。作。GLBC交丁G,

图3

在等边三角形BCD中，CD=BC,CG=^BC,

n

DG=-BC,

2

.・』=LBCX且BC=走BC?,

224

同理可得Ss=且AC?,S«=2AB：

5464

.∙.—AB2=—AC2+—BC2,

444

.∙.S4+S5≈S6；

实践应用：（1）证明：设AB=c,BC=a,AC=Z?,

:.HN=a+b-c,FG=c-a,MF=C-b,

HGB是等边三角形，4AB尸是等边三角形，

:,HG//AF,MNilBF,

:.ZHPN=60°,

.∙..MVP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，

∙∙∙SPMN=,（a+b-c）2，Mq边形PMFG=C-4）（。一。），

一43C是直角三角形，

.,.c2=a2+b2，

—(tz+⅛-c)2=-(a2÷⅛2-∖-ab-bc-ac-Λ)(C-⅛)

44,

'SPMN=S四边形PAZFG；

（2）解：设AB=c,BC=a,AC=b,以AB为直径的圆的面积为S3、以3C为直径的圆的

面积为5、以AC为直径的圆的面积为S2,

ABC是直角三角形,

c2=a2+b2,

712式？12

:.—c=-a~+-b",

444

S1+S2=S3,

V2=-Sh,V=hh,

2llV,=∣S3Λ,

∙∙∙V2+VI=1(S1+S2)Λ=1S,Λ=V3,

Aθ=4,II=8,

.∙.V,=^S3Λ=-^×Λ∙×4×8=∖6π,

.∙.½+½=16Λ∙.

【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理,等边三角形的性质，

圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键.

瓯（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）【思维探究】如图1,在四边形ABCC中，/54。

=60。，ZBCD=120o,AB=AD,连接4C.求证：BC+CD=AC.

(1)小明的思路是：延长CQ到点E,使。E=BC,连接AE.根据NB4O+N2CZ)=180。，推

得N8+NADC=I80。，从而得到NB=NADE,然后证明aAOEgABC,从而可证8C+CD

=Ac请你帮助小明写出完整的证明过程.

(2)【思维延伸】如图2,四边形ABC。中，/BAO=NBCQ=90。，AB=AD,连接AC,猜

想BC,CD,AC之间的数量关系，并说明理由.

(3)【思维拓展】在四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90o,AB=AD=E4C与3。相交

于点O∙若四边形ABC。中有一个内角是75。，请直接写出线段。。的长.

【答案】(I)AC=BC+CD；理由见详解；

(2)CB+CD=√2λC;理由见详解；

(3)38-3或3一百

【分析】(I)如图1中，延长CO到点E,使OE=8C,连接AE.证明A4OEtBC(SAS),

推出ND4E=∕BAC,AE=AC,推出A4CE的等边三角形，可得结论；

(2)结论：CB+CD=y[iAC.如图2中，过点A作4M_LC£>于点M,AN_LCB交CB的延

长线于点M证明AAΛ∕O9ZX4N8(AAS),推出DM=BN,AM=AN,证明RtxACM"RmACN

(HL),推出CM=CN,可得结论；

(3)分两种情形：如图3-1中，当NCD4=75。时，过点。作OPLCB于点P,CQLC。于

点Q.如图3-2中，当/C8Z>75。时，分别求解即可.

【详解】(1)证明：如图1中，延长CO到点E,使。E=BC,连接AE.

∖'ZBAD+ZBCD=∖S0o,

ΛZβ+ZΛDC=180o,

∙/ZADE+ZADC=ISOo

：.ZB=ZADE9

在△A。E和△ABC中，

DA=BA

•/ADE=NB,

DE=BC

：.∆ΛDE^∆ΛBC(SAS),

：.ZDAE=ZBAC,AE=AC,

工NCAE=NBAD=60。,

・・・ZVlCE的等边三角形，

/.CE=AC9

∖'CE=DE+CD,

：・AC=BC+CA

(2)解：结论：CB+CD=6AC.

理由：如图2中，过点A作CO于点M,ANLCB交CB的延长线于点N.

图2

∙/ZDAB=ZDCB=90o,

,NCDA+NCBA=180。，

∖∙ZABiV÷ZABC=180°,

：,ZD=ZABNt

o

VZAMD=ZN=WfAD=AB,

：.∕∖AMD^∕∖ANB(AAS),

：.DM=BN,AM=AN,

u

CAMLCD.ANYCN1

：.NACD=NAC8=45。，

：・AC=近CM,

AC=AC.AM=AN,

LRtAACM沿RmACN(HL),

ICM=CN,

CB+CD=CN-BN+CM+DM=2CM=6AC；

(3)解：如图3-1中，当NCD4=75。时，过点。作OPJ_CB于点P,CQLa)于点Q.

图3-1

VZCDA=I5%NADB=45。,

.*.NCoB=30。,

•・・ZDCB=90o,

.,.CD=√3CB,

•；NDCo=NBeO=45。,OPVCB,OQJLCD,

：.OP=OQ,

Q_CD,OQ

.S>8。_2_8

SXOBCABCOPBC

2

.ODCD[-

..--=--=√3,

OBCB

*：AB=AD=y∕β，ZDAB=90o,

；・BD=y∣2AD=2√3,

・•.OD=-⅛×2√3=3√3-3.

l+√3

如图3-2中，当NCBQ=75。时,

图3-2

同法可证∙^=1，OD=×2>/3=3-73,

综上所述，满足条件的0。的长为3抬-3或3-6.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三

角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

各地的中考数学试题中，最后一道压轴题以代数和几何的综合性问题最为常见,而

非动点坐标系图形探究问题,更是近年的重点与难点,这类问题往往自成一系,解法有规

律可循.非动点坐标系图形探究问题,是指以坐标系中的特殊图形如特殊三角形,特殊四

边形,相似图形或特殊直线等为探究对象，以初中代数和几何难点内容相结合为背景，以

数形结合为研究方法的题型.通过图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值,建立方程

或函数模型去求解,是解决这类问题的关键.

,田日硼绕

【变式1](2022.重庆.统考二模)如图，在矩形ABCo中，点E是对角线上一点，连接AE

并延长交CQ于点F,过点E作EG,AE交BC于点G,若A2=8,AD=6,BG=2,则AE

EY

DFC

8√Γ7

A.巫B.晅7√17

5

【答案】B

【分析】过点E作AB的平行线，分别交AD,BC于点M,N,先根据矩形的性质与判定可得

四边形ABNM和四边形Ce)MN都是矩形，设EM=X(X>0),则EN=8-x,再根据相似三

角形的判定证出A。RW-ADB4,根据相似三角形的性质可得OM=1,从而可得

33x

AM=6--x,GN=4--然后根据相似三角形的判定证出EGN,根据相似三角

44f

形的性质可得N的值，最后在RtNEM中，利用勾股定理即可得.

【详解】解：如图，过点E作的平行线，分别交A。,BC于点M,N,

四边形ABe。是矩形，A3=8,AO=6,

.∙.BC=AD=6,ZBAD=90o,ADBC,

・•・四边形ABMW是矩形，

.∙.MN=AB=8,ZAME=ZENG=90。,

同理可得：四边形CDWN是矩形，

：,DM=CN,

设EM=X(X>0),则EN=MN-EM=8-x,

EMAB1

:..DEMDBA,

DMEMDMX

：.---=----,即ππ----=-,

DABA68

3γ

解得DM=?，

4

3χ3

.∙.C∕V=-,AM=AD-DM=6——%,

44

BG=I9

ɜr

GN=BC—BG-CN=4-j

4

,ZAME=90o,EG-LAE,

.∙.ZEAM+ZAEM=90。=/GEN+ZAEM，

."EAM=ZGEN,

ZAME=/ENG=90。

在ZXAEM和AEGN中,

ZEAM=ZGEN

:.AEMEGN,

6_3

AMEMrmWXX

ENGN8-x4_3X

一4

解得ɪ=—ɪ=8»

姓松抬，R=Y是所列分式方程的根，且符合题意；％=8不是所列分式方程的根，舍去,

.∙.EM=-,AM=6--x=-,

25425

.∖AE^yJEM2+AM2骸+啮

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点,通过作辅助线，

构造相似三角形是解题关键.

【变式2］（2022•四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平行四边形488中，

AS=2,AD=3,ZABC=60o,AEL5C于点E,点F为。。的中点，OE与B尸相交于点

【分析】延长3F,4。交于点M，根据平行四边形的性质，得到A进而得到

BFCSMFD,相似比为1:1,得到DW=BC,BEP^MDP,得到——=——，利用30。

PMDM

1RP

所对的直角边是斜边的•半，得到BE=彳AB,进而求出工的值，过点M作MNlBC,

2PM

交BC的延长线与点N,易得四边形AMVE为矩形，进而得到BN,MN的长，利用勾股定理

RP

求出RW的长，再根据177的值求出BP的长即可.

PM

【详解】解：VAE±BC,ZABC=60。，AB=2,

：.ZEAB=30o,BE=-AB=li,AE=y∣AB2-BE2=√5,

2

延长BF,AD交于点M,

：四边形ABC。为平行四边形，AB=2,AZ）=3,

AD//BC,BC=AD=3f

BFCs,MFD,

.DMDF

**"βCr^CF,

I点"为CD的中点,

DF=CF,

：.DM=BC=3,

丁AD〃BC,

：・一BEPS_MDP，

.BPBE1

t,~PM~~DM~39

.BP1

・•丽―"

过点M作MNlBC,交BC的延长线与点N,

则四边形AMNE为矩形，

EN=AM=AD+DM=6,MN=AE=ʌ/ɜ,

：.BN=BE+EN=I,

BM=y∣BN2+MN2=2√13^

・・BP1

・BMy

BP=LBM=—:

42

故答案为：叵.

2

【点睛】本题考查平行四边形的性质，含30。的直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩

形的判定和性质.本题的综合性强，通过添加辅助线，证明三角形相似，是解题的关键.

【变式3］（2022•山东青岛•山东省青岛第二十六中学校考二模）问题提出：已知任意三角

形的两边及夹角，求三角形的面积.

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究.

探究一：如图1,在ABC中，NABC=90。，AC=b,BC=a,NC=Nc,求_ABC的面

积.

在RtZXAfiC中，NABC=90。，

:.AB=b∙s,ma.

.∙.SMBC~~BC∙AB=—α.Z?Sina.

探究二：如图2,ASC中，AB=AC=b,BC=a,ZB=Za,求ABC的面积（用含〃、

b、α代数式表示），写出探究过程.

探究三：如图3,.ABC中，AB=b,BC=a,NB=Na,求..ABC的面积（用。、b、«

表示）写出探究过程.

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：（用文字

叙述）.

问题应用：如图4,已知平行四边形ABCZ）中，AB=b,8C=α,NB=α,求平行四边形ABCo

的面积（用。、b、α表示）写出解题过程.

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用。“c、"、

a、4表示），其中AB=b,BC=c,CD=d,AD=a,ZA=a,ZC=I3.

【答案】ɪ^sina,见解析；1岫Sina,见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积

22

的一半；absma；SreMASS=万岫∙sina+gcd∙sin/

【分析】探究二：如图2中，作A”_LCB于//.求出高A”,即可解决问题；

探究三：如图3中，作A"LC8于H.求出高AH,即可解决问题；

问题解决：S=—a⅛sinZ.C（NC）是“、。两边的夹角）；

问题应用：如图4中，作AHJ_C8于H.求出高AN,即可解决问题；

问题拓广：如图5,连接BD,由探究三的结论可得出答案.

【详解】解：探究二：如图2中，作A"_LC8『”.

BC

图2

AB=AC=bfBC=a,N8=N0,

:./B=/C=a，

在MAZfC中，∠S4∕∕C=90o,

.AH

:.Sma=,

AC

:.AH=ASina,

探究三：如图3中，作A”,CB于〃.

HC

图3

在向A/7C中，ZAHC^90°

:.AH=⅛∙sinα

问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半.

故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半.

问题应用：如图4中，作AHLCB于H.

AD

BHC

图4

在必AHB中，ZAHB=90°

:.AH=Z>sina

∙'∙S平行四边形A5CD=BC∙AH=

问题拓广：

图5

连接3。，由探究三的结论可得：SMBD=^×AB×AD×sina=ab.sina.

S.HCn=-×BC×CD=JCd.sinβ.

ΛOV∕×22"

∙∙∙sniHKABCDsina+^cd-sinβ.

【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

考查类型二动点探究题

D凰题您熨

例H(2022・辽宁阜新•统考中考真题)已知，四边形ABCO是正方形，。所绕点。旋转

(DE<AB),ZEDF=90。，DE=DF,连接AE,CF.

(1)如图1,求证：YADE咨_CDF；

⑵直线AE与CP相交于点G.

①如图2,8M,AG于点M,BNLCF于点、N,求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3,连接8G,若Aβ=4,OE=2,直接写出在』)£尸旋转的过程中，线段BG长

度的最小值.

【答案】（1）见解析

（2）①见解析②2指

【分析1（1）根据SAS证明三角形全等即可；

（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；

②作LAG交AG于点”，作LAG于点"，证明ABMG是等腰直角三角形，求

出的最小值，uj■得结论.

【详解】（1）证明：•「四边形ABC0是正方形，

:.AD=DC,ZADC=90。.

DE=DF,NEDF=90。.

:.ZADC=ZEDF1

∖IADEICDF,

在VA£）E和CDF中，

DA=DC

<ZADE=NCDF

DE=DF

:NADE^ACDF（SAS）:

（2）①证明：如图2中，设AG与CO相交于点P.

图2

.ZAT>P=90o,

.∖ZDAP+ZDPA=90o.

ADE^iCDF,

:.ZDAE=ZDCF.

NDPA=NGPC,

:.NDAE+NDPA=NGPC+NGCP=90°.

.∙.NPGN=9Qo,

BMLAG,BNIGN,

.∙∙四边形BMGN是矩形，

，/MBN=90"

四边形ABCo是正方形，

.∖AB=BC,NABC=NMBN=90。.

,∖ZABM=ZCBN.

又∙.NAMB=NBNC=90°,

:.AMB-CNB.

:.MB=NB.

.•・矩形BNGN是正方形；

②解：作。"_LAG交AG于点”，作BΛ∕J_AG于点M,

∙.∙ΛDHA=ZAMB=90o,ZADH=90°-4DAH=NBAM,AD=AB

DHA.

..BM=AH.

AH?=AbI-DH2，AD=4，

.,.DH最大时,AH最小，最大值=DE=2.

.∙.∙BΛ∕鼓小值=A//最小值=2y∣3•

由（2）①可知，.8GM是等腰直角三角形，

∙∙BG城,MA=丘BM=2R∙

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直

角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属

于中考压轴题.

顾月（2022•吉林长春•统考中考真题）如图，在YABC。中，A5=4,AD=BD=屈,

点M为边A3的中点，动点尸从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向

终点8运动，连结PM.作点4关于直线PM的对称点4,连结/TP、AM.设点P的运

动时间为/秒.

β∙

(1)点D到边AB的距离为；

⑵用含t的代数式表示线段。户的长；

⑶连结AO,当线段4。最短时，求的面积；

(4)当M、4、C三点共线时，直接写出■的值.

【答案】⑴3

(2)当03≤∣时，DP=√13-√13z；当1<Z≤2时，PD=√i3f-√13：

(3)1

/八2-20

(4)§或TT

【分析】(1)连接。例，根据等腰三角形的性质可得。M_LA8,再由勾股定理，即可求解；

(2)分两种情况讨论：当OWWl时，点P在边上；当1<∕≤2时，点尸在BC边上，即

可求解；

(3)过点P作M于点E,根据题意可得点A的运动轨迹为以点例为圆心，4例长为

半径的圆，可得到当点D、A'、M三点共线时，线段AT)最短，此时点尸在AC上，再证明

∆PoESz∖AQM,可得。E=3-3f,PE=2-2f,从而得到HE=L>E-A'D=2-3r,在氏APE

中，由勾股定理可得£=：2，即可求解；

(4)分两种情况讨论：当点4位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点4(A")位

于CM的延长线上时，此时点P在8。上，即可求解.

【详解】(I)解：如图，连接。M,

：.AM=BM=2,DM±AB,

∙'∙DM=∖∣AD2-AM2=3，

即点。到边AB的距离为3；

故答案为：3

(2)解：根据题意得：当Oqwl时，点P在AO边上，

DP=√13-√Br:

当l<f≤2时，点P在8力边上，PD=At-用;

综上所述，当OVEl时，DP=√B-√13r:当1<∕≤2时，PD=√13r-√B：

(3)解：如图，过点尸作PEj于点E,

：作点A关于直线PM的对称点N,

.∙.A'M=AM=2,

.∙.点A的运动轨迹为以点例为圆心，AM长为半径的圆，

当点。、4、M三点共线时，线段AD最短，此时点P在AD上,

；•A'D=∖,

根据题意得：A'P=AP=√13z,D∕,=√13-√13/,

由(1)得：DMlAB,

,：PEI.DM,

.,.PE∕∕AB,

JXPDEstxADM,

.PDDEPE

"^AD~~DM~~AM`

.√13-√13rDEPE

•-------7=----=-----=-----,

√1332

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

：.AE=DE-AD=2-3t,

在RtAPE中，AP2=PE2+A'E2.

.∙.(√13/)2=(2-2/)2+(2-3r)2,解得：r=∣,

，PE=一,

i]Aa

.∙.S..=-A'DPE=-×∖×-=~;

dnpa2255

当点M、A，、C三点共线时，且点4位于M、C之间时，此时点P在AD上，

连接AA,A'B,过点尸作PFLAB于点凡过点4作AcAB于点G,则A加_LPM,

YAB为直径，

ΛZA=90°,即AHLr8,

.∖PM∕∕A'B,

：.ZPMF=ZABA',

过点C作CNL43交A8延长线于点M

在YABC£＞中，AB//DC,

"DMlAB,

：.DM//CN,

：.四边形CCMN为平行四边形，

：.CN=DM=3,MN=CD=A,

：.CM=5,

CN3

・・・SinZCMTV=-=-,

CM5

∙/A!M=2,

.*.A!G=2×-=—,

55

Q

.∖MG=-1

2

.∖BG=BM-MG=—，

5

.*.tanAA!BA=——=3,

BG

.∙.tanZPMF=tanZA'BA=3,

瞽=3即PF=3FM,

DMPF3/rʌ…AMAF2

,.,tanADAM=-----=——=二，cosZDAM—=-j=

AMAF2ADAP√13

3

.*.PF=-AF

2f

3

Λ3FM=-AF,BPAF=2FM,

2

VAΛ∕=2,

AF=-,

3

_9

ʌ3=2,解得：r=±;

√13r√133

如图，当点4(A〃)位于CM的延长线上时，此时点尸在8。上，PB=2万-屈t,

过点A〃作ArG_LAS丁点G,则NAM4"=NCMN,取AA〃的中点”，则点M、P、H三点

共线，过点H作HKLAB于点K,过点尸作PrLAB于点了，

同理：A"G=*AG'=∣,

'：HKVAB,AnGf±AB,

,,,

・•・HK∕∕AGf

：・*AHKAA"G',

,・•点”是AA"的中点，

.HKAKAH_1

**AnG,~~AGi~~AAi~2"

31

HK=—，AK=-,

55

9

/.MK=—

5

：.tanNPMT=tanZHMK=—=-

MK3f

PT1

Λ——=一，BPMT=3PT,

MT3

2PBT=^i号VCoSNPBT=著端=卡,

：.BT=-PT,

3

9

.∙.MT=—BT,

2

,.,MT+BT=BM=2,

4

・・・BT=-

11f

，Tl=2,解得：，=得；

2√13-√13r√13

综上所述，f的值为（9或?书0.

【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相

似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点4的运动轨迹是解题的关键，是

中考的压轴题.

厚命题出也

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等图形，通过“对称、动点

的运动”等研究手段和方法，来探索及发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观

念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力为意，考查学生的自

主探究能力,促进培养学生解决问题的能力，图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,

需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解

决“动点”探究题的基本思路.

年级巾硼绕

【变式1】（2021•江苏南通•统考一模）如图，AABC中，NHCB=90。，ZA=30o,BC=2,

若D,E是边48上的两个动点，尸是边AC上的一个动点，DE=6,则C。+EF的最小值

为（）

BD

lʌ

Fa

ʌ3√3_IB.3-且C.l+√3D.3

222

【答案】B

【分析】首先ΔA5C是含有30。角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为ΛB=4,

ΛC=2√3,因为。，E是边AB上的两个动点，尸是边AC上的一个动点，求CO+E尸的最

小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求C关于AB的对称点G，作GG//AB.构建

平行四边形GDEC2,作。2尸_LAC于尸，交AB于E.利用平行四边形和对称图形的性质，

找出线段之间的关系.

【详解】解：如图，过C作A8的对称点C/,连接CC/,交48于M过C/作C∕Cz"AB,

且C∕C2=√5,过C2作C2FL4C于凡交AB于E,CzF的长度即为所求最小值，

'：C∕C2//DE,CQ=DE,

/.四边形C/OEC2是平行四边形，

：.CiD=C2E,

又∙.∙CC∕关于AB对称，

.∖CD=C∣D,

∖CD+EF=C2F,

VZA=30o,ZACB=90o,

ΛAC=√3βC=2√3.

：.CN=BAN=3,

过C2作C2MLAB,则C2M=CiN=CN=√3,

.'.C2M/∕C∣N,CiC2//MN，

；・MN=CIC2=√3，

,

.∙ZMEC2=NAEF,NAFE=NC2ME=90。,

JNMQE=NA=30°,

在Rt∆C2ME中，ME=且，CzM=1,C2E=I,

3

：.AE=AN-MN-ME=3-√3-1=2-√3-

；.EF=T一是,

2

.,.C∕∙=2+1--=3--.

222

故选：B.

【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最

小，找到时称点，构建最短路径是解题的关键.

【变式2］（2023•陕西西安咬大附中分校校考一模）如图,在矩形ABC£＞中，AB=2』，AD=2,

点E为线段8的中点，动点尸从点C出发，沿C→8→A的方向在CB和54上运动，将

矩形沿EF折叠，点C的对应点为C',当点C'恰好落在矩形的对角线上时，点f运动的距

离为.

【答案】1或2+3

3

【分析】分点C'落在对角线BO上和点C落在对角线AC上两种情况分别进行讨论求解，即

可得出点尸运动的距离.

【详解】分两种情况：

①当点C'落在对角线BZ）上时，连接CC',如图1所示：

「将矩形沿EF折叠，点C的对应点为点C',且点恰好落在矩形的对角线上，

/.CCLEF,

・「点E为线段C。的中点，

CE=ED=EC,

.∙.∕CCO=90°,BPCC'LBD,

:.EF//BD.

，点尸是BC的中点，

在矩形ABC。中，AD=2,

.∙.BC=AD=2,

.∙.CF=1,

•••点/运动的距离为1；

图1

②当点C'落在对角线Ae上时，作F",CD于"，则CC'LEE,四边形C3F”为矩形,

如图2所示：

在矩形ABCD中，AB=2y∣3,AD=2,/B=/BCD=90。,AB//CD,

..BC=AD=2,tanZBAC=-=-^==—,

AB一2石-3

.∙.∕B4C=30°,

EFA.AC,

:.ZAFE=60°,

：.ZFEH=60°,

四边形CBFH为矩形，

..HF=BC=2,

mHF_2√3

•・EH=------~~rτ_---2----

tan60√33

EC=∣CD=√3,

..BF=CH=CE-EH=E巫=B

33

，点F运动的距离为2+也;

综上所述：点尸运动的距离为1或2+且;

故答案为：1或2+走.

【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要利用翻折变换的性质、矩形的性质、平行线的性

质、三角函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，熟记翻折变换的性质是解题的关键.

【变式3](2022•广东云浮•校联考三模)如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线

y=-∕+"+c与X轴交于A,3(4,0)两点，与y轴交于点C,点。(3,4)在抛物线上，点P

是抛物线上一动点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1,连接OO,若OP平分NCoD,求点尸的坐标；

(3)如图2,连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使NC8P+NACO=45。？若存在，请

直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-∕+3x+4

⑵(2,6)

⑶存在，P(3,4)或“织)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)利用角平分线的性质和平行线的性质作PE〃y轴，交OJD于点Q,交X轴于点E,可证

得PQ=OQ,求OD的解析式为y=%,设点P的横坐标为f,则有尸(r,-产+3f+4),Q,，+)

E(t,0),求出尸0=一*+坐.+4,OQ=｝，由｝=-∕+｝+4求得f值即可解答；

(3)将°AOC绕点。顺时针方向旋转90。，至Z∖A'Q8,可得AO=Ao=1,NACo=NA'80,

则A(O,1),求出过点H的直线BP的解析式为y=-5χ+l,与抛物线联立方程组求得交点

PH?!；再过C作CF〃x轴，过B作族〃y轴，CF与BF交于点F,则四边形OMC

I416；

为正方形，作4关于BC的对称点G,点G在CF上，作直线BG,则直线BG与抛物线的

交点也满足条件，则G(3,4),与点D重合，则可得尸(3,4),即可求解.

【详解】(1)解：•；点5(4,0)、0(3,4)在抛物线y=-χ2+⅛r+c上，

.J-16+4⅛+c=0

**[-9+3⅛+c=4'

f⅛=3

解得一

[c=4

该抛物线的解析式为y=-丁+3x+4；

(2)解：作PE〃y轴，交0。于点°,交X轴于点E,如图1所示:

V尸E〃y轴，

.∖NoPQ=NPOC,

∙.∙OP平分NCW,

.∙.APOC=ΔPOQ,

：.ZOPQ=ZPOQ,

：.PQ=OQ,

设的解析式为y=依，

将。(3,4)代入，a=；

4

・・・。。的解析式为〉=§］，

设点尸的横坐标为r,则有P(f,d+3r+4),EaO),r>0,

・二0Q=T2+3r+4-gf=+gf+4,OQ=J产+(gr)=∙∣z»

.525

••一”一厂+-f+4ZI,

33

解得％=2,t2=-2(舍去)，

Λr=2,

，一/+3/+4=-4+6+4=6,

，点尸的坐标为(2,6)；

(3)解：存在，*3,4)或尸(-:知.

当X=O时，y=4,则C(0,4),

，OB=OC=4,则AOBC=NOCB=45°,

将AAOC绕点。顺时针方向旋转90。，至2∖A'0B,如图2所示:

则AO=AO=1,ZACO=ZAIBO,

：.A,(0,l)

由题意NCBP+NACO=45°知，直线BP过点A,

设直线BP的解析式为y=mx+n,

将B(4,0),Æ(O,I),代入，得：,=0，

1

m=—

解得：4.

n-∖

•・•直线BP的解析式为尸-++∣,

y=-x2+3x+4

联立《

y=--χ+↑

4

3

X=——

4

解得:或v

19

y=一

16

4,16；

此时使ZCBP+ZABO=NCBP+ZACO=45°：

如图2所示，过C作CF〃x轴，过8作轴，C尸与B尸交于点尸，则四边形OBFC为

正方形，

作W关于8C的对称点G,则点G在CP上且CG=AG=4-1=3,

.∙.G(3,4),与点。重合，

作直线BG,ACBGZABC,

直线BG与抛物线的交点也满足条件NCBP+NACo=45。，

•；点0(3,4)在抛物线上，

.∙∙P(3,4).

综上，抛物线上存在点P,使NaP+NACo=45。，点尸的坐标为尸(3,4)或P竹用.

【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形、等腰

三角形的判定与性质、解一元二次方程、二次函数与几何变换(旋转和轴对称)、正方形的

判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解

是解答的关键.

考查类型三平移探究题

a氟题悠究

gj](2019•天津•统考中考真题)在平面直角坐标系中，0为原点，点A(6,0),点B在

y轴的正半轴上，/ABO=30°.矩形CoDE的顶点D,E,C分别在0A,AB,OB±,

0D=2..

(I)如图①，求点E的坐标；

(H)将矩形CODE沿X轴向右平移，得到矩形C'O'D'E',点C,0,D,E的对应点分别

为C',O',D',E,.设∞'=t,矩形CO'D'E'与AABO重叠部分的面积为S.

①如图②，当矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分为五边形时，C'E',E'D'分别与AB相交于点

M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围；

②当退领65君时，求t的取值范围(直接写出结果即可).

【答案】(I)E的坐标为(2,46)；(11)®s=--r2+8√^,0<Z<2:(g)∣≤r≤6-√2.

22

【分析】(I)先根据A点坐标和已知得出AD的长，再根据30。角所对的直角边等于斜

边的一半和勾股定理得出CO的长即可得到点E的坐标

(II)①根据平移的性质和30。角所对的直角边等于斜边的一半得出MF=2ME=2t,再根

据勾股定理得出FE'=®，再根据S=S短脑"。宜-SAM柝得出S与t的函数关系式

②分2≤t<4和4≤t≤6两种情况，根据平移的性质和30。角所对的直角边等于斜边的一半

得出S与t的函数关系式，分别求出s=√5和s=4√3时t的值即可

【详解】解：(I)由点46,0),得。4=6.

又Or)=2,^AD=OA-OD=4.

在矩形CODE中，有ED//CO,得ZAED=ZABO=30°.

在RtAAED中，AE=2AD=8.

，由勾股定理，得即=JAE[-AZ))=4√L有CO=4√L

点E的坐标为(2,4石).

(H)①由平移知，0'D'=2,FD'=4√3，ME'=OO'=t.

由E'D'∕∕BO,得NE'FM=ZABO=30°.

.∙.在RtAMFE'中，MF=2ME'=2/.

由勾股定理，得FE=NMF?-ME?=4.

:∙Ss=(ME∙FE=*.岳=等.

.•.5矩腕如£=0'。'£。=86，

•∙S=S矩形CE一SΔAyFE，=ɛʌ/ɜ―厂•

.,.S=--r+Syβ,其中f的取值范围是0<r<2.

2

②当0<r<2时，S=--∕2+8√3

2

当S=K时，-正√+86=√L解得t=E>2

2

当S=5√J时，-且产+8√i=5√L解得t=#>2

2

当2≤t<4时，如图，OF=√j6-t∙D'G=√i(4-t)

ΛS=^[√36-t+√3(4-t)]×2=-2√3r+10√3

当S=G时，-2Ct+10垂>=6；解得t=4.5>4

当S=56时，-2疯+lθg=5g;解得t=∣∙;

当4≤t≤6时，如图，DF=06-t,D,A=6-t

.∙.S=巫(6-t)(6-t)=3(6-t>

22

当S=TJ时，—(6-t)2=G;解得t=6+&>6或t=6-应

2

当S=56时，—(6-t)2=5√3;解得t=6+√∏i>6Wct=6-√K)<4

2

•••当Λ⅛5退时∙，∣≤r≤6-^.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，勾股定理，二次函数以及一元二次方

程的解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问

题，属于中考压轴题.

瓯（2012•四川达州•中考真题）如图1,在直角坐标系中，已知点A（0,2）、点、B（-

2,0）,过点8和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCQE

（1）填空：点。的坐标为（），点E的坐标为（）.

（2）若抛物线y=ox?+⅛x+c（α*0）经过4、D、E三点，求该抛物线的解析式；

（3）若正方形和抛物线均以每秒标个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正