河南省焦作市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（含答案解析）

焦作市普通高中2023—2024学年（上）高二期末考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求解.【详解】由抛物线得：焦点在x轴上，开口向右，p=2，所以其准线方程为，故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.2.已知随机变量，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】根据正态分布曲线的对称性，可得.故选：B.3.已知直线与垂直，则（）A.0 B.0或 C. D.0或【答案】B【解析】【分析】根据两直线垂直的条件，列出等式，即可求出结果.【详解】因为，则有，解得或，故选：B.4.今年冬天，“北上滑雪”成为热门的度假方式，某滑雪场通过调查了解到有的游客是第一次滑雪，其他游客以前滑过雪，则从所有游客中任选四人，其中恰有两人是第一次滑雪的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得四人中恰有两人是第一次滑雪的概率为，计算即可得解.【详解】四人中恰有两人是第一次滑雪的概率为.故选：C.5.把2个相同的红球､1个黄球､1个蓝球放到三个盒子里，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为（）A.18 B.20 C.21 D.24【答案】C【解析】【分析】先把4个球分成3堆，得到其分法，再把球放入3个盒子里，即可得到总放法.【详解】先把4个球分成3堆，分法有4种：(红红，黄，蓝)､(红黄，红，蓝)､(红蓝，红，黄)､(红，红，蓝黄).前3种分法，把3堆球放入3个盒子中，各有种放法，最后一种分法，把3堆球放入3个盒子中，有3种放法，所以共有种放法.故选：C6.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出，计算即可.【详解】底面为菱形，，,为棱的中点,，解得.故选:A.7.小明利用课余时间参与科学探究活动——观察蒜苗的生长，下表记录了大蒜发芽后第4天至第8天的蒜苗高度，若用最小二乘法算得蒜苗高度与时间天的线性回归方程为，则根据回归方程预测，从第（）天开始蒜苗高度大于.时间天45678蒜苗高度12.44.65.66.4A.15 B.16 C.17 D.18【答案】D【解析】【分析】由表中数据可得样本中心点，代入回归方程求出，确定回归方程，计算得解.【详解】由表中数据得，代入方程，解得，则回归方程为，令，解得，因为，所以.故选：D.8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（）注：表示面积.A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】结合椭圆性质以及光学性质得，再结合即可得解.【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，则.故，解得.又，所以，所以.故选：C.【点睛】关键点睛：关键是充分结合光学性质以及椭圆定义，将线段长度都用来表示，由此即可顺利得解.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若的展开式中各项的二项式系数之和为128，则（）A. B.项的系数为C.各项系数之和为 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据二项式系数之和的性质即可求出，即可判断A；根据二项式定理即可判断B；令，即可判断C；根据根据二项式系数的性质即可判断D.【详解】因为的展开式中各项的二项式系数之和为128，所有，解得，故A正确；展开式中项为，故B错误；令，则展开式中的各项系数之和为，故C正确；因为，所以最大，故D正确.故选：ACD.10.已知曲线，则（）A.当时，曲线是椭圆B.当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线C.存在实数，使得过点D.当时，直线总与曲线相交【答案】ABC【解析】【分析】A：根据的正负以及大小关系判断；B：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程；C：代入于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D：考虑时的情况.【详解】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确；当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确；令，整理得且，此方程有解，故C正确；当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误.故选：ABC.11.已知圆和圆，则（）A.圆与轴相切B.两圆公共弦所在直线的方程为C.有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线D.两圆的公切线段长为【答案】ACD【解析】【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.对于A，显然圆与轴相切，故A正确；对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误；对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；对于，因为，所以公切线段长为，故D正确.故选：ACD12.已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（）A.B.点到直线的距离为C.存在点，使得平面D.动点在一条抛物线上运动【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，选项A，利用向量法来证明线线垂直，通过计算得到，即可判断出选项A的正误；选项B，先计算出在方向上的投影向量的模为，再利用点到线的距离的向量法即可得出结果，从而判断出选项的正误；选项C，先求出平面的一个法向量为和，再判断是否存在使，即可判断出选项的正误；选项D，根据条件得出点到直线的距离即点到点的距离，再利用抛物线的定义即可求出结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.对于选项A，易知，设，所以，又，得到，所以，故选项A正确；对于选项，因为，所以，又，则在方向上的投影向量的模为，又，所以点到直线的距离为，故选项B错误；对于选项C，设平面的一个法向量为，由选项A知，，，由，得到，取，所以平面的一个法向量为，由，得到，所以不存在点，使得平面，故选项C错误；对于选项D，因为平面平面，所以，所以点到直线的距离即点到点的距离，又点到直线与直线的距离相等，即点到点的距离等于点到直线的距离，又面，面，由抛物线定义知，点轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分，故选项正确，故选：AD.【点睛】关键点晴：本题的关键在于建立空间直角坐标系，利用向量法来解决线线垂直、点线距离和线面平行，对于选项D，将点线距离转化点到点的距离，再利用抛物线的定义来解决.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为正整数，且，则__________.【答案】5【解析】【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.【详解】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得.故答案为：.14.在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线的方向向量，若所成角的余弦值为，则__________.【答案】【解析】【分析】由向量夹角的余弦公式即可运算求解.【详解】设所成的角为.由题意知，解得.故答案：.15.已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为__________.【答案】##【解析】【分析】根据条件得出，在中，根据条件，得到，再根据双曲线的定义得出，即可建立等式，从而求出结果.【详解】设双曲线的半焦距为，则，因为，所以，在中，，所以为等边三角形，所以，根据双曲线定义可得，在中，由勾股定理可得，整理得，所以，解得，所以的离心率为.故答案为：.16.有甲､乙两个鱼缸，甲鱼缸中有条金鱼和条锦鲤，乙鱼缸中有4条金鱼和3条锦鲤，先从甲鱼缸中随机捞出一条鱼放入乙鱼缸，再从乙鱼缸中随机捞出一条鱼，若从乙鱼缸中捞出的是金鱼的概率为，则的最小值为__________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，利用全概率公式，列出方程求得，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由全概率公式可得，整理得，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.近年来，直播带货逐渐兴起，成为乡村振兴新动力，为了解甲､乙两个推销农产品的直播间的销售情况，统计了两个直播间一段时间内观众下单的相关数据，得到如下的表格：下单观众数未下单的观众数甲直播间12080乙直播间6080（1）分别估计甲､乙直播间的观众下单的概率；（2）是否有的把握认为两个直播间观众的下单意愿有差异？附.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】17.甲乙直播间观众下单概率分别为，；18.有的把握认为两个直播间观众的下单意愿有差异.【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可得到结论.【小问1详解】解：根据表格中的数据得，估计甲直播间观众下单的概率为，估计乙直播间观众下单的概率为.【小问2详解】解：根据题意，得到的列联表：下单的观众数未下单的观众数合计甲直播间12080200乙直播间6080140合计180160340可得，因为，所以有把握认为两个直播间观众的下单意愿有差异.18.如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，证明即可.（2）由题意先证明平面，即是平面的一个法向量.结合线面角的正弦公式即可得解.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又，由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系.又，为棱的中点，易知.所以，所以，所以.【小问2详解】因为平面，平面，所以.由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一个法向量.又因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且.（1）求的值；（2）过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）作出图形后利用勾股定理求解即可.（2）利用等面积法求解即可.【小问1详解】由题意可知圆的圆心为，半径.因为，所以，从而，即，两边平方整理得，又因为，所以.【小问2详解】由（1）知圆，点在圆上，又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心，显然直线的斜率不为0，设其方程为，点到直线的距离为.根据三角形的面积公式可得.所以，解得，所以直线的方程为或.20.某商场为了促销组织抽奖活动，规则如下：有两个盒子，每个盒子中均有5张卡片，其中盒的卡片中有1张是中奖卡，盒的卡片中有3张是中奖卡，抽奖时，顾客先随机选一个盒子，再从这个盒子中任意抽取3张卡片.（1）甲参加抽奖，若已知甲选到了盒，记他抽到中奖卡的张数为，求的分布列及期望；（2）乙参加抽奖，若已知乙只抽到1张中奖卡，求乙选到了盒的概率.【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到随机变量的所有可能取值为，结合超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解；（2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意得，随机变量的所有可能取值为，可得，所以的分布列为123所以期望为.【小问2详解】解：记“乙只抽到1张中奖卡”，“乙选到了A盒”，可得，则所求的概率为.21.如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为.（1）求三棱柱的高；（2）若平面平面为锐角，求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合锥体的体积公式，列出方程，即可求解；（2）过点作于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：设三棱柱的高为，因为，所以，又因为三棱锥的体积为，可得，解得，即三棱柱的高为.【小问2详解】解：过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）知，又因为为锐角，所以，在中，，所以.以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设平面