与圆有关的计算（6个知识点）-中考复习讲义及练习（解析版）

第五部分圆

专题21与圆有关的计算（6大考点）

核心考点一弧长与扇形面积的相关计算

核心考点二与扇形有关的阴影部分面积计算

核心考点三圆切线与阴影部分求面积结合

核心考点

核心考点四圆锥、圆柱的相关计算

核心考点五圆与正多边形的相关计算

核心考点六圆的其他计算问题

新题速递

核心考点一弧长与扇形面积的相关计算

雨（2021•辽宁沈阳•统考中考真题）如图，45C是。的内接三角形，A8=2√5,

NACB=60。，连接04,OB,则4B的长是（）

【答案】D

【分析】过点。作OD，也于。，根据垂径定理求出AO,根据圆周角定理求出/AO5,根

据正弦的定义求出OA,根据弧长公式计算求解.

【详解】解：过点。作QD!.AB7PD,

Ill圆周角定理得：ZAO3=2ZAcB=I20。,

ΛZAOD=60°,

〜ADaC

.∙.OA=-------------=-尸=2

sin∕A0D√3

2

I120乃χ24）

...**=-----------=—r

ab1803

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解

题的关键.

瓯（2022.辽宁朝阳•统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD=2g,OC=4√i,将

线段OC绕点。按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分

的面积是.

【答案】24-6√3-4π∙

【分析】由旋转的性质可得。E=DC=46，由锐角三角函数可求/AOE=60。，由勾股定

理可求AE的长，分别求出扇形EOC和四边形力CBE的面积，即可求解.

【详解】解：；将线段QC绕点。按逆时针方向旋转，

：.DE=DC=A上,

....,ΛD2√31

•cos/AnDcB——-T='—-—,

DE4√32

JNAoE=60。,

ΛZEDC=30o,

30χ4χ48

：・S扇形EDC=二4π,

360

22

'-AE=yjDE-AD=√48-12=6，

：.BE=AB-AE=4y∕3-6,

•‹πγrp(4√3-6+4√3)×2√3ɔ../-

•∙ɔ四边形DCBE=ʌ__________L______=24_6,3,

2

・・・阴影部分的面积=24-66-4江，

故答案为：24-6λ^-4π.

【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵

活运用这些性质解决问题是解题的关键.

瓯（2022.山东东营.统考中考真题）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，80,CE

于点D,BC平分/ABD.

（1）求证：直线CE是。的切线：

（2）若NASC=30。，。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析

（2）gτr-G

【分析】（1）连接。C,根据OB=OC,以及BC平分NABD推导出NOCB=NDCB,即可得

出3。〃OC,从而推出OCLOE,即证明得出结论；

（2）过点。作。FLCS于F,利用次影=∙⅛e.Bc-Sv"∙c即可得出答案.

【详解】（1）证明：连接OC,如图，

,/OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

,：BC平分NA8。，

.∙.NOBC=NDCB,

：.NOCB=NDCB,

：.BD//OC,

YBDLCE于点、D,

：.OC工DE,

二直线CE是＜。的切线；

(2)过点。作OFLCB于凡如图,

o

VZABC=301OB=2,

.*.OF=I,B尸=O8∙COS300=√L

BC=2BF=2y∣3,

SAOBC=ɪBC-OF=gx2∖∕3×1=ʌ/ɜ,

,.∙ZBOF=90o-30o=60o,

ZBOC=2ABOF=120o,

・C_1200M_4

・・S扇形OBC--π,

.4/-

.∙S阴影=S匾的OBC^^SOBC=3π~^73.

【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌

握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键.

1命题超限

知识点一、弧长及扇形的面积

设OO的半径为R,〃。圆心角所对弧长为/,

(-)弧长的计算

(1)弧长公式：I=n兀R.

180

(2)公式推导：在半径为H的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2%R,

所以1。的圆心角所

对的弧长是2M,即也,于是〃。的圆心角所对的弧长为/=竺

360°180°180

注意：(1)在弧长公式中，”表示1。的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径R=6cm,

计算20。的圆心角

20°X6X4

不要错写成/=

所对弧长/时,180^

(2)在弧长公式中，已知，/,〃,/?中的任意两个量，都可以求出第三个量。

(二)扇形面积的计算

(1)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。

(2)扇形的面积：S扇形=嚼^=；/R,R为扇形所在圆的半径，/为扇形的弧长。

(3)公式推导：

①在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=%R2,所以圆

心角是1。的扇形面积是止,于是圆心角为〃。的扇形面积是S尸步=空毛.

360扇形360

②S扇步="史=竺&∙LR=L∕H,即S扇形=L∕R,其中/为扇形的弧长，R为半径。

扇形36018022房开/2

点拨：(1)扇形面积公式S=』/R与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲

2

边三角形，把弧长/看成底，半径R看成高即可。

(2)在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式S扇形=嘴ɪ还是5扇形;/R

(3)已知S(SS形,/,R,〃四个量中任意两个，都可以求出另外两个。

(4)公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义是一样的，表示“1。”的圆心角的倍数，

计算时不带单位。

,四就硼缭

【变式1】(2023陕西西安•西安市铁一中学校考模拟预测)如图，Θ。的半径为10,ABC

为。。的内接三角形，AB=AC,连接CO并延长，交。O于点。，连接AD,BD,若

NDBA=；NDAB,则劣弧8。的长度为()

【答案】C

【分析】连接OB,设Nr)B4=廿，则NZMB=3x。，通过圆周角定理得NACB=4廿，根据

等腰三角形的性质得NCBD=5廿，再根据圆周勾股定理列出X的方程，便可求得/30D,

进而根据圆弧长公式求得结果.

【详解】解：连接。8,

A

D

设ZDBA=x。，则ZΩAB=3χθ,

VADBA=ZACD,ZDAB=ZDCB.

：.ZACB=ZDCA÷ZDCB=4xo,

•：AB=AC,

：,ZABC=ZACB=4xo,

J/DBC=/DBA+ZABC=5xo，

∙∙∙8是。。的直径,

・•・ZDBC=90°,

J5Λ=90,

・•・NZMB=3x=54。，

,.∙ZBOD=2Z∩4β=1()8°,

,eD=108^xl0=6

180

故选：C.

【点睛】本题主要考查了弧长公式，等腰三角形的性质，圆周角定理，关键是根据直角列出

方程.

【变式2］（2023・山西吕梁・统考一模）如图所示的网格中小正方形的边长均为1,点A,B

均在格点上,点C是以A8为直径的圆与网格线的交点，。为圆心,点。是AC的中点，NA=α,

、25。乃

D.-------

360720360180

【答案】B

【分析】先证明58比=5八"+5。£0和588=5八皿，得到S。C£=5诋)，从而得到

Cf5Y2a25πa

CTSJ-zr∙∣^2)x360-720,

【详解】解：如下图所示，连接。。，CB,CO,8交BD于点、E,

由题意可得AB=存，币=5，

*.βZA=a,

・・.ZCOB=2a,

•・・点。是AC的中点，

ΛOD±AD,AD=CD.

VAB为直径，

・・・BC1AC,

・•.OD//BC,

/.OD=-BC

2f

1221111

.*.SRCF=—BCX—DC=—ODXAD,S∩=—OD×—DC=—ODXAD,S.=—OD×AD,

oct233,"π七f"236nn2

•Q—CɪQ

•∙UBEC~°ADOT*jDEO，

・∙q_c

•UBCD—°ABD，

•・SDCE=Sbeo,

,「<572a25πa

"m~æ∖2Jx360^720`

故选：B.

【点睛】本题考查圆周角定理和弧形的面积，解题的关键是证得S.DCE=SBR.

【变式3】112023•安徽合肥・校考一模）如图，四边形ABCo内接于O,ΛDAB=ZABC=SOo,

NAo3=90。，AB=4,则劣弧OC的长度为.

【答案】侦π

9

【分析】连结OC,根据等腰宜角三角形的性质求得OA=2垃，ZOAB=ZOBA=45°,

再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得/OOC=50。，然后利用弧长公式求解

即可.

【详解】解：连结O。，OC.

VOA=OB,ZAO8=90°,

.∙../OB是等腰直角三角形，

AB2=OfiC+OB2=2OA2.NoA8=NoBA=45°,又AB=4,

OA=OD=20，

,/NZMB=NABC=80。，

二ZOBC=NOCB=ZOAD=ZODA=35°,

ZBOC=ZAOD=WOO,

.∙.ΛDOC=360o-2×110°-90°=50°.

劣弧DC的长度为竺泣叵=巫

1809

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理、弧长公式，熟记弧

长公式，掌握等腰三角形的性质是解答的关键.

【变式4](2023•河北邢台・统考一模)如图，从一个边长为2的铁皮正六边形ABCDM上，

剪出一个扇形C4E∙

(I)NACE的度数为.

(2)若将剪下来的扇形C4£围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为

【答案】60。##60度B

3

【分析】根据正六边形的性质可求出AB=BC=2,-8=/5CD=I20。，进而求出阴影部分

扇形的半径AC和圆心角的度数，利用弧长公式求出舛E的长，再根据圆的周长公式求出圆

锥的底面半径.

【详解】解：如图，过点B作8M_LAC于点

•••正六边形ABCDEF的边长为2,

:.AB=BC=2,/AfiC=NBCC=120。，

二，BAC=NBCA=30°,

AM=CM=5

.∙.AC=2√3.∠zACE=120o-30o-30o=60o,

•••初的长为6（UX26=友一

1803

设圆锥的底面半径为「，

则2πr=冬叵π，

3

即r=3，

3

故答案为：60°,3.

3

【点睛】本题考查圆与正多边形，求弧长，求圆锥的底面半径，掌握正六边形的性质以及正

六边形与圆的相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是解题的关键.

【变式5］（2023•安徽滁州•校考一模）如图，点。在O的直径A8的延长线上，点C在O

上，AC平分NlME,4后_18于点£：.

⑴求证：8是的切线.

⑵。下是。的切线，尸为切点，若BD=2,NAr>£=30。，求A尸的长.

【答案】（1）见解析

⑵卑

【分析】（1）连接OC,证明OC〃AE,根据平行线的性质得到OCLCO,根据切线的判

定定理证明结论；

（2）连接QF,根据切线的性质得到。尸±OF,根据含30。角的直角三角形的性质求出OF,

根据弧长公式计算，得到答案.

【详解】（1）证明：连接0C,如图所示，

.∖ZOAC=ZOCA,

.AC平分NTM£,

.∙.ZOAC=ZEAC,

.∙.ZEAC=ZOCA,

:.OC//AE,

QAElCD9

:.OClCD,

PC为O的半径，

.∙.8是：。的切线；

(2)解:连接。尸,

CD是。的切线，DF是＜。的切线，ZAZ)E=30o,

.∙.ZODF=30o,OF1DF,

:"DoF=3。,OD=IOF,

・•.ZAOF=120。，

BD=2,OD=OB+BD=OF+2=2OF,

：,OF=OC=2,

120ττx24π

∙,∙AF的长为:

180T

【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、弧长的计算，掌握切线的判定定理、弧长公式是

解题的关键.

核心考点二与扇形有关的阴影部分面积计算

O氟题四究

gl]（2022•宁夏・中考真题）把量角器和含30。角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长

直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量

【答案】C

【分析】先求出/COF,进而求出OE=OF=4cm,再求出08,进而求出BE,最后用三角

形的面积减去扇形的面积，即可求出答案.

【详解】在RzOCF中，ZCOF=180°-ZBOF=60°.

.∙.NoFC=90°-NCoF=30°,

OC=2cm,

:.OF=2OC=4cm,

连接。E,则OE=QF=4cm,

・・・外圆弧与斜边相切，

ΛZBEO=90o,

在ME中，NB=30。，

1./DOE=60。,OB=2OE=8cm,

根据勾股定理得，BE=JOB2-OE2=4√3

∙,∙S阴影=SBOE_S聪形DOE=2BEM-喏4的WH8%小,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30。角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和

扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键.

瓯（2022.山东莉泽.统考中考真题）如图，等腰RtABC中，AB=AC=6,以A为圆

心，以AB为半径作BDC；以BC为直径作％8∙则图中阴影部分的面积是.(结果

保留几)

【答案】π-2

【分析】由图可知：阴影部分的面积=半圆。18的面积-AABC的面积+扇形A8C的面积

-△4BC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可.

【详解】解：；等腰RtABC中，AB=AC=五

.∖BC=2

90万×27r14]

：.SMS形ACB=———=—,SjCAB=-π×(1)2=-,SABC=-×∕2×>∕2=l;

3602r22Δ2λ

7ΓTT

所以阴影部分的面枳=S.JCAB-SΔABC+S^ACB-SΔABC=--∖+--l=π-2.

故答案是：Æ-2.

【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法.不规则图形的面积通常转化为规则

图形的面积的和差.

瓯(2022•浙江衢州•统考中考真题)如图，C,。是以AB为直径的半圆上的两点，

NCAB=ZZ>84,连结BGCD.

(1)求证：CD//AB.

(2)若AB=4,ZACD=30°,求阴影部分的面积.

【答案】(1)答案见解析

(2)∣Λ∙

3

【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得到NAa)=/DBA,根据∕C4B=∕DBA得到

ZCAB=ZACD,进而得到结论；

（2）连结OCOD9证明所求的阴影部分面积与扇形COz）的面积相等，继而得到结论.

【详解】(1)证明：:AO=AeH

：•ZACD=ZDBA,

又・・•ZCAB=ZDBAt

ZCAB=ZACD9

：.CD//AB：

(2)解：如图，连结OCOD.

'：NACQ=30。，

o

JZACD=ZCAB=30f

：.NAoQ=NC。8=60。，

・•・ZCOD=180o-ZAOD-ZCOB=60o.

'：CD//AB,

：・SQOC=SQBC,

∙*∙S阴桁SLj形C°D+S^DOC=S“形CoD+S^DBC=S扇形COD,

VAB=4,

.∖0A=2,

：.S那COD=虻=6（）加2:二

m3603603

•02

・♦、阴影=飞兀•

【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及

公式是解题的关键.

【变式1］（2023•山东枣庄•校考一模）如图，将半径为4,圆心角为90。的扇形BAC绕A点

逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形8AC的弧AC的点长处，点C的对应点为点C',

则阴影部分的面积为（）

243

A.—ʃr+2∖∕3B.—7t+4Λ∕3C.∖∣34-τcD.—τt—ʌ/ɜ

332

【答案】B

【分析】连接BB',过A作AhBB，于凡根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形ABC的面

积相等，AB=AB,=BC=BB1=4,求出，AB?是等边三角形，求出/45尸=60。，解直角三

角形求出8尸和AF,再根据阴影部分的面积S=S^ΛBC-(S扇形AZig-SAWJ求出答案即可.

【详解】解：连接8B'，过A作AhBB，于凡则NAFB=90。，如图，

将半径为2,圆心角为90。的扇形RAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上

的点8'处，点C的对应点为点C',

扇形ABC和扇形44C'的面枳相等，AB=AB,=BC=BB1=4,

∙∙...ABB'是等边三角形，

.∖ZABF=60°,

.-.ZBAF=30°,

.∙.BF=LAB=2,

2

由勾股定理得：AF=j42-22=2√3»

**•阴影部分的面积S=S扇形ABC-(S扇形ABS-Sabb∙^

901x4?(60%X42

360—1360

=—Λ,+4>∕3

3

故选:B.

【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面

积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键,注意:

如果扇形的圆心角为“°,扇形的半径为，•,那么扇形的面积S=Q.

360

［变式2］（2023•山西临汾・统考一模）如图，ABC内接于圆O,已知ZACB=90°,AC=BC,

顶点A,B,C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是

1cm,则图中阴影部分的面积为（）

【答案】C

【分析】利用半圆的面积减去CABC的面积，即可得解.

【详解】解：过点C作平行线的垂线，交过点A和点8的两条平行线分别于点E,F,

…F~~B

则：ZA£C=ZCFB=90°,

,.∙NAeS=90。，

ZACE=NFBC=90o-NFCB,

乂：AC=BC,

：.∆AEC^∆CFB(AAS),

,AE=CF,

相邻两条平行线间的距离是1cm,

CE=3cm,AE-CF-4cm,

∙"∙AC=BC=y∣AE2+CE2=5cm>

,.∙ZAe8=90°,

∙,.AB=y∣AC2+BC2=5√2(cm),

.„1(5√2?1..25*50/人

∙∙⅛=27rx~γ^-25X5=-4-Sm).

故选C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，求阴影部分的面积.解题的关键是

证明三角形全等，求出三角形的边长和圆的半径.

【变式3］（2023•安徽合肥•校考模拟预测）如图，以AB为直径作半圆。，C为AB的中点，

连接BC,以。8为直径作半圆P,交BC于点。.若4?=4,则图中阴影部分的面积为

【答案】%+1##1+兀

【分析】如图，连接OC，根据S睡=S扇畴OC+SNDO求解即可.

【详解】解：如图，连接OC,

V以AB为直径作半圆。，C为AB的中点，

∙'∙AC=BC-OCA.AB,

是小圆的直径，

.∙.ZODB=90°,

ODlBC,

.∙.CD=BD,

AB=A,

：.OA=OB=OC=2,

∙'∙BC=yjOB2+OC2=√22+22=2√2，

:∙OD=CD=BD=y∕2,

S阴影=S点形AOC+SACDO

图中阴影部分的面积为万+1.

故答案为：乃+1.

【点睛】本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直

角，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求面枳.垂径定理的推论，可以把垂径定

理的题设和结论叙述为：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分

劣弧，在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立.

【变式4］（2023・湖北十堰・统考模拟预测）如图，曲线AMNB和MON是两个半圆，MN//AB,

大半圆半径为4,则阴影部分的面积是.

【答案】8π-8

【分析】连接。M、ON,则。M_LON,阴影部分面积为扇形MON的面积+半圆MQN的

面积-三角形MQV的面积.

【详解】解：如图，连接。M、ON,

0

MN是半圆MON的直径，

.-.OMLON,且OM=ON=4,

,SM0N=g°Mx°N=gx4x4=8,MN=√42+42=4√2-

2

S半WN=-π×（4√2÷2‰4π,×π×4=4π,

Z',ɔoθ

S阴影=S囱形MO,V+S半BlMCW-S,m0n=4π+4π-8=8π-8,

故答案为：8π-8.

【点睛】本题考查了组合图形的面积计算，涉及到扇形面积、三角形面积、半圆的面积的计

算,解题的关键是把不规则图形面积计算通过割补的方法转化为规则的已学过的图形面积的

计算.

【变式5］（2022•广东梅州•统考一模）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,O与BC,AC分

别相切于点E,F,80平分/A8C,连接OA.

B

⑴求证：AB是＜。的切线；

（2）若BE=AC=6,。的半径是2,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析

3

（2）10--Λ-

【分析】（1）连接。E,过点。作OGLAB于点G,如图，由切线的性质得到OEJ_BC,

再由角平分线的性质得到OE=OG,由此即可证明AB是0。的切线；

（2）连接OEOF,过点。作OG于点G,如图，先证明四边形OEC尸为正方形.得

到EC="'=OE=OA'=2.求出BC=8,即可求出AB=Io.证明Ao平分/54C,进而推

出No48+NOBC=45。，则NAoB=I35。.即可得到

_CC1,ccɪ35Λ-×22,_3...

S阴影=S（M8-SioCMW=-×lθ×2-----——=10--Λ∙=10.

【详解】（1）证明：连接0E，过点。作OG_LAB于点G,如图，

,/BC为。的切线，

.*.OElBC.

♦.•8。平分/他。，OGYAB,OELBC,

/.OE=OG.

.∙.直线AB经过半径OG的外端G,且垂直于半径OG,

二AB是。的切线；

（2）解：连接OEOF,过点。作OGJ于点G,如图,

:O与3C,AC分别相切于点E,F,

：.OEYBC,OFLAC,

,.∙ZAC3=90。，

・・・四边形OEC尸为矩形，

YOE=OF,

・・・四边形OEC尸为正方形.

EC=FC=OE=OF=I.

YBE=AC=G,

.*.BC=8,

・•・AB=y∣AC2+BC2=10-

由(1)知：OG=OE=2,

：.OG=OF,

VOG±ABfOF±AC,

：.Ao平分/B4C,

ZOAB=ΛBAC.

•・・3。平分NABC,

：•ZOBΛ=ZABC.

・・・NAa3=90。，

工ZABC+ZBAC=90o,

=；(ZABC+/8AC)=45。

JZOAB+ZOBC

JNAoB=I35。.

【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，角平分线的

性质与判定，求不规则图形面积得到，正确作出辅助线是解题的关键.

核心考点三圆切线与阴影部分求面积结合

O氟题招究

瓯（2022•贵州安顺•统考中考真题）如图，边长为近的正方形ABa）内接于SO,PA,

尸。分别与。相切于点A和点O,尸。的延长线与BC的延长线交于点E,则图中阴影部分

的面积为（）

A.5-π

【答案】C

【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得EDZ）P的长，勾股定理求得AC的长,

进而根据S阴影=S梯wCEP-；S。即可求解∙

【详解】如图，连接AC,BD，

.边长为正的正方形ABa）内接于O,即CD=夜，

.∙.AC=2,AC,8。为CO的直径，ZECD=90o,

PA,Po分别与二。相切于点A和点O,

.∖EP±BD,

四边形ABCQ是正方形，

・•.ZEBD=45°,

.∙.∙一班。是等腰直角三角形，

..ED=BD=AC=Z,

AC±BD,PA±AO,PDIOD,

.∙∙四边形Q4P。是矩形，

OA=ODt

••・四边形。4尸。是正方形，

/.DP=OA=It

.∙.EP=ED+PD=2+1=3,

,S阴影二S梯形ACEP_]SO

=；（2+3）X1—；7X12

_5π

^2^^2^'

故选C.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质,

掌握以上知识是解题的关键.

瓯（2022•山东青岛•统考中考真题）如图，A8是。的切线，B为切点,OA与。交

于点C,以点4为圆心、以OC的长为半径作EF，分别交ARAC于点E,F.^OC=2,AB=4,

则图中阴影部分的面积为.

【答案】4-万

【分析】先证明？45。90靶。+?490?,再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形

面积即可得到答案.

【详解】解：如图，连接。8,AB是LO的切线，

\?ABO90靶O+?490?,

设？O77p?An2,

OC=2,AB=4

∖OB=AE=2,SVABO=^4=4,

12

^nxpOBn2pAE

扇形BoC扇形AEF360360

2,

_(nl+n2)pQβ_90p4

360--360P，

∖S阴影=4-p.

故答案为：4一万

【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，扇形面积的计算，掌握“整体求解扇形的面积”是解

本题的关键.

瓯（2022・湖南益阳・统考中考真题）如图，C是圆。被直径4B分成的半圆上一点，过

点C的圆。的切线交AB的延长线于点P,连接C4,CO,CB.

AOBP

⑴求证：ZACO=ZBCP;

（2）若NABC=2NBCP,求N尸的度数；

（3）在（2）的条件下，若AB=4,求图中阴影部分的面积（结果保留兀和根号）.

【答案】（1）见解析

（2）30°

⑶2π-2G

【分析】（1）由48是半圆O的直径，CP是半圆。的切线，可得N4C8=ZOCP,即得乙4C。

=NBCP;

（2）⅛ZABC=2ZBCP,可得∕ABC=2∕A,从而NA=30。，NABC=60。，可得NP的度

数是30°；

（3）ZA=30°,可得BC=TAB=2,AC=布BC,即得SMBC,再利用阴影部分的面积等

于半圆减去S4ABC即可解题.

【详解】（1）∙∙∙A8是半圆。的直径，

ZACB=90o,

YCP是半圆。的切线，

：.ZOCP=90°,

：.NACB=NOCP,

ZACO=ZBCP;

(2)由(1)知NACo=N8CP,

Y∕ABC=2∕BCP,

：.ZABC=2ZACO1

YOA=OC,

：.ZACO=ZA9

：.ZABC=2ZAf

YZABC+ZA=90°,

oo

ΛZΛ=30,ZABC=60f

：.NACo=NBC尸=30。，

.,.ZP=ZABC-NBCP=60。-30°=30°,

答：NP的度数是30。；

（3）由（2）知NA=30。，

o

∙/ZACB=90r

.∖βC=^AB=2fAC=6BC=Z6

.∖SΔABC=ɪBGAC=I×2×2√3=2√3,

阴影部分的面积是］万X（m）2-2G=2jt-2√5,

答：阴影部分的面积是2π-26∙

【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目

难度不大.

【变式1】5.（2023・湖北武汉•华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆

内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，

则阴影部分的面积为（）

.22+16√320+16√3„22+14√3C20+14若

A.--------------πnD.--------------πC.--------------πD.--------------π

3333

【答案】A

【分析】OH为BC边的高，利用两圆相切的性质得到AS=AC=8C=8,则可判断，ABC为

等边三角形，则CH=4,利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC=迈，再利用

3

圆与圆相切的性质得到。的半径OE=OC+CE=苧+1,然后利用大圆的面积减去15个小

圆的面积得到阴影部分的面积.

【详解】如图，OH为BC边的高

所有小圆相切，

∙,∙AB=AC=BC=8,

二.ABC为等边三角形，

・•・NOCg=30。，

OHIBC,

・•.CH=4,

.CH-&H-4旧

33

.'.OC=IOH=-,

3

.C与（O相切，

.∙..O的半径OE=OC+CE=苧+1,

・•・阴影部分的面积

22+∣6凡

故选：A

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等边三角形的

判定与性质.解决本题的关键是掌握切线的性质.

【变式2］（2022•吉林长春•模拟预测）如图，A与B外切于点P,它们的半径分别为6和

2,直线8与它们都相切，切点分别为C,D,则图中阴影部分的面积是（）

A

P/

∖√(∙B)

CD

A.lðʌ/ɜB.∖6也-6兀C.--πD.lðʌ/ɜ-—π

【答案】D

【分析】连接Ae,8D,AB,过点5作5ELAC,利用阴影部分的面积等于梯形ABDC的面

积减去扇形ACP的面积减去扇形BPD的面积，进行求解即可.

【详解】解：连接AC,3ZλA3,过点B作BEJ_AC,

•；：A⅛'B外切于点p,它们的半径分别为6和2,直线CQ与：A,B都相切,

ΛAB=AP+BP=6+2=8,四边形CDBE为矩形，

CE=BD=2,

：.AE=AC-CE=6-2=4,

BE=√64-16=4√3,

••/-BE_6

•∙sinNA---——,

AB2

・•・ZA=60o,

JZABE=30°,

・•・ZABD=120°,

梯形ABDC的面积是：∣(6+2)∙4√3=16λ^;

扇形ACP的面积为：嗤，^=6万：

扇形切吸的面积为兰1204黑∙4=?4乃；

3603

则阴影部分的面积二梯形ABDC的面积一扇形ACP的面积一扇形BPD的面积

=1ðʌ/ɜ——Tt；

3

故选D.

【点睛】本题考查求阴影部分的面.利用害肝卜法,将阴影部分的面积转化为规则图形的面积，

是解题的关键.同时考查了圆与圆的位置关系，切线的性质，以及锐角三角函数等知识，综

合性较强.

【变式3】（2022•江苏苏州•苏州市振华中学校校考二模）如图，正方形ABCD的边长为3,

点E为AB的中点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交A。、BC于〃、N两点，与。C切

于P点.则图中阴影部分的面积是.

［答案］9——ʌ/ɜ——Æ

【分析】根据直角三角形的性质求出4E和根据勾股定理求出A根据扇形面积

公式计算，得到答案.

【详解】解：由题意得，AE=^-AB=i-ME=^-,

222

ZA=90o,

.∙.ZAME=30°,AM=VME2-AE2=-√3,

2

.-.ZAEM=60°,

同理，NBRV=60°,

.-.ZMETV=60°,

阴影部分的面积=32-Lχ3Gχ3χ2-KC旦=9-2指-3万，

22236042

故答案为：9——ʌ/ɜ—ɪɪ.

【点睛】本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解

题的关键.

【变式4】（2023•安徽池州•校联考一模）如图，ZA=90°,。与NA的一边相切于点P,

与另一边相交于8,C两点，且AB=1,BC=2,则扇形BC的面积为

d

o

BK/

AP

【答案】争2π##♦2兀

3ɔ

【分析】连接0P，过0点作CcBCF点E,作3/，。尸丁点F,利用垂径定理的内容得

∖∖∖BE=CE=-BC=∖,再证明四边形OEB/、四边形加妒是矩形，即有OP=尸尸+O尸=2,

2

进而有OP=OB=OC=2,从而得出4O8C是等边三角形，即N8OC=60。，利用扇形面积

公式求出即可.

【详解】连接0P，过。点作QELBC尸点E,作BFLO尸于点F,如图，

AP

VOE±BC,BC=2,

・・・BE=CE=-BC=I

29

Y。与NA的一边相切于点P,

：.APlPO,

VOELBC,BFLOP,NA=90。，

，可得四边形四边形PAM是矩形,

VAB=I,BC=2,

ΛAB=∖=PF,BE=OF=X,

/.OP=PF+OF=2,

JOP=OB=OC=I,

・・・Z∖O5C是等边三角形，

・•・NBOC=60。，

.C60°八r2

,・S扇形BOC=360。XπX°。=gπ'

O

故答案为：—π.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求

法等知识，利用已知得出OP=P尸+O尸=2是解决问题的关键.

【变式5］（2022・湖北武汉・武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，在放AABC中，NB=

60o,NA=90。，ZkABC的内切圆。。与BC,CA,AB分别相切于点O,E,F.

（1）求/E。。的度数；

（2）若r=2,求阴影部分的面积.

【答案】（1）150。

（2）8÷4J5——TT

【分析】（1）根据切线的性质可得NaB=NoD3=90。，根据NB=60。，根据四边形内角

和即可求解.求得NEOD；

（2）根据阴影部分面积等于Sv.c-$正方琢FOE-SBOD-Sbo,-SmoED,即可求解.

【详解】（I）解：YZvtBC的内切圆。。与SC,CA,AB分别相切于点D,E,F.

，ZOFB=ZODB=90°,

Zβ=60o,

.∙.ZF<9r>=360o-90o-90o-60o=120o,

.∙.ZEOD=360o-AEOF-ZFOD=150°

（2）如图，连接B。，

ZA=NOFE=NoEF=90°,

四边形AFoE是矩形，

,OE=OF.

二四边形AFoE是正方形，

，。的半径为，•=2,则OD=2,

S正方形AFoE=2×2=4,

BF,BD是<。的切线，

∙∙∙NFBO=ZDBO=30。，

OD上丁2

tanZ.OBD=

~BD~~3~^BD

:.BD=-=2y∣3,

√3

.∙.AB=AF+AB=2+2y∕3,

.∙.AC=ABxtanB=√3（2+2√3）=6+2√3,

,S.C=^ABxAC=g（2+2@（6+26）=12+8G,

SIWD=SBoF=ɪBD×OD=gx2>73×2=2Λ∕3,

NEOF=90o,NFOD=120o,

ZEOD=∖5O°,

,q_15O_2_5

,moed3603

；・阴影部分面积等于SVABC-S正方形"OE—Sbod—Sbof—SIg彩OEO

=12+8百一4—25/3—2y∣3~~^π

=8+4√3--Λ-.

3

【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，四边形内角和定理，求扇形面积，解直角三

角形，掌握切线长定理是解题的关键.

核心考点四圆锥、圆柱的相关计算

A凰题日究

瓯（2022•四川绵阳•统考中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位

置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）.电镀时，如果每平方米用锌0.1

千克，电镀IOOO个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（Z的值取3.14）（）

A.282.6B.282600000C.357.96D.357960000

【答案】A

【分析】求出圆锥的表面积E=公/-48=.0^0.5=0.1552,圆柱的表面积

22

52=2^∙rl=2Λ-×0.3×l=0.6Λ-m,进一步求出组合体的表面积为：S=2Sl+S2=0.9^m,

即可求出答案.

【详解】解：如图:

A

由勾股定理可知：圆锥的母线长AB=JAo2+。外=50Omm=O.5m，

设底圆半径为广，则由图可知r=300mm=0.3m,

圆锥的表面积:S1=πr-AB=π×0.3×0.5=0Λ5πτr^,

2

圆柱的表面积:S1=2π-rΛ=2πM×l=0.6πm,

2

•••组合体的表面积为：5=2S,+52=0.9^-m,

：每平方米用锌0.1千克，

/.电镀10()()个这样的锚标浮筒，需要锌0.9%xO.lxlOOO=9(R=282.6kg.

故选：A

【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握

勾股定理，表面积公式.

@3（2022•内蒙古呼和浩特•统考中考真题）如图，从一个边长是”的正五边形纸片上剪

出一个扇形，这个扇形的面积为（用含乃的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成

一个圆锥，圆锥的底面圆直径为.

【分析】先求出扇形的半径与圆心角，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求

出圆锥的底面半径r,则可得出答案.

【详解】解：；五边形ABsE为正五边形，

/BCD=108°,

23πa2

加=粤x2;TXa=竽，这个扇形的面积为：-×π×a

bd360536010

设圆锥的底面圆半径为r,则直径为：2r,则:券=2利一,

3。

解得，=

10

2r=-

5

3πa23a

故答案为:

10τ∙

【点睛】此题考查了正多边形内角和定理，扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与

扇形之间的等量关系是解决本题的关键.

瓯（2022•山东潍坊・中考真题）在数学实验课上，小莹将含30。角的直角三角尺分别以两

个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出