2022年安徽省马鞍山市曾璧山中学高二数学理联考试题含解析

2022年安徽省马鞍山市曾璧山中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望（

）A

B

C

D参考答案：B略2.如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3参考答案：B【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选B．3.现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X.若，，则p=（

）A.0.16 B.0.2 C.0.8 D.0.84参考答案：C【分析】由求出p的范围，再由方差公式求出p值．【详解】∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．4.如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点数记为，则则()

A．B．

C．

D．参考答案：B略5.设若圆与圆的公共弦长为，则=

.参考答案：a=0略6.如图：是椭圆的左右焦点，点在椭圆C上，线段与圆相切与点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为(

)A

B

C

D

参考答案：A略7.函数在点处的切线方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.若直线和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是(

)A.[2,+∞) B.[2,3)∪(3,+∞) C.[2,3) D.(3,+∞)参考答案：B【分析】根据椭圆1（b＞0）得出≠3，运用直线恒过（0，2），得出1，即可求解答案．【详解】椭圆1（b＞0）得出≠3，∵若直线∴直线恒过（0，2），∴1,解得，故实数的取值范围是故选：B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．9.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)

A.至多有一次中靶

B.两次都中靶C.两次都不中靶

D.只有一次中靶参考答案：C略10.如下图，可表示函数y=f(x)的图象的可能是(

)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数的取值范围是 .参考答案：（－2，1）12.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为

．参考答案：813.函数的零点的个数为

.参考答案：214.已知、是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角的正弦值是

．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设与的夹角为θ，利用两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式求得cosθ的值，可得sinθ的值．【解答】解：由题意可得=1×1×cos60°=，设与的夹角为θ，则=﹣6++2=﹣6++2=﹣，||===，||===，∴cosθ===﹣，∴θ=，∴sinθ==，故答案为：．15.若直线过点，则直线的纵截距为____________.参考答案：略16.对于椭圆和双曲线有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;③双曲线与椭圆共焦点;

④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中真命题的序号是

____。参考答案：①②17.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为辆． 参考答案：76【考点】频率分布直方图． 【专题】计算题． 【分析】先根据“频率=×组距”求出时速不低于60km/h的汽车的频率，然后根据“频数=频率×样本容量”进行求解． 【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38 ∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76 故答案为：76 【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量，属于基础题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足，则称b为这三个数的中位数）参考答案：(1)(2)【分析】（1）首先列举出事件“抽取的卡片上的数字满足”出现的所有可能的结果有三种，然后利用古典概型的概率公式求解；（2）首先计算出事件“抽取的卡片上的数字完全相同”的概率，再利用对立事件的概率公式，求出事件“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率.【详解】解：（1）由题意，所有的可能为：，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足”为事件，则事件包括，，共3种，所以．因此，“抽取的卡片上的数字满足”的概率为．（2）设“抽取的卡片上的数字不完全相同”为事件，则事件包括，共3种．所以因此，“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率为．【点睛】本题主要考察事件与概率和古典概型，求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解.19.（本小题满分12分）已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ?(0＜λ＜1)．（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（2）当λ为何值时？平面BEF⊥平面ACD.

参考答案：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．又＝＝λ?(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC．∵EF平面BEF，

∴不论λ为何值总有平面BEF⊥平面ABC．----------------6分(2)解：由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD．∴BE⊥AC．∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝，AB＝，AC＝．由△ABC∽△AEB，有AB2＝AE·AC，从而AE＝．?∴＝＝．故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD．-----------------------12分20.已知曲线C上任意一点到定点A(1，0)与定直线x=4的距离之和等于5。对于给定的点B(b，0)，在曲线上恰有三对不同的点关于点B对称，求b的取值范围。

参考答案：解析：设动点M(x，y)，则+|x–4|=5，得y2=4x（0≤x≤4）或y2=–16x+80（4≤x≤5），设P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于点B对称，且0<x1<4，4<x2<5，则有，可得到x2=，∴4<<5，∴<b<421.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）设则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC方程两边同乘以2R∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故cosA=﹣，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=cosB+sinB=sin（60°+B）故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．22.已知函数f（x）=． （1）分别求f（2）+f（），f（3）+f（），f（4）+f（）的值； （2）归纳猜想一般性结论，并给出证明； （3）求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（）+f（）+…+f（）． 参考答案：【考点】数学归纳法；函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）分别代入计算即可，求出f（2）+f（），f（3）+f（），f（4）+f（）的值， （2）猜想：f（n）+f（）=1，由于f（x）=，得到f（）=，故（x）+f（）=1，猜想成立， （3）由（2）的结论，即可求出． 【解答】解：（1）f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1， （2）猜想：f（n