2023年全国初中生数学素养与创新能力竞赛

2023年全国初中生数学素养与创新能力竞赛

（初二组）初赛试题

一、选择题（本题满分24分，每小题7分）

1.已知「'=-2,则了…的值等于（）

£__1

A.8B.16C.16D.16

2.计算（3+1）（3,+1）（3,+D（3'+1）州+1）（3勺）的结果为（）

3M-13%-1

A.3M-1B.F-C.3"D.F

3.已知M={,2,x]，我们称为集合M,其中1,2,x

叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在）、互

异性（即集合中的元素不能重复，如”1）、无序性（即改变元素的

顺序，集合不变）.若集合N=&L2],我们说M=N.已知集合A={Oa],

集合B』a'L居，若人=8,则b-a的值是（）

A.-IB.OC.lD.2024

4.已知（X-2021），Kx-2023-=48,贝！।（.『2022了的值为（）

A.23B.24C.2023D.2024

c

5.”B如图，在DABC中，DBAC的平分线交于点I,若

DB=35°,BC=AI+AC,则DBAC的度数为（）

A.60°

B.70°

C.80°

D.90°

6.已知a>bX）,且个+9=3ab,则ab'Tb2的值为

（）

[「1

A.石B.5C.-<5D,5

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

6x+3

7.若x为整数，则使分式罚值为整数的x值有一个.

8.已知等腰三角形的三边长6,c均为整数，且满足

a+bc+b+ac=24,则这样的三角形共有

一个.

工在DABC中，高AD,BE所在的直线交于点H,若AH=BC,贝ljDBAC

的度数是1

1。.为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香

樟和红枫.初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：

7,需香樟数量之比为4：3：9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为

2：3.在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预

算高25%,香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与

预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用

之比为.

三、（本大题满分20分）

11.解方程

—2=—+----2-----+-----2-----+LL4-----2-----=」5一

x(x+l)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+9)(.x+10)x+10

四、本大题满分255分

12.在三角形ABC中，0B=46°,D是

BC边上一点，DC=AB,Dbad=21°,求DCAD的度数.

五、本大题满分25分

13.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的

各数位上的数字之和加整除，则称N是机的“和倍数”.

例如：•.•247+(2+4+7)=247+13=19,,247是13的“和倍数”.

又如：•.•2144-(2+1+4)=2144-7=30...4,214不是“和倍数”.

(1)判断357,441是否是“和倍数”？说明理由；

(2)三位数A是12的“和倍数”，6,c分别是数A其中一个数

位上的数字，且a＞》＞c.在ac中任选两个组成两位数，其中

F(A)+G(A)

最大的两位数记为尸(A),最小的两位数记为G(A),若一16~

为整数，求出满足条件的所有数A.

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(初二组)初赛试题参考答案和评分标准

一、1D2B3.C4A5B6C

二、748.3945。或135。101

三、11原方程化简为2-2j+Y^-―+…+―y----=―..........................................8分

%x+Ix+I«+2x+9«+10%+10

整理，得2-^^=』...........................................................................14分

xx+10«+10

解得（:4....................................................................................18分

经检验,“=4是原分式方程的解......................................................................20分

四、12如图.作△45。关于直线的地对称图形交友:于点。

则㈤。二ZJ34D=2I°,U£D=ZB=46°,AE=AE,0£=3ZZ....................................6分

因为乙40c=乙B+血D=46。+21。=67。.

所以小IOE二LADB=180。-67。=1130.

所以乙a）E=ll3。67。=46。.

所以乙ODE二乙OED二46°.

所以0。=。£.....................................................................................12分

连接CE......................................................................................14分

因为DC=AB/CDE=^B,DE-BD,

所以ACOEsA.4BD（S.A.S，X

所以DC-AB=AE.

所以0.4:OC

所以一3二乙CAO............................................................................20分

所以zTOE-LACO+/JCAO-1LCA0.

因为乙COE-乙ODE+乙OED-2x46。一92。.

所以乙CAO-46。.

所以乙C4D="4D+4CAO=21°+的。=672......................................................25分

£

第12题衽

五、13.⑴因为357+(3+5+7)=357415=23……12,所以357不是“和倍数”；

因为441詈(4+4+1)=441*9=49,所以441是9的“和倍数”...............................................2分

⑵因为三位数4是12的“和倍数”.所以a+6+c-⑵

因为a>J>c.所以在o,6,c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数/(A)=l的+儿最小的两位数G(.4)=l0c+b.

所以尸(4)+G(.4)=l0a+6+lOc+fe-IQB+2Z»+10c.

因为"步出为整数.

16

所以设-左丁为.数)，则0a二左

"A；1：6。''161+旧’

整理.得5a+5c+6=8k

因为a+6+c二12,所以a+c=12-6........................................................*......6分

因为所以I2-b>b.

解得6<6.

因为“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，所以a>6>c>(l

所以6>I.所以I<b<6.........................................................................10分

把a+c=12T代入5a+5c+6二彩.得%12-5)+6=84.

整理.得6=15-2斤.

因为1<6<64为整数,所以6二3或b=5...........................................................12分

①当6:3时.a+c=12-3:9.

因为a>/,>©>().所以a>3.0<c<3.

所以a=7,b=3tc=2或a=8.b=3.c=l.

要使三位数A是12的“和倍数”,数A必须是一个偶数.

当a=7.b=3.c=2时，组成的三位数为732或372.

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（初二组）初赛试题参考答案和评分标准

因为732+12-61,所以732是12的“和倍数”.

因为372・12=31,所以372是