2023年九年级中考数学训练-三角形的综合

4.如图所示，已知ABC中，BC=30cm.AD=IOcm.AD是高，矩形EFGH内接于ABC中，且长边FG在

2023年中考数学重难点训练——三角形的综合

一、综合题

1.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF

折叠，使点D落在AC上的点N处。

(I)求y与X的函数关系式.并求自变量X的取值范围.

(2)若x：y=l：2,求矩形EFGH的面积.

(3)当EF为何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少？

(1)求证：四边形AECF是平行四边形：

5.如图，RtABe中，分别以AB、AC为斜边，向ABC的内侧作等腰RtABE、RtACD,点M是BC的

(2)若AB=6,AC=IO,求四边形AECF的面积。

中点，连接MD、ME.

2.如图，已知菱形中ABCD,且ZBAD=60°延长A8至点E,使BE=AB,连接BD和

(1)若AB=8,AC=4,求DE的长；

(1)求证：&DA瞄二CBE；(2)求证：AB-AC=2DM.

(2)求证：四边形DBEC是菱形.6.如图，菱形ABCD中，B=60o,AB=3cm,过点A作EAF=60。，分别交DC,BC的延长线于点E,

3.已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、EF、AF,JiQDAE=

(1)如图1,当CE=CF时，判断AEF的形状，并说明理由：

(2)线段AF的垂直平分线交AD于点G,连接FG,求证：EFG=90°；

(2)若AEF是直角三角形，求CE,CF的长度；

320

在的条件下，若求AEF

(3)(2)tanDFG=-,EF=-r,S.()当的长度发生变化时，的面积是否会发生变化，请说明理由.

433CE,CFCEF

7.已知等边ABC和射线AP,作AC边关于射线AP的对称线段AD,连接BD,CD.D

图2

（1）探究：在旋转的过程中线段BE与线段CG有什么数量关系及位置关系？证明你的结论：

（1）如图1,当射线AP在IBAC内部时，

（2）若正方形/BCZ）的边长为°,探究：在旋转过程中四边形OMCN的面积是否发生变化？若不变化求

①请依题意补全图形；

其而积，若变化指出变化过程.

②若匚PAC=I5。，则UBDC=▲度:

③若PAC=x。，试求BDC的度数：

（2）如图2,当射线AP在［BAC外部的AC右侧时，设BD交AP于点E,

①□BDC=▲度:

②线段AE,BE,DE之间有何数量关系？试说明理由.

8.如图，正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上，点B的坐标为（-2,2）.点P从点A出发，以每秒1个

（1）问题发现：如图（1）,在OAB和OCDψ,OA=OB,OC=OD,AOB=CoD=36。，连接

单位长度的速度沿X轴向点0运动：点Q从点0同时出发，以相同的速度沿X轴正方向运动，过点Q作直线ΔΓ,

AC,BD交于点M.①rκ的值为_________;②AMB的度数为_________：

1垂直X轴.当点P到达点O时，点Q也停止运动.连接BP,作PDBP交直线1于点D.连结BD交y轴于点BD

（2）类比探究：如图（2）,在OAB和OCDΦ,AOB=COD=90o,OAB=OCD=30o,连接

E,连接PE.设点P的运动时间为t（s）.

AC

AC,交BD的延长线于点M.请计算一的值及AMB的度数.

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M.若OD

=1,OB=Ji耳，请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

11.如图，以BC为边分别作菱形8CO石和菱形Be户G（点C,D,产共线），动点A在以BC为直径且处

于菱形BCPG内的圆弧上，连接E尸交BC于点。.设NG=O.

（1）①点D的坐标为（用含t的代数式表示）.

②当0Vt≤2时，PED的大小范围是.

（2）当0VtV2时，POE的周长C是否随t的变化而变化？若变化，求出C关于t的关系式；若不变,

求出C的值.

（3）当t=秒时，：.PBE为等腰三角形（直接给出答案）.

9.如图，已知正方形。EFG的顶点。与正方形力8C。的中心。重合，若正方形OEFG绕。点旋转.

（1）求证：无论。为何值，EE与BC相互平分；并请直接写出使$_LBC成立的。值.

（2）当0=90。时，试给出幻〃NABC的值，使得E/垂直平分AC,请说明理由.

12.如图①，在平面直角坐标系中，点aB的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点43分别向上(I)如图①，求4点的坐标；

平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点力，8的对应点C,D,连接4C,BD,CD.(2)如图②，点。从。出发以每秒1个单位的速度沿)，轴正半轴运动，同时点E从4出发，以每秒2个

单位的速度沿射线历1运动，DE交线段XC于尸，设运动的时间为/,当S∕E∕VS86时，求f的取值范

围.

15.如图1,在等腰直角三角形ADC中，NAoC=90,AO=4.点E是Ao的中点，以DE

为边作正方形DEFG,连接AGCE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为

a(0<a<90).

(1)写出点C,。的坐标并求出四边形/8。。的面积：

(2)在y轴上是否存在一点。，连接Qa。6,使!一月。8的面积等于四边形”QC的面积的•半？若存在

这样的点，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由：

(3)如图②，点尸是线段50上一个动点，连接尸&PO,当点尸在线段3。上运动时，试探究L。PC与

PCD,的数量关系，并证明你的结论.

13.如图1,菱形ABCD中，DEAB,垂足为E,DE=3cm,AE=4cm,把四边形BCDE沿DE所在直线折

(1)如图2,在旋转过程中，

直，使点B落在AE上的点M处，点C落在点N处，MN交AD于点F.

①判断与ACED是否全等，并说明理由；

y_________D___________cNPDMGD

②当CE=CD时，AG与EF交于点“，求G”的长.

(2)如图3,延长CE交直线AG于点P.

MEBAMEB

图1图2①求证：AGlCP；

(1)证明：FA=FM;

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

(2)求四边形DEMF面积；

16.如图1,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AC=6cm,BD=8cm,分别过点B、C作AC与

(3)如图2,点P从点D出发，沿DTNTF路径以每秒ICm的速度匀速运动，设运动时间为t秒，当t

BD的平行线相交于点E.

为何值时，DPF的面积与四边形DEMF的面积相等.

14.如图，平面直角坐标系中，点力在第一象限，力氏N轴于瓦/ClZy轴于C,A(4zw.3/〃)，且四边形

力50。的面积为48.

图1图2

(1)判断四边形BoCE的形状并证明;

(2)点G从点A沿射线AC的方向以2cm∕s的速度移动了t秒，连接BG,当SABG=2S°bg时，求t的

值.

(3)如图2,长度为女m的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值.

17.如图I,已知点A,B,C,D在一条直线上，BF、CE相交于O,AE=DF,□E=□F,OB=OC.

(1)求证：ACEDBF：

(2)如果把DBF沿AD折翻折使点F落在点G,如图2,连接BE和CG.求证：四边形BGCE是平行四

边形.

18.已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为

(1)如图I,连接AF、CE求证：四边形AFCE为菱形；

(2)如图1,求AF的长：

(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿ZlAFB和CDE各边匀速运动一周.即点P自

ATFTBTA停止，点Q自CTDTETC停止.在运动过程中，点P的速度为每秒ICm,设运动时间为t

秒.若点Q的速度为每秒0∙8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

答案解析部分ΛAB=AD,B=D=90。，ΛDBC,

：.BEA=DAE,

L【答案】(1)证明：•・・折叠，ΛAM=AB,CN=CD,FNC=LD=90o,AME=B=90o,

VUDAE=-AEF,

ΛANF=90o,CME=90o,二四边形ABCD为矩形，ΛAB=CD,ADBC,

.*.BEA=AEF,

ΛAM=CN,.,.AM-MN=CN-MN,β∏AN=CM,

在ABE和AHE中，

ZFAN-ZECM

在ANF和CME中，-.AN-CMΛANFJ□CME(ASA),ΛAF=CE,ZB=ZAHE

ZANF-ZCME

VZBEA=ΛAEH,

又YAFCE,・♦.四边形AECF是平行四边形：

AE=AE

(2)解：∙.∙AB=6,AC=10,ΛBC=8,设CE=X,则EM=8-x,CM=IO-6=4,

：,ABEAHE(AAS),

在RtCEMΦ,(8-x)2+42=x2,解得：x=5,・・・四边形AECF的面积的面积为：EC∙AB=5×6=30.

ΛAB=AH,BE=HE,

2.【答案】(1)解：Y菱形ABCD

AH=AD,

・・.AD∖BC,AD=BCΛRtAIIFRtADF(HL),

・•・ZCBE=ZDABΛDF=HF,

•：BE=AB∙.∙EF=HE+HF,

・•・LDAB^CBE(SAS)ΛEF=BE+DF

(2)解：如图2,由题意知GA=GF,

(2)解：V菱形ABCD,

：,DCBE,DC=AD=AB=BE，

・・.四边形DBEC是平行四边形，

VZZMB=60°

・・・ABD是等边三角形

：・AB=BD=BE.

・•・四边形DBEC是菱形.

ΛGAF=!GFA,

3.【答案】(1)证明：过点A作AHEF于点H,

由(1)知AFE=AFD,

•：FADiAED=90°,

ΛLGFA+DAFE=90o,

Λ□EFG=90o

Γ)("t□

(3)解：由tanDFG=-----=—可设DG=3x,DF=4x,

DF4

22

则AG=GF=y∣DG⅛DF=J(3x)，(4x『=5x,EH=DF=4x,

Y四边形ABCD是正方形,・•・BC=CD=AD=8x,

ΛCF=CD-DF=4x,(3)解：设四边形EFGH的面积为S,

〜2022

VEF=—,则S=x(30-3x)=-3x+30x=-3(x-5)+75,

3

20・•・当x=5时，即EF=5时，S有最大值为75.

ABE=EH=EF-FH=­-4x,

3

20205.【答案】(D解：直角ABE中，AE=—AB=4√2，

则EC=BC-BE=8x-(—-4x)=12x--,2

33

在RIUECF中，由EF2=EC2+CF2得(虫)2=(12x--)2+(4x)2,

在直角ACD中，AD=叵AC=2√2，

33

2

解得：Xl=O(舍)，X2=l,

贝：

即AH=AD=8x=8,IJDE=AE-AD=4√2-2=2√2

(2)解：延长CD交AB于点F.

(∆FAD=LCAD

4.【答案】⑴解:如图,在!」ADF和LJADC中，AD=AD,

UADF=∆ADC

ΛADF□□ADC(ASA),

ΛAC=AF,CD=DF,

BFDGC又・・・M是BC的中点，

VEF=x,FG=y,

•••DM是CBF的中位线，

ΛDM=EF=x,AM=AD-DM=IO-X,

,DM=-BF=-(AB-AF)=-(AB-AC),

VEH//BC,222

.EHAMʃIO-XΛAB-AC=2DM.

•∙,πNπJ-—=

BCAD3010

.*.y=30-3x;

Vy>O,

Λ3O-3x>O,即xV10,

Vx>0,

••・x取值范围为OVXVl0：

6.【答案】（1）解：AEF是等边三角形，理由如下:

(2)解：=X:y=l：2,

连接BE、DF,如图1所示：

・'.y=2x,

Vy=30-3x,

Λ2x=30-3x*

.*.x=6,

Λy=12,

・•・矩形EFGH的面积=6x12=72：

・•・ABC和ADC是等边三角形，

ΛAC=AD,ACM=DD=CAD=60°=EAF,

：.MAC=LNAD,

ZMAC=ZNAD

在LlMAC和LNAD中，AC=AD,

ZACM=ZD

.,.MAC□NAD(ASA),

•・•四边形ABCD是菱形，ΛAM=AN,CM=DN,

AAB=BC=DC=AD,ABC=CADC,Y∏EAF=60o,

BD=DC・•・AMN是等边三角形，

在和中，

BCEDCFNBCE=NDCF,AAM=MN=AN,

CE=CF

设AM=AN=MN=m,DN=CM=b,BM=CN=a.

：.BCEDCF(SAS),

VCFLAD,

BE=DF,CBE=LCDF,

：.CFNDAN,

,

..ABC+CBE=ADC+CDF,.CFFNeNa

,,∖

即ABE=ADF,^D~~AN~~DN~b'

'AB=AD.∖FN=—,

b

在ABE和ADF中，NABE=NADF,..-am

•∙AF=m÷,

BE=DFh

：.ABEADF(SAS),同理：AE=m+—,

a

.∖AE=AF,又EAF=60o,在RtAEF中，•：EAF=60o,

・•・AEF是等边三角形：・•・AEF=30o,

ΛAE=2AF,

bmC,am、

•∙m+-=2(m÷-----),

ab

整理得：b2-ab-2a2=0,

(b-2a)(b+a)=0,

Vb+a≠O,

Λb-2a=0,

①AFE=90。时，连接AC、MN,如图2所示:/.b=2a,

四边形是菱形，.CF1

YABCD•∙ɪɪ--,

AD2

ΛAB=BC=DC=AD=3,D=B=60°,ADBC,ABCD,

ΛCF=—AD=—，LCEF的面积=-CE×FH=-CE×BCF='x9X且=逋，，LJCEF的面积是定值，不发生

22

222224

同理：CE=2AB=6;

变化.

②AEF=90。时，连接AC、MN,如图3所示:

7.【答案】（1）解：①解：如图，补全图形：

②150。；

同①得：CE=ɪAD=；,CF=2AB=6:

（3）解：当CE,CF的长度发生变化时，CEF的面积不发生变化：理由如下:③由对称可知，PAC=PAD=xo,

AD=AB=AC,BAD=60o-2xo,

180。-2彳。180o-(60o-2xo)…

：.ADC==90o-xo,DADB=---------1-------------L=60o+ΛOn

-2~2

：.BDC=ADC+ADB=90o-.vo+600+"=150°；

BDC的度数为150。：

(2)解：①30。：②BD=2DE+AE,理由如下：

作FHCD于H,如图4所示：

如图，在BD上截取EG=EC,

由(2)得：BM=CN=a,CM=DN=b,

VADGCF,

・•・ADNUFCN,

.AoDNb

,,~CF~'CN~a'

VCE;AB,

Λ□FCH=∏B=60o,DCEM□CBAM,由⑵①知：□BDC=30o,□ADB=ABD=60o-α,

.CECMb由对称可知，EDC=ECD=30o,AED=90o