《第21章 一元二次方程》同步练习及答案

《第二十一章一元二次方程》同步练习第一部分：《第二十一章一元二次方程》自我小测21.2.1配方法复习巩固1．方程x2－256＝0的根是()A．16B．－16C．16或－16D．14或－142．用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，得方程的根为()A．x＝3＋B．x1＝3＋，x2＝3－C．x＝3－D．x1＝3＋，x2＝3－3．以下的配方运算中，不正确的是()A．x2＋8x＋9＝0，化为(x＋4)2＝25B．2t2－7t－4＝0，化为C．x2－2x－99＝0，化为(x－1)2＝100D．3x2－4x－2＝0，化为4．若将方程x2－6x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值分别是()A．3和5B．－3和5C．－3和14D．3和145．若x2＋6x＋a2是一个完全平方式，则a的值是()A．3B．－3C．±3D．6．用适当的数填空．(1)x2＋3x＋__________＝(x＋__________)2；(2)16x2－8x＋__________＝(4x－__________)2；(3)a2－4ab＋__________＝(a－__________)2.7．方程(2x－1)2－25＝0的解为__________．8．当x＝__________时，代数式x2－8x＋12的值是－4.9．用配方法解方程6x2－x－12＝0.10．用配方法解方程x(x＋8)＝16.能力提升11．有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2－16x＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是()A．24B．24或C．48D．12．若4x2＋(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为()A．±12B．－11或－12C．13D．13或－1113．当x取任意值时，代数式x2－4x＋9的最小值为()A．0B．9C．5D．414．在实数范围内定义一种运算“※”：a※b＝a2－b，按照这个规则，(x＋3)※25的结果刚好为0，则x的值为__________．15．若(x2＋y2－5)2＝4，则x2＋y2＝__________.16．用配方法解方程(x－1)2－2(x－1)＋＝0.17．阅读理解：解方程4x2－6x－3＝0.解：4x2－6x－3＝0，配方，得4x2－6x＋－－3＝0，即4x2－6x＋9＝12.故(2x－3)2＝12.即，以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．参考答案复习巩固1．C因为x2－256＝0，所以x2＝256.故x1＝16，x2＝－16，应选C.2．B因为(x－3)2＝8，所以x－3＝.故x1＝3＋，x2＝3－.3．A由x2＋8x＋9＝0，配方可得(x＋4)2＝7.4．C将x2－6x－5＝0配方，得(x－3)2＝14，对应(x＋m)2＝n，可得出m＝－3，n＝14.故选C.5．C原式＝x2＋6x＋9－9＋a2＝(x＋3)2＋(a2－9)，由其是一个完全平方式知a2－9＝0，得a＝±3.6．(1)(2)11(3)4b22b7．3或－2因为(2x－1)2－25＝0，所以(2x－1)2＝25.所以2x－1＝±5.所以x1＝3，x2＝－2.8．4因为据题意可得x2－8x＋12＝－4，所以x2－8x＋16＝0.所以(x－4)2＝0.所以x＝4.9．解：原式两边都除以6，移项得x2－＝2.配方，得，即因此或，所以，.10．解：原方程可化为x2＋8x＝16，配方，得x2＋8x＋42＝16＋42，即(x＋4)2＝32，所以x＋4＝.所以，.能力提升11．B解方程x2－16x＋60＝0，得x1＝10，x2＝6.根据三角形的三边关系，知x1＝10，x2＝6均合题意．当三角形的三边分别为6,8,10时，构成的是直角三角形，其面积为×6×8＝24；当三边分别为6,6,8时，构成的是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为，此时三角形的面积为.故选B.12．D因为4x2＋(k－1)x＋9＝(2x)2＋(k－1)x＋32是完全平方式，所以k－1＝±2×2×3，即k－1＝±12.所以k＝13或k＝－11.13．Cx2－4x＋9＝x2－4x＋4＋5＝(x－2)2＋5.因为(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋5的最小值为5，即x2－4x＋9的最小值为5.14．2或－8由规则可得(x＋3)2－25＝0，解得x1＝2，x2＝－8.15．7或3由题意可知x2＋y2－5＝，即x2＋y2＝5±2，所以x2＋y2＝7或x2＋y2＝3.16．解：设x－1＝y，则原方程可化为y2－2y＋＝0.解得.因此x－1＝，即.故x1＝2＋，x2＝2－.17．解：错在没有把二次项系数化为1.正解：原式可化为，配方，得，即，，得，.自我小测21.2.2公式法第1课时复习巩固1．一元二次方程2x2－3＝4x化为一般形式后，a，b，c的值分别为()A．2，－3,4B．2，－4，－3C．2,4，－3D．2，－3，－42．一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是()A．x1＝1，x2＝－4B．x1＝－1，x2＝4C．x1＝－1，x2＝－4D．x1＝1，x2＝43．用公式法解方程x2－6x－6＝0，正确的结果是()A．x＝－3＋B．x＝－3－C．x＝－3±D．x＝3±4．用公式法解方程2t2＝8t＋3，得到()A．B．C．D．5．若两个相邻正奇数的积为255，则这两个奇数的和是()A．30B．31C．32D．346．一元二次方程3x2＋5＝4x中，b2－4ac的值为__________．7．方程3x2－x－2＝0的解是____________．8．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2＋2m－3＝0有一根为0，则m的值是__________．9．有一长方形的桌子，长为3m，宽为2m，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为__________，宽为__________．10．用公式法解下列方程：(1)2x2＋8x－1＝0；(2)(x＋1)(x－1)＝.能力提升11．关于x的一元二次方程x2－m(3x－2n)－n2＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A．1,3mn,2mn－n2B．1，－3m,2mn－n2C．1，－m，－n2D．1,3m,2mn－n212．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.则利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝－3，x2＝－1D．x1＝－1，x2＝－213．如果x2＋1与4x2－3x－5互为相反数，则x的值为__________．14．已知线段AB的长为a.以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E.以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为__________．15．解关于x的方程x2－m(3x－2m＋n)－n2＝0(其中m，n≥0)．16．阅读材料，回答问题．材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0①，解得y1＝－2，y2＝3.当y＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y＝3时，x2＝3，解得.所以原方程的解为，.问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了__________的数学思想．(2)利用上述的解题方法，解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.参考答案复习巩固1．B2．A因为a＝1，b＝3，c＝－4，b2－4ac＝32－4×1×(－4)＝25，所以.所以x1＝1，x2＝－4.3．D因为a＝1，b＝－6，c＝－6，b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－6)＝60；所以.4．A原方程可化为2t2－8t－3＝0.因为a＝2，b＝－8，c＝－3，b2－4ac＝(－8)2－4×2×(－3)＝88，所以.5．C设这两个正奇数分别为x，x＋2(x＞0)，则x(x＋2)＝255.解得x1＝15，x2＝－17(舍去)．故这两个奇数的和为15＋17＝32.6．－44原方程可化为3x2－4x＋5＝0，故b2－4ac＝(－4)2－4×3×5＝－44.7．，8．－3由题意，得m2＋2m－3＝0，且m－1≠0.解得m＝－3.9．4m3m桌布的面积为3×2×2＝12(m2)．设垂下的长度为x，则(3＋2x)(2＋2x)＝12，解得.故桌布的长为4m，宽为3m.10．解：(1)a＝2，b＝8，c＝－1，代入公式，得，.(2)原方程化简得x2－－1＝0，a＝1，，c＝－1，代入公式，得，.能力提升11．B原方程可化为x2－3mx＋2mn－n2＝0.故选B.12．D由题意可知，这种解方程的方法为整体代入法，设2x＋5＝y，则(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0可化为y2－4y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝3.当y＝1时，即2x＋5＝1，解得x＝－2；当y＝3时，即2x＋5＝3，解得x＝－1.所以方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为x1＝－1，x2＝－2.13．或由题意，得＋1＋4x2－3x－5＝0，解得或.14．设AE的长为x，则BE的长为a－x，根据题意，得x2＝(a－x)·a.解得.故AE的长为.15．解：将原方程化为一般形式为x2－3mx＋(2m2－mn－n2)＝0.因为a＝1，b＝－3m，c＝2m2－mn－n2，所以b2－4ac＝(－3m)2－4×1×(2m2－mn－n2)＝m2＋4mn＋4n2＝(m＋2n)2≥0.所以.所以x1＝2m＋n，x2＝m－n.16．解：(1)换元转化(2)令x2－x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0.因为a＝1，b＝－4，c＝－12，所以b2－4ac＝16－4×1×(－12)＝64＞0.所以，即y1＝－2，y2＝6.当y＝－2时，x2－x＝－2，即x2－x＋2＝0，此方程无解；当y＝6时，x2－x＝6，解得x1＝－2，x2＝3.所以原方程的解为x1＝－2，x2＝3.自我小测21.2.2公式法第2课时复习巩固1．一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根2．下列方程中，有两个相等实数根的是()A．x2－＋5＝0B．2x2＋4x＋35＝0C．2x2－15x－50＝0D．3．一元二次方程x2＋4x＋c＝0中，c＜0，该方程的根的情况是()A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定4．若关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0B．8C．4±D．0或85．若一元二次方程x2－ax＋2＝0有两个实数根，则a的值可以是()A．0B．1C．2D．36．若关于x的方程x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＞－1B．k≥－1C．k＞1D．k≥07．关于x的一元二次方程x2－ax＋(a－1)＝0的根的情况是__________．8．若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是__________．9．当k取何值时，关于x的一元二次方程x2－4x＋k－5＝0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．能力提升10．对于关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是()A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解11．已知a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则三角形的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形12．若一元二次方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为__________．13．若关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是__________．14．证明不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．15．已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：该方程有两个不相等的实数根．(2)若此方程的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，设y＝x2－x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．参考答案复习巩固1．D因为Δ＝22－4×1×2＝4－8＝－4＜0，所以原方程无实数根．2．A3．B由于Δ＝42－4c＝16－4c，而c＜0，故Δ＞0.因此该方程有两个不相等的实数根．4．D由题意，得(m－2)2－4×1×(m＋1)＝0.解得m1＝0，m2＝8.故选D.5．D由题意，得(－a)2－4×1×2≥0.化简，得a2≥8.四个选项中满足a2≥8的只有3，故选D.6．D由题意得解得k≥0.7．有实数根因为Δ＝(－a)2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以原方程一定有实数根．8．k≤4，且k≠0由|b－1|＋＝0，得a＝4，b＝1.故一元二次方程kx2＋ax＋b＝0即kx2＋4x＋1＝0.因为该方程有实数根，所以16－4k×1≥0，且k≠0.解得k≤4，且k≠0.9．解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k.(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＞0，即36－4k＞0.解得k＜9.(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即36－4k＝0.解得k＝9.(3)因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即36－4k＜0.解得k＞9.能力提升10．C当k＝0时，方程变为x－1＝0，x＝1.故选项A错误．当k＝1时，方程变为x2－1＝0，方程有两个实数解x1＝1，x2＝－1.故选项B错误；当k＝－1时，方程变为－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.故选项C正确，选项D错误．故选C.11．B原方程可变形为(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.依题意，得4b2－4(a＋c)(a－c)＝0.整理，得b2＋c2＝a2.所以此三角形是直角三角形．故选B.12．，且a≠0因为方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，所以4－16a＞0，解得.因为ax2－2x＋4＝0是一元二次方程，所以a≠0.13．8讨论：(1)若a＝6，则原方程变为－8x＋6＝0.此时.(2)若a≠6，则b2－4ac＝(－8)2－24(a－6)≥0.解得.综上，.故整数a的最大值为8.14．证明：因为b2－4ac＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，所以不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．15．(1)证明：因为k是整数，所以.所以2k－1≠0.因为b2－4ac＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)解：y是k的函数．解方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0，得.所以x＝3或x＝1＋.因为k是整数，k≠0，所以.所以1＋≤2＜3.又因为x1＜x2，所以x1＝1＋，x2＝3.所以.自我小测21.2.3因式分解法复习巩固1．一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A．x＝0B．x＝1C．x＝0或x＝1D．x＝0或x＝－12．一元二次方程x2－x＋＝0的根是()A．，B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝D．x1＝x2＝3．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较为简便的方法是()A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法4．方程x(x－4)＝32－8x的解是()A．x＝－8B．x1＝4，x2＝－8C．x1＝－4，x2＝8D．x1＝2，x2＝－85．用因式分解法把方程(x－1)(x－2)＝12分解成两个一元一次方程，下列分解中正确的是()A．x－5＝0，x＋2＝0B．x－1＝3，x－2＝4C．x－1＝2，x－2＝6D．x＋5＝0，x－2＝06．如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，那么方程x2－6mx＝0的根为()A．x＝2B．x＝0C．x1＝2，x2＝0D．以上答案都不对7．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．8．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．9．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是__________．10．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.能力提升11．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q可分解为()A．(x＋3)(x－4)B．(x－3)(x＋4)C．(x＋3)(x＋4)D．(x－3)(x－4)12．用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，则m的值为()A．7B．－7C．6D．－613．定义新运算“”如下：当a≥b时，ab＝ab＋b；当a＜b时，ab＝ab－a.若(2x－1)(x＋2)＝0，则x＝__________.14．按指定的方法解下列方程：(1)(2x－1)2－32＝0(直接开平方法)；(2)3x2＋4x＋1＝0(配方法)；(3)x2－x－7＝0(公式法)；(4)x2－1＝3x－3(因式分解法)．15．小张和小林一起解方程x(3x＋2)－6(3x＋2)＝0.小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)＝0，所以3x＋2＝0或x－6＝0.方程的两个解为，x2＝6.小林的解法是这样的：移项，得x(3x＋2)＝6(3x＋2)，方程两边都除以(3x＋2)，得x＝6.小林说：“我的方法多简便！”可另一个解哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？16．有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．参考答案复习巩固1．C由x(x－1)＝0，得x＝0或x－1＝0，即x＝0或x＝1.故选C.2．D因为x2－x＋＝0，即，所以x1＝x2＝.3．B4．B移项，得x(x－4)－(32－8x)＝0，即x(x－4)－8(4－x)＝0，也即(x－4)(x＋8)＝0.故x1＝4，x2＝－8.5．A原方程可化为x2－3x－10＝0，即(x－5)(x＋2)＝0.故x－5＝0或x＋2＝0.6．C因为x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，所以(－1)2－m－2m＝0，得.所以方程x2－6mx＝0即为x2－2x＝0，解得x1＝2，x2＝0.7．x1＝－2，x2＝3移项，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，即(x＋2)(x－3)＝0.故x1＝－2，x2＝3.8．±3由题意，得3x2－6＝21，解得x＝±3.9．0或4把x＝2代入方程(m－2)x2＋4x－m2＝0，得4(m－2)＋8－m2＝0.解这个方程，得m1＝0，m2＝4.10．解：(1)因为将原方程整理，可得x2＋2x＝0，即x(x＋2)＝0，所以x＝0或x＋2＝0.所以x1＝0，x2＝－2.(2)整理，得(3x－1)2－[2(2x＋3)]2＝0，即[3x－1＋2(2x＋3)][3x－1－2(2x＋3)]＝0，(3x－1＋4x＋6)(3x－1－4x－6)＝0，(7x＋5)(－x－7)＝0，所以7x＋5＝0或－x－7＝0.所以，x2＝－7.能力提升11．B因为方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，所以x2＋px＋q＝(x－3)[x－(－4)]＝(x－3)(x＋4)．12．C由题意可得x＋1＝0，则x＝－1，即方程x2－mx－7＝0有一个解为－1.因此(－1)2－m×(－1)－7＝0.故m＝6.13．－1或若2x－1＜x＋2，此时x＜3.根据定义，(2x－1)⊕(x＋2)＝(2x－1)(x＋2)－(2x－1)＝0，解得x1＝－1，，这两个解均符合题意．若2x－1≥x＋2，此时x≥3.根据定义，(2x－1)⊕(x＋2)＝(2x－1)·(x＋2)＋(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，这两个解均不符合题意．综上所述，x＝－1或.14．解：(1)将原方程整理，得(2x－1)2＝64，开平方，得2x－1＝±8,2x＝1±8，，所以，.(2)将原方程移项，得3x2＋4x＝－1，方程两边同时除以3，得，配方，得，即，，.所以，.(3)因为b2－4ac＝(－1)2－4×(－7)＝29，所以，即，.(4)原方程可化为x2－1－3x＋3＝0，即(x＋1)(x－1)－3(x－1)＝0，(x－1)(x＋1－3)＝0，于是x－1＝0或x－2＝0，所以x1＝1，x2＝2.15．解：小林的解法不对，因为3x＋2可能为0，等式两边不能同时除以一个等于零的整式．16．解：设大正方形的边长为xcm，根据题意，得－x2＝32.整理，得x2－16x＝0，即x(x－16)＝0.解得x1＝16，x2＝0(不合题意，舍去)．因此16×＋4＝12(cm)．答：大正方形的边长为16cm，小正方形的边长为12cm.自我小测21.2.4一元二次方程的根与系数的关系复习巩固1．下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是()A．x2＋2x－3＝0B．x2－2x＋3＝0C．x2－2x－3＝0D．x2＋2x＋3＝02．设一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝2B．x1＋x2＝－4C．x1x2＝－2D．x1x2＝43．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是()A．a＝－3，b＝1B．a＝3，b＝1C．，b＝－1D．，b＝14．若一元二次方程x2＋kx－3＝0的一个根是x＝1，则该方程的另一个根是()A．3B．－1C．－3D．－25．已知方程x2－5x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为()A．－7B．－3C．7D．36．已知m，n是方程x2＋＋1＝0的两根，则代数式的值为()A．9B．±3C．3D．57．已知方程x2－4x－7＝0的根是x1和x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.8．若方程x2－2x＋a＝0的一个根是3，则该方程的另一个根是__________，a＝__________.9．若x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x21＋3x1x2＋x22的值为__________．10．已知方程x2＋3x－1＝0的两实数根为α，β，不解方程求下列各式的值．(1)α2＋β2；(2)α3β＋αβ3；(3).能力提升11．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是()A．1B．12C．13D．2512．若关于x的一元二次方程x2＋(m2－9)x＋m－1＝0的两个实数根互为相反数，则m的值是__________．13．设a，b是方程x2＋x－2015＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为__________．14．在解方程x2＋px＋q＝0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2.这个方程正确的根应该是什么？15．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．16．阅读材料：已知p2－p－1＝0,1－q－q2＝0，且pq≠1，求的值．解：由p2－p－1＝0,1－q－q2＝0，可知p≠0，q≠0.又因为pq≠1，所以p≠.所以1－q－q2＝0可变形为.所以p与是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根．故p＋＝1，即＝1.根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知2m2－5m－1＝0，，且m≠n，求的值．参考答案复习巩固1．C选项B中的方程无实数根．本题易误选为B.2．A3．D由根与系数的关系知，x1＋x2＝－2a，x1x2＝b.因此－2a＝3，b＝1，即，b＝1.故选D.4．C设方程的另一个根为x1，由x1·1＝－3，得x1＝－3.5．D由根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝2.故x1＋x2－x1x2＝5－2＝3.6．C根据一元二次方程的根与系数的关系，得m＋n＝，mn＝1.故.7．4－78．－1－3设方程的另一个根是x1，则解得x1＝－1，a＝－3.9．7x12＋3x1x2＋x22＝(x1＋x2)2＋x1x2＝32＋(－2)＝7.10．解：因为α，β是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，所以α＋β＝－3，αβ＝－1.(1)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－3)2－2×(－1)＝11.(2)α3β＋αβ3＝αβ(α2＋β2)＝(－1)×11＝－11.(3).能力提升11．C由根与系数的关系，得x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，则(x1－x2)2＝－2x1x2＝7－2(2m－1)＝9－4m；又因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝m2－4(2m－1)，所以9－4m＝m2－8m＋4，解得m1＝5，m2＝－1.当m＝5时，Δ＜0，故m＝－1.此时(x1－x2)2＝9－4×(－1)＝13.12．－3由根与系数的关系，得－(m2－9)＝0，解得m＝±3.但当m＝3时，原方程无实根，故m＝－3.13．2014因为a，b是方程x2＋x－2015＝0的两个不相等的实数根，故由根与系数的关系可得a＋b＝－1①，由根的定义，得a2＋a－2015＝0，即a2＋a＝2015②.再由①＋②得a2＋2a＋b＝2014.14．解：由题意，得1×(－3)＝q,4＋(－2)＝－p.从而可得p＝－2，q＝－3.因此原方程为x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.故这个方程正确的根为3与－1.15．解：(1)依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得.(2)依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.因为，所以k＝－3.综合①②可得k＝－3.16．解：由2m2－5m－1＝0知m≠0.因为m≠n，所以.所以.根据与的特征，可知与是方程x2＋5x－2＝0的两个不相等的实数根．所以根据根与系数的关系，得.自我小测21.3实际问题与一元二次方程第1课时复习巩固1．某种衬衣原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下面所列方程中正确的是()A．168(1＋a%)2＝128B．168(1－a%)2＝128C．168(1－2a%)＝128D．168(1－a2%)＝1282．某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂5,6月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是()A．50(1＋x)2＝182B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182C．50(1＋2x)＝182D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1823．初中毕业时，九年级(1)班的每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送1张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x－1)＝2070B．x(x＋1)＝2070C．2x(x＋1)＝2070D．＝20704．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若小分支、支干和主干的总数目是73，则每个支干长出的小分支的数目为()A．7B．8C．9D．105．兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为__________．6．一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数为__________．7．某种商品的进价为10元，当售价为x元时，能销售该商品(x＋10)个，此时获利1500元，则该商品的售价为__________元．8．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数．能力提升9．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为()A．25B．36C．25或36D．－25或3610．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k(0＜k＜1)倍．已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的一个方程是()A．B．C．D．11．某市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环式(即每两个选手之间都赛一场)，半决赛共进行了6场，则共有__________人进入半决赛．12．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？13．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？14．据统计，某小区2017年底拥有私家车125辆，2019年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2017年底到2020年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2020年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．参考答案复习巩固1．B2.B3．A由题意可知，每名同学都送出(x－1)张照片，所以全班共送出x(x－1)张照片，于是有x(x－1)＝2070.故选A.4．B设每个支干长出n个小分支，则据题意得1＋n＋n2＝73，解得n＝8.5．72(1－x)2＝566．6设这个多边形的边数为n，则，解得n＝6.7．40由题意，得x(x＋10)－10(x＋10)＝1500.解得x1＝40，x2＝－40(舍去)．8．解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5－x.根据题意，得[10x＋(5－x)]·[10(5－x)＋x]＝736.整理，得x2－5x＋6＝0.解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原来的两位数是23.当x＝3时，5－x＝2，符合题意，原来的两位数是32.答：原来的两位数是23或32.能力提升9．C设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x＋3.依题意，得10x＋(x＋3)＝(x＋3)2，解得x1＝2，x2＝3.故这个两位数为25或36.10．A第一次进入木板的铁钉长度为，第二次进入木板的铁钉长度为，第三次进入木板的铁钉长度为，所以.故选A.11．4设共有n人进入半决赛，则需进行场比赛．因此n(n－1)＝6，解得n＝4或n＝－3(舍去)．12．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得1＋x＋(1＋x)x＝81.(1＋x)2＝81.x＋1＝9，或x＋1＝－9.解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．(1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．13．解：(1)设每千克核桃应降价x元，根据题意，得(60－x－40)＝2240.化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为60－6＝54(元)，×100%＝90%.答：该店应按原售价的九折出售．14．解：(1)设私家车拥有量的年平均增长率为x，则125(1＋x)2＝180，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．故180(1＋20%)＝216(辆)．答：该小区到2020年底私家车将达到216辆．(2)设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则由①得b＝150－5a，代入②得20≤a≤，因为a是正整数，所以a＝20或21.当a＝20时，b＝50；当a＝21时，b＝45.所以方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：建室内车位21个，露天车位45个．自我小测21.3实际问题与一元二次方程第2课时复习巩固1．一个直角三角形的面积是30，其两直角边的和是17，则其斜边长为()A．17B．26C．30D．132．从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是()A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm23．在一幅长60cm、宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()A．(60＋x)(40＋2x)＝2816B．(60＋x)(40＋x)＝2816C．(60＋2x)(40＋x)＝2816D．(60＋2x)(40＋2x)＝28164．要用一根铁丝围成一个面积为120cm2的长方形，并使长比宽多2cm，则长方形的长是______cm.5．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动__________m.6．若一直角三角形的三条边长为三个连续偶数，且面积为24cm2，则此三角形的三条边长分别为__________．7．今要对一块长60m、宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，已知矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等．若使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．8．某超市将进价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，那么其销售量就减少10件．超市若靠卖这种商品每天赚得8000元的利润，应把这种商品的售价定为每件多少元？能力提升9．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为m2，则此方格纸的面积为()A．11m2B．12m2C．13m2D．14m210．把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子．如果这个盒子的容积是1500cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为xcm，则正确的方程是()A．(2x－20)(x－20)＝1500B．(2x－10)(x－20)＝1500C．10(2x－20)(x－20)＝1500D．10(x－10)(x－20)＝150011．有一个菱形水池，它的两条对角线的差为2cm，水池的边长是5cm，则这个菱形水池的面积为__________．12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．问几秒时点P和点Q的距离是10cm?参考答案复习巩固1．D设一直角边长为x，则另一直角边长为17－x，由题意，得x(17－x)＝30.解得x1＝5，x2＝12.根据勾股定理得斜边长为＝13.2．D设正方形的边长为xcm，则依题意，得x(x－2)＝48.解得x1＝8，x2＝－6(舍去)．故原正方形的面积是82＝64(cm2)．3．D4．12设宽为xcm，则依题意，得x(x＋2)＝120，解得x1＝10，x2＝－12(舍去)．故x＋2＝10＋2＝12.5．－6设梯子的底端滑动xm，据题意得72＋(x＋6)2＝102，解得x＝－6.6．6,8,10设三条边长分别为x－2，x，x＋2，则依题意，得(x－2)2＋x2＝(x＋2)2，解得x1＝8，x2＝0(舍去)．故三条边长分别为6,8,10.7．解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为xm，根据题意，得(40－2x)(60－3x)＝60×40×，解得x1＝10，x2＝30(不符合题意，舍去)．所以，两块绿地周围的硬化路面的宽都为10m.8．解：设应把这种商品的售价定为每件(50＋x)元，则每件商品的利润为[(50＋x)－40]元，每天的销售量为(500－10x)件．根据题意，得[(50＋x)－40](500－10x)＝8000.解得x1＝10，x2＝30.所以每天要赚得8000元的利润，应把这种商品的售价定为每件60元或80元．能力提升9．B设方格纸的边长是xm，根据题意，得，x2＝12.所以方格纸的面积是12m2.10．C这个盒子的长、宽、高分别是(2x－20)cm，(x－20)cm，10cm，所以应选C.11．24cm2设这个菱形水池的两条对角线分别为xcm，(x＋2)cm，则依题意，得，解得x1＝6，x2＝－8(舍去)．故这个菱形水池的面积是x(x＋2)＝×6×8＝24(cm2)．12．解：设每件衬衫降价x元，依题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10(元)，x2＝20(元)，因为要尽快减少库存，所以x＝10(元)舍去．答：每件衬衫应降价20元．13．解：设ts后，点P和点Q的距离是10cm，则AP＝3tcm，CQ＝2tcm.过点P作PE⊥CD于点E，所以AD＝PE＝6cm，EQ＝16－2t－3t＝(16－5t)(cm)．在Rt△PQE中，由勾股定理PQ2＝PE2＋EQ2列方程，得100＝62＋(16－5t)2.解这个方程，得，.答：P，Q两点从出发开始到s或s时，点P和点Q的距离是10cm.《第二十一章一元二次方程》单元小测复习巩固1．下列选项中是一元二次方程的为()A．x2＋2x－3B．x2＋3＝0C．(x2＋3)2＝9D．x＋＝42．方程的二次项系数与一次项系数及常数项之积为()A．3B．C．D．－93．把方程化为一元二次方程的一般形式是()A．5x2－4x－4＝0B．x2－5＝0C．5x2－2x＋1＝0D．5x2－4x＋6＝04．若x＝2是关于x的一元二次方程x2－mx＋8＝0的一个解，则m的值是()A．6B．5C．2D．－65．在某次聚会上，每两人互相握一次手，所有人共握手10次，若设有x人参加这次聚会，则下列方程正确的是()A．x(x－1)＝10B．C．x(x＋1)＝10D．6．一元二次方程2x2＋4x－1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为__________．7．已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为__________．8．把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．9．已知方程(m＋4)x|m|－2＋8x＋1＝0是一元二次方程，求m的值．10．根据题意，列出方程：(1)一个三角形的底比高多2cm，三角形面积是30cm2，求这个三角形的底和高；(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数．能力提升11．下列方程化为一般形式后，常数项为零的方程是()A．5x－3＝2x2B．(2x－1)(2x＋4)＝－4C．(3x－1)(2x＋4)＝1D．(x＋3)(x＋2)＝－612．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有一个解为－1，则下列结论正确的是()A．a＝c，b＝1B．a＝b，c＝0C．a＝－c，b＝0D．a＝b＝c13．某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送1本，全组共互赠了182本．若设全组有x名同学，则根据题意列出的方程是()A．x(x＋1)＝182B．x(x－1)＝182C．2x(x＋1)＝182D．x(x－1)＝182×214．关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x＋2m＋3＝0.当m__________时，是一元一次方程；当m__________时，是一元二次方程．15．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为1，且a，b满足等式，则此一元二次方程是__________．16．已知关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集．17．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个解，且a≠b，求的值．18．若2是关于x的方程x2－(3＋k)x＋12＝0的一个根，求以2和k为两边长的等腰三角形的周长．参考答案复习巩固1．B选项A是整式，不是方程；选项C中未知数x的最高次数是4，不是一元二次方程；选项D不是整式方程，也不是一元二次方程，只有选项B满足一元二次方程的三个条件．故选B.2．D题中方程的二次项系数与一次项系数及常数项之积为.故选D.3．A4．A把x＝2代入，得4－2m＋8＝0，解得m＝6.5．B由于每两人握一次手，所以这x个人中每个人都握了(x－1)次手，由于任何两人之间只握了一次手，所以x个人共握手次．6．5题中方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为2＋4－1＝5.7．1把x＝1代入一元二次方程x2＋mx＋n＝0，得1＋m＋n＝0，即m＋n＝－1.故m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝(－1)2＝1.8．解：原方程化为一般形式是5x2＋8x－2＝0，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2.9．解：由题意，得解得m＝4.10．解：(1)设三角形的高为xcm，根据题意，可得方程x(x＋2)＝60；(2)设两个连续的正整数分别为x，x＋1.根据题意，可得方程x2＋(x＋1)2＝313.能力提升11．B12．C因为－1是方程的解，所以有a－b＋c＝0.又因为a＋b＋c＝0，所以解得a＝－c，b＝0.故选C.13．B每名同学赠送标本(x－1)本，故x名同学共互赠标本x(x－1)本，所以x(x－1)＝182.14．＝4≠±4当时，题中方程是一元一次方程，解得m＝4.当m2－16≠0时，题中方程是一元二次方程，解得m≠±4.15．2x2－x－1＝0由题意，得a＝2，b＝－1.把a＝2，b＝－1代入a＋b＋c＝0，得c＝－1.故ax2＋bx＋c＝0为2x2－x－1＝0.16．解：由题意，得解得k＝－3.故不等式为－3x－2×(－3)＋6≤0，即－3x＋12≤0，解得x≥4.点拨：解答本题的关键是求出k的值．根据一元二次方程的定义求解，注意隐含条件a≠0.17．解：把x＝1代入方程，得a＋b＝40，因为a≠b，所以.点拨：解答本题要注意两点：(1)先将化简；(2)将a＋b＝40整体代入．18．解：把x＝2代入原方程得4－2(3＋k)＋12＝0，解得k＝5.(1)当以2为腰长时，三边长为2,2,5，此时，2＋2＜5，所以不能组成三角形，即2不能为三角形的腰长．(2)当以5为腰长时，三边长为2,5,5，此时，能够组成三角形，所以三角形的周长为5＋5＋2＝12.第二部分：《第二十一章一元二次方程》基础练习基础知识反馈卡·21.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则()A．a≠0B．a≠1C．a＝1D．a≠－12．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为()A．－1B．1C．－2D．2二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程(