中考数学《二次函数的实际应用》练习（附答案）

中考数学《二次函数的实际应用》专题练习（附答案）

一、综合题

1.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售

出500kg,销售单价每涨1元，月销售量就减少IOkg,针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克X元，月销售利润为y元，求y与X的关系式；

（3）商品想在月销售成本不超过IOOoo元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为

多少？

2.小陆和小吕参加体育节双人互垫排球项目，小陆和小吕按比赛要求站立，小陆在左边发球后，排球

球心运动的路线为抛物线的一部分，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图），小陆发球时

排球球心与y轴水平距离为l∙5τn,且球心离地最大高度是1.16，根据图中信息：

（1）请求出排球球心运动路线的函数表达式；

（2）求小陆发球时球心离地高度多少米；

（3）若接球时球心离地高度不高于0.5m,则小吕在接球时球心离y轴至少多少米？（精确到0.1

米，参考值：√3^1.73,√6^2.45）

3.大润发超市在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件.调查表

明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件.

（1）为了实现每天1600元的销售利润，超市应将这种商品的售价定为多少？

（2）设每件商品的售价为X元，超市所获利润为y元.

①求y与X之间的函数关系式；

②物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，超市为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多

少？最大利润是多少？

4.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为12m,宽为5m,抛物线的最高点C离路面

AAl的距离为8m,建立如图所示的直角坐标系.

（1）求该抛物线的函数表达式，并求出自变量X的取值范围；

（2）一大型货运汽车装载大型设备后高为6m,宽为4m∙如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货

车能否安全通过？

5.根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售

利润y1（千元）与进货量%（吨）之间的函数y1=kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润

2

y2（千元）与进货量%（吨）之间的函数y2=αχ+bx的图象如图②所示.

（1）分别求出力、丫2与X之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨.

①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和MZ（千元）与t（吨）之间的函数关系式.并求当这两

种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？

②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

6.某旅行社为吸引市民组团去某新开发的风景区旅游，推出了如下收费标准：如果旅游团人数不超过

25人，人均旅游费用为IOOO元；如果旅游团人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元,

但人均旅游费用不得低于700元.设旅游团人数为%人.

（1）写出支付给旅行社费用y（单位：元）关于X的函数关系式；

（2）某单位组织员工组团去此风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共

有多少人去旅游？

7.将一条长度为40Cm的绳子剪成两段，并以每一段绳子的长度为周长围成一个正方形.

(I)要使这两个正方形的面积之和等于58cm∖那么这段绳子剪成两段后的长度分别是多少？

(2)两个正方形的面积之和可以是40吗？说明理由.

(3)求两个正方形的面积之和的最小值，此时两个正方形的边长分别是多少？

8.已知绿茶每千克成本50元，经研究发现销量y(4g)随销售单价*(元/四)的变化而变化，具体

变化规律如表所示：

销售单价X(元Λ⅛∙)•••7075808590•••

月销售量y(kg)10090807060・・・

(1)请根据上表，写出了与X之间的函数关系式(不必写出自变量X的取值范围)；

(2)若该绿茶的月销售利润为犷(元)，且售单价得高于80元，求犷与X之间的函数关系式，并求

出X为何值时，w的值最大？

(3)已知商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，在第一个月，按使W获得最大值的销

售单价进行销售后；在第二个月受物价部门干预，销售单价不得高于78元，要想在全部收回装修投资

的基础上使这两个月的总利润至少达到1722元，求第二个月的销售单价的取值范围？

9.实验中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长度为30米的

篱笆围成已知墙长18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边为X米.

♦一一182―一

苗圃园

(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与X之间的函数关系，以及其自变量的取值范围.

(2)若垂直于墙的一边的长不小于8米，当X为多少米时，这个苗圃的面积最大？求出这个最大值.

10.工厂加工某花茶的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销

售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：批发价每千

克降低1元，每天销量可增加50千克.

(1)求工厂每天的利润W元与降价X元之间的函数关系.

(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并尽可能让利于民，则定价应为多少元？

11.天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天

可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的

销售量会减少4件.

(1)写出每天所得的利润y(元)与售价X(元/件)之间的函数关系式.

(2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？

12.“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出

行.某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8

辆与将标价直降IOo元销售7辆获利相同.

(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行

车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

13.如图，四边形ABCD是边长为60Cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三

角形，再沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体

包装盒.

V

(1)若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm∖求长方体包装盒的高；

(2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为X(Cm),长方体的侧面积为S(Cm2),求S与X的函数

关系式，并求X为何值时，S的值最大.

14.某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价，不高于

60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价

1元/千克，每日可多销售2千克.

(1)已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为50元/千克;

(2)该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，

当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡.

①求这种化工原料的进价；

②若公司每天的纯利润（收入一支出）全部用来偿还一笔IOOoO元的借款，则至少需多少天才能还

清借款？

15.一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加盈利，该

店采取降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元,

平均每天可多售出2件.

（1）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元.

（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？

16.为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴.规

定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额X（元）之间大

致满足如图所示的一次函数关系.随着补贴款额X的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收

益P（元）会相应降低且满足：p=-ɪx+110（x≥0）.

（1）在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数y与政府补贴款额X之间的函数关系式；

（2）在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（3）要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额X定为多少？并求出总收益的最大

值.

参考答案与解析

1.【答案】(1)解：销售量：500-5×10=450(kg)；

销售利润：450×(55-40)=450X15=6750(元)

(2)解：y=(χ-40)[500-10(χ-50)]=-10x2+1400x-40000

(3)解：由于水产品不超过IOOoO÷40=250kg,定价为X元，

则(χ-40)[500-10(χ-50)]=8000

解得：x1=80,X2=60

当x∣=80时，进货500-10(80-50)=200kg<250kg,符合题意，

当X2=60时，进货500-10(60-50)=400kg>250kg,舍去.

2.【答案】(1)解：「抛物线对称轴为y轴，

•••设抛物线的解析式为y=ax2+k,

球心离地最大高度是1.1m,

・•・k=1.1,

・•・y=ax2+1.1,

将点居)代入,可得：=α*(1)+1.1»

解得a=—£

，设抛物线的解析式为y=-船2+I1；

(2)解：将％=—1,5代入y=—葛/+1.1可得：

y——×(—1.5)2+1.1—0.7»

・•・小陆发球时球心离地高度为0.7米；

(3)解：将y=0.5代入y=—最+11可得：

8ɔ

0.5=--ξξX2+1∙1,

x

用牛付%1=-4-,2=--4^,

•••小吕在y轴右侧，半≈0,75X2.45≈1.8，

4

.∙.小吕在接球时球心离y轴至少1.8米.

3.【答案】（1）解：设商品的定价为X元，由题意，得

(χ-20)[100-2(χ-30)>1600,

解得：x=40或x=60;

答：售价应定为40元或60元

(2)解：①y=(χ-20)[100-2(χ-30)](x≤40),

即y=-2X2+200X-3200；

②:a=-2<0,

.∙.当X=-y-=-=50时，y取最大值；

又xW40,则在x=40时，y取最大值，即y*大js=1600,

答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大利润为1600元

4.【答案】(1)解：设抛物线的解析式为y=a∕+8,

：函数经过点(6,5),

∙*∙5=aX6^+8,得a=-,

即该抛物线的解析式为y=-τ⅛M+8(-6≤X≤6)

(2)解：•.♦该隧道内设双向行车道，

该货车只能走一个车道，

将x=4代入y=—ɪɪ2+8)得y=6',

V6§>6,

这辆货车能安全通过

5.【答案】(1)由题意得，设为=依

Sk=3

・•・k=0.6

•*y1=0.6%,

2

根据题意得，设y2=ax+bx+c,由图知，抛物线经过点(0,0)、(1,2)、(5,6),代入得,

c=0

a+b+c=2

25Q÷5∕?÷c=6

a=-0.2

b=2.2

.c=0

2

ʌy2=-0.2X+2.2x；

（2）①设乙种蔬菜的进货量为t吨,

w=y1+y2

=0.6(10-t)+(-0.2t2+2.2t)

=-0.2t^+1.6t+6

=-0.2(t-4)2+9.2

当t=4,利润之和最大

“表决=9200(元)

答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元.

2

②W=y1+y2=-0.2t+1.6t+6

当w≥8.4时，即-0.2t2+1.6t+6≥8.4,

-0.2-+1.6t—2.4≥0

令-0.2t2+1.6t-2.4=0

t?-8t—12=0

(t-2)(t-6)=0

解得t1=2,以=6,

因为抛物线开口向下，所以2≤t≤6,

答：乙种蔬菜进货量为2吨到6吨范围内.

6.【答案】（1）当%≤25时，y=1000x；

当X>25时，y=[1000—20（%—25）]∙X,即y=-20x2+1500%.

综上：当X≤25时，y=IOOOx；当x>25时，y=-20/+1500%；

(2)因为25×1000<27000,所以该单位组团旅游人数超过了25人.

解方程-20/+1500x=27000,

得：Xl=45,亚=30.

因为当X=30时，人均旅游费用为：1000-20(30-25)=900,不合题意.

答：该单位共有45人去旅游.

7.【答案】(1)解：设这段绳子剪成两段后的一段围成的正方形的边长为XCm,则另一段围成的正方形

的边长为(10-χ)cm,根据题意得

X2+(10-χ)2=58

解得：X∣=3,X2=7;

3X4=12cm,40-12=28cm,或7X4=28cm,40-28=12cm.

二这段绳子剪成两段后的长度分别是12cm,28cm.

(2)解：设两个正方形的面积之和为y,根据题意得

y=x2+(10-χ)2=2(x-5)2+50

二当x=5的时候，两个正方形的面积之和最小为50,故两个正方形的面积之和不可以是40.

(3)解：设两个正方形的面积之和为y,根据题意得

y=x2+(10-χ)~-2(χ-5)^+50

故，当x=5的时候，两个正方形的面积之和最小为50,此时，10-5=5cm,

二两个正方形的面积之和最小是50cm∖此时两个正方形的边长都是5cm.

8.【答案】(1)解：根据表格数据可知：

设y=kx+b,

将(70,100),(75,90)代入上式，

Z(70k+b=100

付0L75fc+h=90

解得

5=240

所以y=-2x+240;

答：y与X之间的函数关系式为y=-2x+240.

(2)解：根据题意，得

W=(x-50)∙y

=(χ-50)(-2x+240)

=-2X2+340X-12000

=-2(χ-85)2+2450

当x=85时，W的值最大，

答：销售单价为85元时，w的值最大.

(3)解：由(2)可知：第一个月还有3000-2450=550元的投资成本没有收回，

则要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到1722元，

即w=1722+550=2272才可以.

可得方程：-2(χ-85)'+2450=2272

解得x∣-75.5,Xz-94.5(不符合题意，舍去)

V-2<0,

二当x<85时，W随X的增大而增大，

•••销售单价不得高于78元，

Λ75.5≤x≤78.

答：第二个月的销售单价的取值范围是75.5WxW78元.

9.【答案】(1)解：y=30-2x,(6≤x<15)

(2)解：设矩形苗圃的面积为S,

S=Xy=X(30-2x)=-2(χ-7.5)2+112.5,

•••垂直于墙的一边的长不小于8米，

Λ8≤x<15,

当x=8时，S有最大值112,

即当垂直于墙的一边的长为8米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112平方米。

10.【答案】(1)解：由题意知力=(48-30-%)×(500+50x)

=-50(x-4)2+9800

二工厂每天的利润W元与降价X元之间的函数关系为W=-50(x-4)2+9800,(0≤x<18).

(2)解：由川=一50。-4)2+9800的图象和性质，可知当％=4时，勿值最大，值为9800

二当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元.

(3)解：令MZ=9750

则-50(%-4)2+9800=9750

解得=3或不=5

∙.%=3时，每天销售650千克，％=5时，每天销售750千克

650<750

,为了尽可能让利于民，则应该降价5元.

11.【答案】(1)解：根据题中等量关系为：利润=(售价-进价)X售出件数，列出方程式为：y=(x

-8)[20-4(χ-9)],即：y=-4x⅛88χ-448(9≤x≤14)

(2)解：将1中方程式配方得：y=-4(X-II)436,，当X=Il时，y«*=36

答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元.

12.【答案】(1)解：设进价为X元，则标价是L5x元，由题意得：

1.5x×0.9×8-8x=(1.5χ-100)×7-7x,

解得：x=1000,

1.5X1000=1500(元)，

答：进价为IOoO元，标价为1500元

(2)解：设该型号自行车降价a元，利润为W元，由题意得：

W=(51+⅛×3)(1500-1000-a),

=-ɪ(a-80)2+26460,

⅛<。，

当a=80时,w*大=26460,

答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元

13.【答案】(1)解：如图

设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm,则NP=√2xcm,

DP=60一产,QM=PW=√2×60]√∑x,

2

由题意得：(6OqZXq=1250-

解得，x1=5√2,1),%2=55√2(超过60,故不符合题意舍去)，

答：长方体包装盒的高为5√2cm.

另法：：由已知得底面正方形的边长为√1250=25√2,

ΛΛN=25√2X乎=25.

ΛPN=60-25X2=10.

ΛPQ=IOX乎=5√Σ(cm).

答：长方体包装盒的高为5√2cm.

(2)解：由题意得，S=4×Saasww=4×PW∙QP,

VPW=√2X60~λ^x,QP=x,

∙*∙S=4×602"2"XX=-4x2+12θV2x-

Va=-4<0,

二当x=15√2时，S有最大值.

14.【答案】(1)解：设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为X元/千克,

(60-χ)×2+20=40,

解得，x=50,

故答案为：50；

(2)解：①设这种化工原料的进价为a元/千克，

当销售价为46元/千克时，