2023中考数学练习 04 巧用中点解决几何问题（学生版+解析版）

专题04巧用中点解决几何问题

一、【知识回顾】

方法与技巧：中点问题常见辅助线做法

①遇到三角形边上的中点，考虑构造三角形的中位线

②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边的中线性质

③遇到等腰三角形底边的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质

④遇到中点+垂线，角平分线+垂线，考虑垂直平分线的性质

⑤遇到面积类型题，考虑三角形中线平分面积

⑥遇到线段数量关系，考虑倍长中线构造全等三角形

二、【考点类型】

考点1：构造三角形的中位线

典例1：（2022秋・四川眉山•九年级校考期中）如图，ABC中，AB=8cm,AC=6cm,点E是BC的中点,

若AD平分∕84C,CDlAD,线段。E的长为（）

A.IcmB.2cmC.3cmD.4cm

【变式1］（2022秋•山东济宁•九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在ABC中，AE平分NCAB,

隹_LBE于点E,点F是BC的中点，若AB=I0,AC=6,则EF的长为（）.

A.2B.3C.4D.5

【变式2］（2022春•全国•八年级假期作业）已知：如图,在.ABC中，中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC

的中点.

求证：（1）DEUFG；

（2）OG和EF互相平分.

【变式3】（2021•全国•九年级专题练习）如图，在R&8C中，0JC8=9CΓ,点，£分别是边/8,/C的

中点，延长8C到点凡使C∕=/8C.连结C£＞、EF,那么C。与E尸相等吗？请证明你的结论.

考点2：直角三角形斜边的鹅中线

典例2：（2022秋•福建福州•八年级统考期中）如图，在一块含45。角的三角板（NA8C=90。）的顶点B处

作8EJ.AC,垂足为E.在AC的右侧作-ACz）使EC=£»,连接OE,BE的延长线交Ao于F.设

ABFD=a,ΛBED=β,则下列式子成立的是（）

A.3α+2∕=600°B.3α-2月=90°

C.2a+£=360。D.24-Q=90°

【变式1］（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级校考期中）如图，Rt_ABC中，NABC=90。，AB=8,BC=3,

P是ABC内部的一个动点，且满足∕E45=NP3C,则线段CP长的最小值为（）

A

B.1C.2√13-6D.2√13-4

【变式2］（2022秋・广西贵港•九年级统考期中）如图，在ABC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到

的射线BO与AC交于点E,点尸为BC的中点，连接EF,若BE=AC=4,则△€£尸的周长为（）

A.√3+lB.√5+2C.2√5+2D.2√5+3

【变式3】（2021•广东广州•统考中考真题）如图，在四边形/88中，NΛ6C=90。，点E是ZC的中点,

JLAC=AO

（1）尺规作图：作NCW的平分线4R交CD于点、F,连结ER8尸（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若/B4Q=45。，且NC4D=2NB4C,证明：ABEF为等边三角形.

考点3：等腰三角形三线合一性质

典例3：（2023秋•江西南昌•八年级统考期末）如图所示，ABC中，AB=BC,DE，AB于点、E,DFɪBC

于点。，交AC于尸.

⑴若NAFD=I55。，求NE。尸的度数；

（2）若点尸是AC的中点，求证：ZCFD=1∠B.

【变式1］（2020•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，ABC中，AB=AC,NO是勖NC的平分线，EF^AC

的垂直平分线，交4。于点。若0月=3,则√1BC外接圆的面积为（）

【变式2］（2022秋•浙江杭州•八年级统考期末）如图，在EWBC中，AB=AC,/D平分加C,Q£0/12于E

点，WC于点居则下列四个结论：①/。上任意一点到/C两边的距离相等；②/。回8C且BD=

CD；③回BoE=ElC。尸；（A）AE=AF.其中正确的有（）

A

c.①②④D.①②③④

【变式3】（2022秋•吉林长春•八年级校考阶段练习）如图所示，在ΛBC中，AB=AC,直线即是48的

垂直平分线，。是BC的中点，M是EF上一个动点，ABC的面积为12,BC=4,则8。W周长的最小值

是,

考点4：垂直平分线性质

典例4：（2022•新疆乌鲁木齐•校考一模）如图，在矩形/38中，N8=4cm,对角线ZC与8。相交于点

A.GCmB.2cmC∙2∖∕2cmD.2∖∕3cm

【变式1］（2021•四川内江•统考中考真题）如图，矩形ABCQ中，AB=6,BC=S,对角线8。的垂直平分

线EF交AD于点、E、交BC于点F,则线段EF的长为

【变式2］（2020•江西•统考中考真题）如图，AC平分Nr）CB,CB=CD,D4的延长线交BC于点E,若

ZEAC=49,则284E的度数为

【变式3］（2020•江苏连云港•中考真题）如图，在四边形48C。中，ADHBC,对角线BO的垂直平分线与

边AD、BC分别相交于〃、N.

（1）求证：四边形BMw是菱形；

（2）若BO=24,MN=IO,求菱形比VDM的周长.

考点5：中线平分面积

典例5：（2022秋•安徽滁州•八年级校考阶段练习）如图，ABC的面积为IoCm2,AP垂直/45C的平分线BP

于P,贝IJ..PBC的面积为（）

C.6cm2D.7cm2

【变式1】（2021秋•内蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末）如图，在ABC中，CP平分NAe3,APj_CP于点

P,已知ABC的面积为12cn√,则阴影部分的面积为（）

A.6cm2B.8cm2C.IOcm2D.12cm2

【变式2】（2021秋•福建福州•八年级福建省福州延安中学校考期中）如图，酎8C中，ZC=DC=3,平

分鼬/C,8£>的。于O,E为/C的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）

A.1.5B.3C.4.5D.6

【变式3］（2023春•江苏√l年级阶段练习）如图，在平行四动形纸板ABC。中，点E,F,O分别为A8,

CD,BD的中点，连接£>£,OF,BF.将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的

概率为.

典例6：（2022秋•甘肃定西•八年级统考期中）如图，在ABC中，AB=5,AC=9,Ao是BC边上的中线,

则40的取值范围是（）

BDC

A.4<AO<14B.0<ΛD<14C.2<AD<1D.5<AD<9

【变式1］（2021秋•河南信阳•八年级校考期中）如图，已知NC平分EID48,CE0/8于E,AB=AD+2BE,

则下列结论：（l）AB+AD=2AEi②0Z）/8+0Z）CB=18O。；③CZ）=C8；（4）SΔACE-ISaBCE^SaADCi其中

正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2］（2022秋•浙江杭州•八年级校联考阶段练习）如图，在,ABC中，∕ACB=90,D为边AB的中点,

E、F分别为边AC、BC上的点，且AE=AD,BF=BD.若DE=&，DF=2,则NEDF=,线段

AB的长度=.

【变式3］（2022秋・山东滨州•八年级统考期中）如图，四边形/BC。中，血。=120。，勖=00=90。，在

BC、CZ）上分别找一点“、N,使WZV周长最小时，则a4Λ∕N+a4NM的度数是.

巩固训练

一、单选题

1.（2020秋•湖北黄石•八年级黄石八中校考期中）如图，AD是AABC的中线，E是AD上一点，延长BE

交AC于F,若BE=AC,BF=9,CF=6,则AF的长度为（）

B.1.5

2.（2023•全国•九年级专题练习）如图，在四边形ABCQ中，ABHCD,ABLBD,AB=5,BD=4,Co=3,

点E是AC的中点，则BE的长为（）.

C.√5

3.（2021春•浙江杭州•八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在。/8（力中，缈垂直平分切于点£,且

/BAD=45°,49=3,则。4¾力的对角线儿?的长为（）

A.3√5B.5√5C.5√2D.2√5

4.（2022秋•浙江宁波•八年级校联考期中）如图，。为数轴原点，A,8两点分别对应-3、3,作腰长为4

的等腰一ABC，连接OC,以。为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M则点M对应的实数为（）

2M34

A.√7B.4C.√5D.2.5

5.（2023秋•广东惠州•八年级校考期末）如图，在.ABC中，AB=AC=4tA于点O,E为AC

的中点，P为AO上一动点.若ABe腰上的中线长是3.则一PEC周长的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

6.（2022秋•江苏无锡•八年级校联考期中）如图，ABC,ZBAC=90o,ΛB=3,AC=4,点〃是比

的中点，将一AC。沿砂翻折得到AAEO,连结庞；则线段跖的长为（）

557

A.2B.—C.—D.一

435

7.（2023秋•四川雅安•九年级校考期中）如图，在，ABC中，点。、E分别是边AB、AC的中点，点E是

线段OE上的一点，连接AF、BF,ZAFB=90°,且AB=I0,BC=18,则EF的长是（）

A.3B.4C.5D.6

8.（2023•河北秦皇岛•统考一模）如图，在RtAABC中，NAeS=90。，将ABC绕顶点C顺时针旋转得

到AAbC,〃是Ab的中点，连接加，若BC=2,N4BC=60。，则线段8。的最大值为（）

A.√3B.2√3C.3D.4

9.（2022春•浙江杭州•九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，中线跖、8相交于点0,连接OE,

则_O£>E的面积与408C的面积比是（）

ʌ.ɪB.-C.2D.4

24

10.（2022春•江苏南京•八年级校考期中）如图，四边形ABCO中，AB与CD不平行，M,N分别是AO、

BC的中点，AB=6,CD=3,则MN的长可能是（）

A.4B.6C.8D.10

11.（2023春•江苏•八年级专题练习）如图，在正ABC中，BD=4,CE=2,连接OE,若M、4分别

为线段OE、BC的中点，则线段MN的长度等于（）

A.√6B.√7C.2√2D.3

12.（2023春•江苏•八年级专题练习）如图，已知四边形4BC。中，AClBD,AC=6,30=8,点氏F

分别是边4λBC的中点，连接E尸，则EF的长是（）

D

13.（2022秋•广东梅州•九年级校考开学考试）如图，射线AB//射线CD,/CAB与NACD的平分线交

于点E,AC=4,点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点Q给出下列结论：①.ACE是

直角三角形；②S四边彩APQC=2SACE;③设AP=x,CQ=y,则y关于X的函数表达式是y=-x+4（0≤x≤4）,

其中正确的是（）

14.（2023春•八年级课时练习）如图，在正方形ABeo中，点反G分别在AO,BC边上，且A£=3DE,

BG=CG,连接BE、CE,EF平分NBEC,过点。作CF_LEF于点凡连接GF,若正方形的边长为4,

则GF的长度是（）

15.（2023春•八年级课时练习）如图，在中，点£在边47上，EB=EA,NA=2NCBE,延长加到其

模DF=DB,连接5过点C作徽！即于点。，Bgl6,AO-22,则边6C的长为（）

B

A.8√5B.9√5C.IOGD.12√3

二、填空题

16.（2020•天津•中考真题）如图，YABC。的顶点C在等边ABEF的边BF上，点£■在A3的延长线上,

G为OE的中点，连接CG.若4）=3,AB=CF=2,则CG的长为.

17.（2021•全国•九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，。/的半径为2,圆心坐标为（4,0）,y轴

上有点6（0,3）,点C是。4上的动点，点〃是8C的中点，则％的范围是.

18.（2022春•九年级课时练习）如图，在半径为3的。。中，ZlS是直径，4C是弦，〃是AC的中点，与

做交于点£：若£是劭的中点，则然的长是

D

EC

19.（2022•天津•统考中考真题）如图，已知菱形ABCo的边长为2,ZZMB=60°,£为AB的中点，F

为CE的中点，AF与。E相交于点G,则Gk的长等于—

20.（2021•甘肃武威•统考中考真题）如图，在矩形ABC。中，E是BC边上一点，NAEo=90。,NEAo=30。,F

是Ao边的中点，厮=4Cm,则BE=cm.

21.（2021•四川内江•统考中考真题）如图，矩形ABC£>,AB=↑,8C=2,点A在X轴正半轴上，点。

在y轴正半轴上.当点A在X轴上运动时，点。也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点。的

最大距离为.

22.（2022秋•九年级单元测试）如图，，M的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点P是M上的任意一

点,PA±PB,且以、Pa与X轴分别交于A、8两点，若点A、点8关于原点对称，当线段A3最短时,

点A的坐标为.

24.（2023秋•江西宜春•八年级校考期末）如图，在应△/比1中，ZBA（=90o,AB=3,A（=4,P为边BC

上一动点，PELAB于E,AU/C于用材为切的中点，则4"的最小值是一

26.（2022•安徽•统考中考真题）如图，平行四边形如式■的顶点。是坐标原点，/在X轴的正半轴上，B,

C在第一象限,反比例函数y=’的图象经过点Gy=44H0）的图象经过点8.若OC=AC,则#=.

ɪX

27.（2021•广东深圳•统考中考真题）如图，已知ZfiAC=60。，AO是角平分线且4）=10,作AO的垂直

平分线交AC于点凡作。ElAC,贝尸周长为.

28.（2022•江苏无锡•统考中考真题）如图，正方形/比。的边长为8,点后是切的中点，用垂直平分

且分别交小、玄于点〃、G,贝IJSG=.

DEC

29.（2022秋•八年级课时练习）如图，△相C的面积是12,点〃，E,F,G分别为8GAD,BE,B的中点,

则的面积是.

30.（2022春•江苏无锡•七年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在ΔABC中，点〃在a'上，点E

是力〃的中点，点尸在应上，且EF=2BF,若SΔSCF=5,则SMZiC=一•

三、解答题

31.（2023•安徽合肥•合肥一六八中学校考一模）如图，在44?C中，NACB=90°,BOAC,CaLM于一

点4点£是4?的中点，连接您

(1)若4a3,BC=4,求缪的长:

(2)求证：Bd-AC=2DE∙AB；

(3)求证：CE=ɪAB.

32.（2021春•广西南宁•八年级南宁市第四十七中学校考期中）已知：如图，在ΔABC中，ZC≈90o,D

为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDL田于。.求证：AE2+BF2=EF2.

33.（2023•全国•九年级专题练习）阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，4〃为△加C中线，点《在然上，8E交AD于点、F,AE=EF.求证：AC=BF.

经过讨论，同学们得到以下两种思路:

思路一如图①，添加辅助线后依据夕IS可证得△?!叱△在，再利用46=/可以进一步证

得NG=/FAE=NAFE=/BFG,从而证明结论.欧D

思路二如图②，添加辅助线后并利用AE=EF可证得NG=NBFG=NAFE=NF4E,再依据AAS

可以进一步证得△/哙Z∖6Z以从而证明结论.

完成下面问题：

(1)①思路一的辅助线的作法是：；

②思路二的辅助线的作法是：.

(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不

需要写出证明过程).

34.(2022•山西朔州•八年级校考期末)问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图(1),在Rt.ABC

中，ZAC8=90°,ZASC=30°,则4C=g∕18.

图(I)图⑵

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图(1),作A8边上的中线CE,得到结论：①ZXACE为等边三角形；②8E与CE之间的数量关系

为.

(2)如图(2),CE是一ABC的中线，点〃是边Ce上任意一点，连接AD,作等边zMDP,且点夕在ZACB

的内部，连接BP.试探究线段BP与。P之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明.

(3)当点〃为边CB延长线上任意一点时，在(2)中条件的基础上，线段W3与Z)P之间存在怎样的数量关

系？直接写出答案即可.

35.（2023春•全国•八年级专题练习）如图，△%!K中，平分∕54C,Z）GJ.BC且平分阮DEJ.AB

于£,DFJ.AC于F.

(1)证明：BE=CF;

⑵如果A3=5,AC=3,求4?、应•的长.

36.(2022秋•北京海淀•九年级IOl中学校考期末)已知：如图，在ABC中，AB=AC,。是6C的中点.以

做为直径作O,交边AB于点、P,连接AG交朋于点反

(1)求证：助是。的切线;

(2)若用是。的切线，BC=S,求用的长.

专题04巧用中点解决几何问题

一、【知识回顾】

方法与技巧：中点问题常见辅助线做法

①遇到三角形边上的中点，考虑构造三角形的中位线

②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边的中线性质

③遇到等腰三角形底边的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质

④遇到中点+垂线，角平分线+垂线，考虑垂直平分线的性质

⑤遇到面积类型题，考虑三角形中线平分面积

⑥遇到线段数量关系，考虑倍长中线构造全等三角形

二、【考点类型】

考点1：构造三角形的中位线

典例1：（2022秋・四川眉山•九年级校考期中）如图，ABC中，AB=8cm,AC=6cm,点E是BC的中点,

若AD平分∕84C,CDlAD,线段。E的长为（）

A.IcmB.2cmC.3cmD.4cm

【答案】A

【分析】延长8交ABFH利用"角边角"证明△%£＞尸和AAOC全等，根据全等三角形对应边相等可得

AFAC,CD=FD,再求出防并判断出。E是48CF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边

并且等于第三边的一半可得。E=g8尸.

【详解】解：如图，延长C。交AB于尸，

ElAO平分NBAC,

0?C4Z)?FAD,

12CDΛAD,

^ZADC=ZADF=90o,

在△■£）厂和ZXADC中，

ZCAD=ΛFAD

<AD=AD,

ΛADC=ZADF=90o

团ADF@APC（ASA）,

0AF=ΛC,CD=FD,

0BF=AB-AE=8-6=2cm,

又回点E为BC的中点，

回。E是△庆才的中位线，

0DE=ɪBF=IX2=Icm.

22

故选：A

【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟

记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键.

【变式1］（2022秋•山东济宁•九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在,4?C中，AE平分/C48,

AELBE于点E,点尸是BC的中点，若Λ5=10,AC=G,则EF的长为（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】分别延长4C,BE交于点M,构造等腰，A8M,利用等腰三角形的"三线合一"的性质和三角形中

位线定理求解即可.

【详解】解：延长AC,BE交于点、M,

IaAE■平分∕C43,AE工BE,

aZAEB=ZAEM=90°,ZCAE=NBAE,

0AE=AE,

SLABEWAME（SAS）,

^AB=AM=∖O,BE=EM.

EIAC=6,,

SiCM=AM-AC=lO-6=4,

团点?是BC的中点，BE=EM，

固EF为BaW中位线，

^∖.EF=-CM=2.

2

故选：A.

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，

且等于第三边的一半是解题的关键.

【变式2］（2022春•全国•八年级假期作业）己知:如图,在中，中线BE,8交于点QRG分别是08,0C

的中点.

求证：（1）DE//FG；

（2）OG和EF互相平分.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）利用三角形中位线定理即可得H"GSE,且尸G0££

（2）由（1）的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线DG和EF

互相平分.

【详解】（1）在EW8C中，

回8£、CD为中线

^∖AD-BD,AE=CE,

团。£08C且。£=；8C.

在团08C中，

WF=FB,OG=GC,

MG鲂。且FGq8C.

0£>£0FG

（2）由（1）知：

DE^FG,DE=FG.

团四边形DFGE为平行四边形.

团DG和E尸互相平分

【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是

解题关键.

【变式3］（2021•全国•九年级专题练习）如图，在火38C中，的C8=90。，点。，E分别是边N2,NC的

中点，延长BC到点尸，使C尸=WBC连结。、EF,那么CD与EF相等吗？请证明你的结论.

【答案】CD=EF,理由见解析.

【分析】根据角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得。丽。且Z）E=楸8C,然后证得四

边形OMC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可说明.

【详解】解：结论：CD=EF.理由如下：

皿入E分别是边/8、4C的中点，

EZ）≡BC,DE=-BC.

2

0CF=^SC,

2

SlDE=CF,

SI四边形Z）EFC是平行四边形，

OCD=EF.

【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边

并且等于第三功的一半成为解答本题的关键.

考点2：直角三角形斜边的鹅中线

典例2：（2022秋•福建福州•八年级统考期中）如图，在一块含45。角的三角板（NAeC=90。）的顶点B处

作BELAC,垂足为E.在AC的右侧作一AC。使EC=ED,连接£>E,BE的延长线交AD于尸.设

4BFD=a,NBEr>=/7,则下列式子成立的是（）

A.3α+2∕7=600oB.3a-2∕=90°

o

C.2α+y5=360D.2。-£=90°

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质可得出54=BC,因为BE_LAC可得出AE=CE,又根据EC=ED可得出

NECD=ZEDC1AEAF=NAZ）E,最后根据外角的性质即可得出答案.

【详解】限ABC为等腰三角形，ZABC=90。，

EIBA=BC,

^BELACf

0AE=CEz

置EC=ED,

0AE=CE=ED,

ZECD=ZEDC,ZEAF=ZADEf

9/BFD=a=ZEAF+ZAEF=AEAF+90o,

o

AEAF=a-90z

ot

0∕BED=B=ABEC+4CED=90÷IAEAFt

=90o+2（α-90o）=2a-90o,

团2a—/7=90。，

故选D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，通过三角形外角的

性质证得NAW=乙a—90。是解决问题的关键.

【变式1］（2022秋・新疆乌鲁木齐,九年级校考期中）如图，RtABC中，ZABC=90。，AB=8fBC=3,

P是√LBC内部的一个动点，且满足NB4B=NP3C,则线段CP长的最小值为（）

A

BC

A.2B.1C.2√13-6D.2√13-4

【答案】B

【分析】如图，取AB的中点。，连接OC,OP,PC,根据直角三角形斜边中线的性质求出OP,根据勾

股定理求出OC,根据两点之间线段最短得到PC≥OC-OP即可解决问题.

【详解】解：如图，取AB的中点O,连接OC,OP,PC,

A

ZABC=ΛABP+NPBC=90o,NPBC=NPAB,

回NABP+NR4B=90°,

团NAPB=90°,

EIoA=Q8,

0OP=∣AB=4,OC=∖∣OB2+BC2=√42+32=5>

国OP+PC≥OC,

^PC≥OC-OP,

BPC≥l,

团PC的最小值为1,

故选：B.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

【变式2］（2022秋广西贵港•九年级统考期中）如图，在45C中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到

的射线3。与AC交于点E,点尸为BC的中点，连接E产，若8E=AC=4,则ACEF的周长为（）

A.√3+lB.√5+2C.2√5+2D.2√5+3

【答案】C

【分析】根据作图可知8。平分NABC,结合A5=5C,由三线合一求出EC长，根据勾股定理求出Be长,

再根据直角三角形斜边中线的性质求出EF氏，即可解答.

【详解】解：山作图可知，B。平分/ABC,

lz]AB=BC,BE=AC=4,

.∙.BE_LAC,AE=EC=—AC=2,

2

∙'∙BC=《BE?+EC?=√42+22=2√5

BElAC,点尸为BC的中点，

.∙.EF=LBC=FC=后,

2

Z∖CEF的周长为：

Cfi+fiF+FC=2+√5+√5=2√5+2.

故选：C.

【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出BC边是解题的

关键.

【变式3］（2021•广东广州•统考中考真题）如图，在四边形/8CO中，N4BC=90。，点E是NC的中点，

且AC=AD

（1）尺规作图：作NCAD的平分线为E交CD于点、F,连结M、8尸（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若/840=45。，且NC4Q=2∕B4C,证明：ABEF为等边三角形.

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据基本作图一角平分线作法，作出NeAo的平分线/尸即可解答；

（2）根据直角三角形斜边中线性质得到BE=（AC并求出NBEC=N&4C+ZABE=30。，再根据等腰三角形

三线合一性质得出CF=DF,从而得到EF为中位线，进而可证BE=M,ZBEF=GOo,从而由有一个角

是60。的等腰三角形是等边三角形得出结论.

【详解】解：（1）如图，/尸平分/C4Z）,

A

(2)0Zβ4Z)=45o,且Nc4O=2NS4C,

回NCAE)=30°,ZBAC=15o,

0AE=EC,ZABC=90°,

QBE=AE=-AC,

2

ISZABE=NS4C=15°,

13ZBEC=NBAC+ZABE=30o,

又皿I尸平分NC4。，AC=A£),

BCF=DF,

又EIAf=EC,

SEF=-AD=-AC,EFHAD,

22

0ZCfF=ZCAD=30°,

0NBEF=NBEC+ZCEF=60°

^BE=EF=-AC

2

回所为等边三角形.

【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握

等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理.

考点3：等腰三角形三线合一性质

典例3：(2023秋・江西南昌•八年级统考期末)如图所示，ΛBC中，AB=BC,DEj.AB于点、E,DF1BC

于点。，交AC于E

⑴若NAa>=155°,求NEDF的度数；

(2)若点尸是AC的中点，求证：ZCFD=IzS.

【答案】(l)∕EZ>=50°

⑵见解析

【分析】(1)求得NA的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可：

(2)连接BF,根据等腰三角形"三线合一”的性质得到BF工AC,ZABF=ZCBF=^ZABC,又易证

NCFD=NCBF,即得出/CFD=1NABC.

2

【详解】(1)团ZAFD=I55。，

0ZDFC=18Oo-155o=25o.

0DF±BC,DELAB,

⑦NFDC=ZAED=90。,

0ZC=9Oo-25o=65o.

0AB=BC,

国NC=NA=65。,

团ZEDF=360o-65°-155o-90o=50°：

(2)如图，连接所，

0Aβ=BC,且点F是AC的中点，

BBFJ.AC,ZABF=NCBF=LNABC,

2

BZCFD+ZBFD=90°.

BlNCBF+NBFD=90°,

SlNCFD=NCBF,

ΞZCFD=-ZABC.

2

【点睛】本题考查四边形的内角和、三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线,

合理转化角与角之间的关系.

【变式1】（2020•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，，ABC中，AB=AC,ZO是05/C的平分线，EF是AC

的垂直平分线，交/。于点。.若0/=3,则A5C外接圆的面积为（）

A.3πB.4√rC.6πD.9π

【答案】D

【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点0即为ABC外接圆的圆

心，再利用圆的面积公式即可得.

【详解】AB=AC,AD是254C的平分线

ΛADVBC,且AD是BC边上.的中线（等腰三角形的三线合一）

AQ是BC的垂直平分线

EF是AC的垂直平分线

，点。为ΛBC外接圆的圆心，OA为外接圆的半径

OA=3

ABC外接圆的面积为万OA2=9万

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键.

【变式2］（2022秋•浙江杭州•八年级统考期末）如图，在回/BC中，AB=AC,平分回84C,。皿8于E

点，。加C于点F,则下列四个结论：①/D上任意一点到力瓦4C两边的距离相等：②力。勖C且8。=

CD-,（3）^BDE=^CDFi@AE=AF.其中正确的有（）

A.②③B.①③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用"/〃"证明

RLBDE当RLCDF可得对应角ZBDE=NCDF,全等二角形对应边相等可得BE=CF,然后求出他=AF可

得出答案.

【详解】回Ao平分/3AC,

团4。上任意一点到AB、AC的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确.

SIAB=AC,A£>平分,

0ΛD√BC,^BD^CD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确.

0DE√Aβ,DFIAC,

⑦NBED=NCDF=90°,

在RfBDE和自一COF中,

BD=CD

DE=DF

®RfBDE®RteDF（H6

SINBz）E=NeD/故③正确，BE=CF,

^AB-BE^AC-CF,即AE=AF,故④正确，

故选D.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性

质是解题的关键.

【变式3](2022秋,吉林长春•八年级校考阶段练习)如图所示，在ABC中，AB=AC,直线所是48的

垂直平分线，。是BC的中点，例是E尸上一个动点，ASC的面积为12,BC=4,贝IJ周长的最小值

是_______________.

【答案】8

【分析】连接/ZλAM,由EF是线段/8的垂直平分线，得到∕M=8M,则回的周长

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想鲂ZM/的周长最小，即要使∕M+。仞的值最小，故当/、M、。三点共线

时，4W+Z)M最小，即为由此再根据三线合一定理求解即可.

【详解】解：如图所示，连接AM,

团E尸是线段/8的垂直平分线，

SlAM=BM,

SSiBDM的周长=2O+8M+CΛ∕=∕Λ∕+DW+8O,

El要想鲂DW的周长最小，即要使4W+0M的值最小，

团当/、M,£＞三点共线时，4M+DM最小,即为/D,

^4B=AC,。为8C的中点，

EWO0βC,BD=LBC=2,

2

S∖S^BC=^ADBC=∖2,

≡L4Z)=6,

^BDM的周长最小值=∕Z)+8D=8,

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当4

M、。三点共线时，4W+DW最小，即为力D

考点4：垂直平分线性质

典例4：（2022•新疆乌鲁木齐•校考一模）如图，在矩形48CZ）中，Z3=4cm,对角线4C与相交于点O,

A.>∕3cmB.2cmC∙2&CmD.2∖∣3cm

【答案】D

【分析】由矩形的性质得出。4=0。=。。，再根据线段垂直平分线的性质得出OD=CQ,最后根据勾股定

理计算，即可得到答案.

【详解】团四边形48CO是矩形，

^OA=OD=/D,AC=BD,CQ=ZB=4cm,

WA=OD=OC,

⑦Dm4C,AE=3CE,AE+CE=IOC

团OE=CE=LoC,^1DEA=90°f

2

团OZ）=Cz）=4cm,

团OC=OD=CD=4cm,

^OE=CE=-OC—2cm

2

^DE=y∣OD2-OE2=2√3cm

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、垂宜平分线的性

质，从而完成求解.

【变式1】（2021•四川内江•统考中考真题）如图，矩形ABCf）中，AB=6,BC=S,对角线5。的垂直平分

线EF交A力于点E、交BC于点F,则线段EF的长为

【答案】当#7.5

2

【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出8。，证明A8O∕=≡8CD,根据相似三角形的性质得到比例式，求

出即即可.

【详解】解：如图：

V四边形A6CO是矩形，

.-.ZA=90°,又AB=6,AD=BC=S,

BD=>JAB2+AD2=IO-

E■尸是8。的垂直平分线，

.∙.OB=OD=5,ZBOF=90°,又NC=90。,

:ZOFSSBCD,

.OFBO

..1=,

CDBC

OF5

•••——=一，

68

解得‘8=a

四边形ABer）是矩形，

.∙.AD∕∕BC,ZA=90o.

.-"EDO=AFBO,

£■户是80的垂直平分线，

.∙.BO=DO,EFVBD,

在ΔDEO和∆β"）中，

.NEDO=NFBO

,BO=DO,

NEoD=NFoB

.∙.ΔDEO≤ΔBFO（ASA）,

：.OE=OF,

.∙.EF=2OF=-.

2

故答案为：~.

【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直

角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键.

【变式2】（2020•江西•统考中考真题）如图，AC平分NoCB,CB=CD,QA的延长线交BC于点E,若

ZE4C=49,则/3AE的度数为.

【答案】82°.

【分析】如图，连接8。，延长C4与Bo交于点尸,利用等腰三角形的三线合一证明CF是8。的垂直平分线,

从而得到AB=An再次利用等腰三角形的性质得到：NiWF=NBA尸,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接BD,延长C4与8力交于点F,

AC平分NoCB,CB=CD,

.-.CF1BD,DF=BF,

∙∙∙b是8。的垂直平分线，

.∙.AB=AD,

ZDAF=ZBAF,

.NEAC=49。，

.∙.ZDAF=ZBAF=NEAC=49°,

.∙.NBAE=180o-49°-49°=82°,

故答案为：82°.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.

【变式3］（2020•江苏连云港•中考真题）如图，在四边形ABer）中，AD//BC,对角线BO的垂直平分线与

边AD、BC分别相交于M、N.

（1）求证：四边形助WW是菱形；

（2）若BD=24,MN=IO,求菱形BNDM的周长.

【答案】（1）见解析；（2）52

【分析】（1）先证明ABON丝△"＞用，得到四边形BNZ）M为平行四边形，再根据菱形定义证明即可;

（2）先根据菱形性质求出OB、OM,再根据勾股定理求出BM,问题的得解.

【详解】（1）ADHBC,SiNCBD=NADB.

团MN是对角线8。的垂直平分线，

SlOB=OD,MB=MD.

'NCBD=ZADB

在∕∖BON和ADOMψ,OB=OD,

ZBON=ZDOM

BONDOM(ASA),

QMD=NB,

回四边形BM)M为平行四边形.

又回MB=MD,

国四边形aV。M为菱形.

(2)回四边形BNE)用为菱形，BD=24,MN=10.

SINBoM=90°，OB=-BD=12,OM=LMN=5.

2