重组卷03-2023年高考数学真题重组卷（上海）（解析版）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷03

数学（上海地区专用）

考生注意：

1、本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2、本试卷分设试卷和答题卡.试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选

择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1一6题每题4分，第7—12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1、（2022年上海高考真题）已知z=l+i（其中i为虚数单位），则2^=.

【分析】直接利用共物复数的概念得答案.

【解答】解：z=l+i,则W=I-i，所以2^=2-2i.

故答案为:2-2i.

【点评】本题考查了共规复数的概念，是基础题.

2、（2019年上海高考真题）已知集合A={l,2,3,4,5},B={3,5,6},贝IJAn8=

{3_5}_.

【解答】解：•集合A={l,2,3,4,5）,

B={3,5,6）,

.∙.A,B={3,5}.

故答案为：{3,5}.

X2y1_XX

3、（2013•上海•高考真题）若Tly^y,则X+V=.

【答案】0

【详解】X1+y2=-2xy=>X+y=0.

【考点定位】考查矩阵的运算，属容易题.

4、（2022年上海高考真题）函数FG）≈cos2x-sin2x+l的周期为.

【分析】山三角函数的恒等变换化简函数可得/（x）=cos2x+l,从而根据周期公式即可求

值.

【解答】解：f（x）=Cos2X-sin2x+l

=Cos2X-sin2x+cos2.v+sin2x

=2cosX

=cos2x÷l,

十一2几一

2

故答案为：π.

【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式

的应用，属于基础题.

2、,2

χr__y__ɪ

5、（2017•上海统考高考真题）设双曲线9/一（6>°）的焦点为片、工，P为该双曲线

上的一点，若*I=5,则IPgI=

【答案】11

22

【详解】由双曲线的方程工-与=1（6>0）.可得。=3,

9b^

根据双曲线的定义可知∣P6∣-∣PE∣=±2a=±6,

又因为IPG=5,所以IPKI=IL

6、（2011•上海高考真题）若圆锥的侧面积为2兀,底面积为乃，则该圆锥的体积为

【答案】g兀

3

【详解】试题分析：因为，圆锥的侧面积为LT,底面积为

πrl-2π

所以，｛,,

兀广=π

解得，r=l,∕=2,高Zz=炉方=√L所以，该圆锥的体积为:乃，办=3.

考点：圆锥的几何特征

点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式.

7、（2012•上海・高考真题）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个

项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.

【答案】晟

【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有

3χ3χ3=27种，

有且仅有两人选择的项目完全相同有C；XGXC；=18种，

其中C；表示3个同学中选2个同学选择的项目，C；表示从三种组合中选一个，C；表示剩下

的一个同学有2中选择，

1Qɔ

故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是羽=q.

考点：古典概型及其概率计算公式.

8、（2015・上海・统考高考真题）方程吭附"-5）=bgG*1-2）+2的解为

【答案】2

【详解】依题意1082g"-9=1°8式4与"-8）所以尸广：-£,

令所以/-∙k-3=0,解得r=l或r=3,

当，=1时，3r'1=l,所以x=l,而94-，<0,所以x=l不合题意，舍去；

当r=3时，3]"=3,所以x=2,9x-5=4>0,3注-2=1>0,所以x=2满足条

件，

所以X=：是原方程的解.

考点：对数方程.

9、（2022年上海高考真题）已知等差数列｛坳｝的公差不为零，SzI为其前〃项和，若S5=O,

则S（i=0,1,2,100）中不同的数值有个.

【分析】由等差数前〃项和公式求出41=-2d,从而S,,=旦（”2_5〃），由此能求出结果.

2

【解答】解：•••等差数列｛“〃｝的公差不为零，S,为其前"项和，55=0,

λ

S5=5a1+^y^d=°'解得m=-2d,

1,nn

.*.S=naI÷-^'`ɪɪ-ɪ'-H=-2nd+---ɪ--d=—（H2-5«），

n222

∙.∖∕≠0,：.Si(i=0,1,2∙,100)中SO=S5=0,

S2=53=-3d,Si=S4=-2d,

其余各项均不相等，

：.SiCi=O,1,2-,100)中不同的数值有：101-3=98.

故答案为：98.

【点评】本题考查等差数列的前"项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，

是中档题.

25

o(x+-)7

10、(2013∙上海•高考真题)设常数αeR,若X的二项展开式中X项的系数为-10,

贝IJa=.

【答案】-2

【详解】试题分析：•・•的展开式的通项为7；M=C产2(勺=Ga,χg,,令10-3r=7,

XX

得r=1'

・・・一的系数是"C=5”,Y/项的系数为-10,.∙∙5α=-10,得α=-2.

考点：二项式定理.

11、(2016•上海・统考高考真题)设“'"eR,ce[0,2π)若对任意实数X都有

2sin3x——=αsin(fex+c)

I3J,则满足条件的有序实数组PQ∙C'的组数为.

【答案】4

【详解】试题分析：

当α=2时，sin(3x-ɪ)=sin(3x-y+2Λ∙)=sin(3x+-ʃ),(⅛,c)=(3,∙^),又

TTTt4乃4τr

sin(3x-y)=sin[^--(ɜɪ-ʒ-)]=sin(-3x+-),(⅛,c)=(-3,-),注意到C∈[0,2Λ∙),所以只

有2组：(2,3苧,(2,-3苧满足题意；当α=-2时，同理可得出满足题意的IabcI也有

2组：(-2,-3,0),(-2,3,争，故共有4组.

【考点】三角函数

【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到。的可

能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到"c的值，从而根据具体的组合情况，使问题得

解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想

等.

12、(2017.上海.统考高考真题)如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1、巴、P\

巴以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合C={∕8'A'A},点尸eC,过户

作直线)，使得不在/。上的“”的点分布在o的两侧.用。“尸)和2"p)分别表示)一侧

和另一侧的“”的点到%的距离之和.若过P的直线O中有且只有一条满足

Dl(Zp)=D2(Zp)i则。中所有这样的尸为

【答案】P、、P3、P,

,C(7,1),D(4,4),

线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,

易知EFGH为平行四边形，如图所示；

设四边形重心为M(×,y),

贝IJM4+MB+MC+MZ)=0.

由此求得M(3,2),即为平行四边形EFGH的对角线交于点鸟,

则符合条件的直线LP一定经过点P2,

且过点2的直线有无数条；

由过点<和鸟的直线有且仅有1条,

过点鸟和鸟的直线有且仅有1条,

过点巴和尸2的直线有且仅有1条，

所以符合条件的点是<、P3、P一

故答案为：A、鸟、B.

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生

应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13、(2019年上海高考真题)下列函数中，值域为[0,+∞)的是()

ɪ

A.ʃ=2'B.y=x2C.y=tanxD.y=cosx

【解答】解：A,y=2*的值域为(0,y),故A错

B.y=G的定义域为[0,+∞),值域也是[0,+∞),故B正确.

C,y=tanx的值域为(YO,M),故C错

D,y=cosx的值域为[一1,+1],故。错.

故选：B.

f(χ-Λ)1,X≤O,

∕U)∙⅛l+βχ>0

14、O(2014.上海.高考真题)―*若•'5是的最小值，则α的

取值范围为.

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[02

【答案】D

【详解】由于当x>0时，f(x)=x+L+”在X=I时取得最小值2+“，由题意当x≤0时，

X

/(x)=(x-α)2应该是递减的，贝∣Jα≥O,此时最小值为/(O)=ɑ?,因此∕≤α+2,解得

0≤α≤2,选D.

【考点】分段函数的单调性与最值问题.

15、(2022年上海高考真题)如图正方体ABCD-A∖B∖C∖D∖中，P、°、RS分别为棱AB.

BC、BBi、CZ)的中点，联结AiS,BiD.空间任意两点M、N,若线段MN上不存在点在线

段4S、BID上,则称MN两点可视，则下列选项中与点。I可视的为()

A.点PB.点8C.点RD.点。

【分析】线段MN上不存在点在线段4S、BiD±,即直线WN与线段4S、8。不相交，

因此所求与。可视的点，即求哪条线段不与线段4S、8。相交，再利用共面定理，异

面直线的判定定理即可判断.

【解答】解：线段MN上不存在点在线段45、BiDl.,即直线MN与线段AiS、Bln不

相交，

因此所求与。可视的点，即求哪条线段不与线段45、以。相交，

对A选项，如图，连接4P、PS、DiS,因为尸、S分别为A8、CD的中点，

，易证Ai。〃7S,故4、。、P、S四点共面，,O4与AIS相交，.∙.4错误;

对8、C选项，如图，连接。|B、DB,易证功、Bi、B、。四点共面,

故£>1B、DlR都与BIZ）相交，；.&C错误;

对。选项，连接。I。，由A选项分析知4、DHP、S四点共面记为平面AIQlPS,

,.•£＞16平面4。1尸5,QC平面4O∣PS,且ASu平面AlCIPS,点。摩A∣S,

∙'∙D]Q与AlS为异面直线,

同理由8,C选项的分析知。、Bi、B、。四点共面记为平面O∣8∣8∕）,

：Oie平面QIBlBDQ任平面Z）IBlBQ,且BIQU平面。IBlBC,点。摩BiZX

.∙.O1。与BIo为异面直线，

故。IQ与A∣S,8i£＞都没有公共点，.∙.D选项正确.

【点评】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题.

c.71217l.IT7V/..O\

S=SlOFSl∏------F∙÷Sl∏1M∈/V）rc∙

16、（2012•上海・高考真题）若777',则在＞∙X

中，正数的个数是（）

A.16B.72C.86D.100

【答案】C

【详解】令]=α,则岸=",当IWnWl4时，画出角序列“a终边如图,

其终边两两关于X轴对称，故有…均为正数，

而Sl==Sr=°,由周期性可知，当14k-13wnwi4k时，Sn>O,

而==°,其中k=i,2,∙∙∙,7,所以在….S>中有W个为0,其余

都是正数，即正数共有Ioo-14=86个，故选C.

三、解答题（本大题共5小题，满分76分）

17、（2017•上海统考高考真题）如图，直三棱柱ABC-A"C的底面为直角三角形，两直

角边AB和AC的长分别为4和2,根IJ棱AA的长为5.

（1）求三棱柱ABC-ABC的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A"与平面ABC所成角的大小.

【答案】(1)20;(2)arctan√5

【分析】（1）三棱柱ABe-ABG的体积y=SΛΛBcx44xACxAA,由此能求出结果；

(2)连结AM,NΛ1M4是直线AM与平面ABC所成角，由此能求出直线AM与平面ABC所

成角的大小.

【详解】解：(1)：直三棱柱ABC-A/阴。的底面为直角三角形，

两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.

三棱柱ABC-A1B1C1的体积：

V=S∆ABC×AA∣

=；XABXACXAA

=ɪ×4×2×5=20.

2

(2)连结AM,

,/直三棱柱ABC-4/B/G的底面为直角三角形，

两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AΛ∕的长为5,M是BC中点,

ΛΛ4∕IJSffilABC,AM=IBC=LJI6+4=石,

22

ZA∣MA是直线A与平面ABC所成角，

tanZA/Λ∕A=-γ⅛-=-7==>/5,

AM√5

二直线A∣ML3平面48C所成角的大小为arctan√5.

【点睛】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化

归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.

/(X)=Cos2x-sin2%+—,x∈(0,Λ-)

18、(2017•上海•统考高考真题)已知函数.2

(1)求/S)的单调递增区间；

(2)设ABC为锐角三角形，角A所对边〃=如，角B所对边6=5,若/(A)=O,求ABC

的面积∙

【答案】⑴学修⑵-

g204

【分析】(1)利用降次公式化简/(x),然后利用三角函数单调区间的求法，求得/(χ)的单

调递增区间.

(2)由F(A)=O求得A,用余弦定理求得c,由此求得三角形ABC的面积.

【详解】⑴依题意/(x)=Cc)S2χ-siι√x+g=cos2x+J(x?(0,兀))，由2E-π≤2x42E

得Aπ-E≤x≤E,令A=I得W≤x≤a所以，(X)的单调递增区间空,后

22g20

(2)由于。<乩所以A为锐角，即0<A<],0<2A<兀.由/(A)=0,得

cos2A÷ɪ=O,cos2A=-ɪ,所以2A=∙^∙,A=],

222

由余弦定理得"=b+c-Ibc-CQsA,c-5c+6=0,解得。=2或c=3.

当c=2时，CoSB='+ci=_®<o,则8为钝角，与已知三角形ABC为锐角三角形

2ac38

矛盾.所以c=3.

所以三角形ABC的面积为LCSinA='x5x3x3.

2224

【点睛】本小题主要考查二倍角公式,考查三角函数单调性的求法,考查余弦定理解三角形，

考查三角形的面积公式，属于基础题.

19、(2022年上海高考真题)如图，在同一平面上，AD=BC=G,4B=20,。为AB中点，

曲线CO上任一点到。距离相等，角ND4B=NABC=120°,P,Q关于OM对称，MOA.

AB-,

(1)若点P与点C重合，求/POB的大小；

(2)P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值.

【分析】⑴在408C中，直接利用余弦定理求出OP,再结合正弦定理求解:

(2)利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，

充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题.

【解答】解：(1)点P与点C重合，由题意可得。5=10,BC=6,ZABC=120°,

由余弦定理可得OP1=OB1+BC1-20B∙BCcosZΛBC=36+100-2×6×10×(-2)=196,

所以OP=I4,在AOBP中，由正弦定理得一生

sinl20SinZPOB

,解得sin∕P08='应,

所以•

√3SinZPOB14

2

所以NPoB的大小为aresinɜʧɜ.;

14

(2)如图，连结QA,PB,OQ,OP,

,/曲线CMD上任意一点到O距离相等，

OP=OQ=OM=OC=14,

■：P,。关于OM对称，

.∙∙P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，SAQf)M=S4PθM=a,

Tr

则NAOo=N30P=S480尸=2-α，

则五边形面积S=2(SZX4OQ+SAQOM)

1兀1

=2[q∙0Q∙0A∙sin(-ɪ-ɑ)+5∙OQ∙OM∙si∏αl

=196sinα+140cosα

=2δVT4sin(a+φ),其中tanφ=申，

当Sin(a+φ)=I时，S五边形例QABP取最大值28Λ∕7^,

，五边形MQABP面积S的最大值为28√74.

D

OB

【点评】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，

同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题.

20、(2014・上海・高考真题)在平面直角坐标系‘0】中，对于直线'："+b'+c=°和点

,

P.Λ∙3:).£(x”J：).记〃=(时+byt+c×ax2+by2+¢).若r;则称点尸尸被直线,分

隔.若曲线C与直线；没有公共点，且曲线C上存在点尸'尸被直线'分隔，则称直线，'为曲

线C的一条分隔线.

⑴求证：点：*(；为K；烟被直线x+JT=°分隔；

⑵若直线；=U:是曲线--4J-二1的分隔线，求实数上的取值范围；

⑶动点M到点。(0.2)的距离与到.，轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程，

并证明「轴为曲线E的分割线.

【答案】⑴证明见解析；⑵⅛≡(^,-i]u[i+∞);(3)证明见解析.

【详解】⑴由题得，"=2∙(-2)<0,，A(l,2),8(-1,0)被直线x+y-1=0分隔.

(2)由题得，直线丫="与曲线一一”2=1无交点

即｛『=I=(1一软2比2-1=0无解

y=kx

.∙.I%?=。或｛ɪJζθʌ^e(-ɑɔ,-ɪ]u[ɪ+∞).

Δ=4(l-4⅛*∙)<022

又对任意的女€(T»,-jug,+8),点(LO)和(—1,0)在曲线χ2-2y2=I上,满足T7=-二<0

被直线y=d分隔，所以所求人的范围是S,T吗4w).

2

(3)由题得，设M(My),「•y∣x+(y-2)2∙W=L

化简得，点"的轨迹方程为，+(y-2)2]∙χ2=ι

1当过原点的直线斜率存在时，设方程为y=依.

联立方程｛k+(>-2)〕X-=1=(火2+以4_4房+以2_[=0

y=kx

⅜F(x)=(⅛2+l)x4-4fcr3+4x2-l,因为F(0)F(2)=(-1)-[16(⅛-1)2+15]<0,

所以方程尸(X)=O有实解，直线y=丘与曲线E有交点.直线y="不是曲线E的分隔线.

2当过原点的直线斜率不存在时，其方程为x=0.

显然X=O与曲线[一+(尸2)2卜父=1没有交点又曲线E上的两点(T,2),(1,2)对于直线

x=0满足7=T∙l<0,即点(T,2),(l,2)被直线χ=0分隔.所以直线x=0是E分隔线.

综上所述，仅存在一条直线X=O是E的分割线.

21、(2016.上海.统考高考真题)若无穷数列满足只要册=%(PMeN),必有

则称他"｝具有性质P.

(1)若｛α∕具有性质P,且％=IM2=2,%=3,%=2,a6+07+αg=21,求%；

(2)若无穷数列｛〃,｝是等差数列，无穷数列｛%｝是公比为正数的等比数列，⅛1=c5=l,

⅛=ς=81,α,=d+c“判断｛4｝是否具有性质p,并说明理由；

⑶设的｝是无穷数列，已知。的=d+sin/SwN*).求证：”对任意q,｛4,,｝都具有性质P”

的充要条件为“UU是常数列”.

【答案】(1)4=16.(2)｛4｝不具有性质P