陕西省西安市2024届高三第一次质量检测文科数学试题（教师版）

西安市高三年级第一次质量检测文科数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式以及对数复合函数的定义域化简集合，即可由集合的交并补运算求解.【详解】由得，所以或，由得，故，故选：C2.已知为虚数单位，且，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的代数形式的除法运算求出，从而得到的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面所对应的点所在象限.【详解】，则，所以对应点的坐标为在第三象限，故选：C．3.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】先作出可行域，即可求出最优解代入目标函数即可.【详解】作出不等式组所表示的平面区域．由得：，平移直线，当经过点时，z取得最大值，即．故选：B4.若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“”和“向量的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】向量，由向量的夹角为钝角，即有，解得且，即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”；“向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”；故“”是“且”的必要不充分条件，即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B．5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的1“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过多少天?（参考数据：，）（）A.19 B.35 C.45 D.55【答案】B【解析】【分析】确定得到，计算得到答案.【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，即，，.故选：B.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A. B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】首先把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出几何体各个面的面积即可得出答案.【详解】如图，在棱长为4的正方体中，C为棱的中点，三棱锥A-BCD即为该几何体．其中为直角三角形，，BD=4，AB⊥BD，所以其面积为；为等腰三角形，BC=CD，BD=4，点C到边BD的距离为4，所以其面积为；为等腰三角形，，，所以点C到边AB的距离为，所以其面积为；为等腰三角形，，，所以点C到边AD的距离为，所以其面积为．综上，该几何体各个面中面积最大的面为，其面积为．故选：A．7.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果.【详解】因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D8.若，则（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数关系、二倍角公式先化简已知式子，再利用两角和差的正弦公式进行运算即可得答案.【详解】因，所以，即，则所以则，即.故选：B.9.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且（其中为的前项和），则（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由是奇函数且满足可知为周期函数，再由求出的通项公式，利用函数周期性进行求解.【详解】∵，可得，即又∵是奇函数，∴∴即∴将代入上式，有∴是周期为3的周期函数.又∵，∴，①当时，有②①②，得，即（）∴（）∴（）∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴，，∴∵定义在R上的奇函数是周期为3的周期函数，∴∴.故选：A.10.在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，则圆的方程，设，由，可得，整理得，则圆与圆有公共点，则，即，解之得.故选：D11.如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，AD中点，将沿直线AE翻折成与B、F不重合，连结，H为中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中不正确的是（）A.CH的长是定值B.在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为C.当时，三棱锥的体积为D.点H到面的最大距离为【答案】B【解析】【分析】对于A，取的中点G，由四边形是平行四边形，可得，进而求出CH；对于B，取AE的中点O，由外接球的性质可知，点O即为三棱锥外接球的球心，进而求出外接球的表面积；对于C，由即可求出结果；对于D，点D到面的距离为h，则点H到面的距离为，由得，当平面平面ABE时，三棱锥的体积最大，进而求出结果.【详解】取的中点G，连接GH，GE，则，且，又，且，所以，且，是平行四边形，，而，故A正确；对于B，取AE的中点O，连接，所以，即点O为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；对于C，连接，连接，，即，所以，即分别为的中点，，．又M为DE的中点，，，又平面，又，又平面CFH，，故C正确；对于D，令点D到面的距离为h，因为H为中点，所以点H到面的距离为．因为，因为三棱锥的底面积是定值，所以当平面平面ABE时，三棱锥的体积最大，取AE的中点O，连接，则平面ABE，所以，即，解得，所以点H到面的最大距离为，故D正确．故选：B．12.关于函数，下列选项正确的是（）A.为奇函数B.在区间上单调递减C.的最小值为2D.在区间上有两个零点【答案】D【解析】【分析】由正弦函数的性质和函数奇偶性的定义验证选项A；利用导数判断函数在区间内的单调性判断选项B；特殊值法检验选项C；分段讨论去绝对值求零点判断选项D.【详解】由得，的定义域为，关于原点对称，由，则为偶函数，故A不正确；当时，，，因为，所以，，，所以，所以在区间上单调递增，故B不正确；因为，故C不正确；当时，，，此时无零点；当时，函数无意义；当时，，，此时无零点；当时，函数无意义；当时，，，令，得，得，得；当时，函数无意义；当时，，，此时无零点；当时，函数无意义；当时，，，令，得，得，得，综上所述：在区间上有两个零点和，故D正确．故选：D．【点睛】方法点睛：求函数在区间内的零点个数，由函数解析式中含绝对值，根据角的正负和角所在的象限，分类讨论，去掉绝对值，通过求值域最值或解方程，判断零点是否存在.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某高三年级一共有800人，要从中随机抽取50人参加社团比赛，按系统抽样的方法进行等距抽取.将全体学生进行编号分别为，并按编号分成50组，若第3组抽取的编号为36，则第16组抽取的编号为___________.【答案】244【解析】【分析】根据系统抽样编号成等差数列求解即可【详解】800人一共分成50组,每组16人,所以组距为16,系统抽样可以看成是一个组距为16的等差数列,由第三组,得.故答案为：24414.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为______【答案】【解析】【分析】讨论函数的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小值的关系即可作答.【详解】由得：，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得，且，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：15.若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和________．【答案】##【解析】【分析】累加法求出数列，再求出，然后用裂项相消法求出【详解】由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以．所以．所以．所以．故，所以数列的前n项和．故答案为：16.已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为______．【答案】【解析】【分析】求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解.【详解】圆，圆心，半径，因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，所以，又椭圆，则，，右焦点为，所以，又，即，所以，即，所以的最大值为，最小值为.则的最大值与最小值之和为.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：x12345y1.523.5815（1）求变量和的样本相关系数（精确到0.01），并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱．）（2）求年销售量关于年投资额的回归方程．并预测投资额为700万元时的销售量．（参考：）参考：【答案】（1），变量x和y的线性相关程度很强；（2）千件．【解析】【分析】（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；（2）根据公式即可求出与的值，即可得出回归方程，令代入计算即可.【小问1详解】由题意，，，，，，变量x和y的线性相关程度很强；【小问2详解】，年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为．当时，，所以研发的年投资额为万元时，产品的年销售量约为千件．18.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用余弦定理结合勾股定理可证得，证明平面，可得出，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析得出三棱锥的高为，计算出、的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.【详解】（1）证明：设.四边形是菱形，为棱的中点，，.在中，，由余弦定理得，解得.，，即.，，且，平面.平面，.，，且，平面.平面，平面平面；（2）由和（1）知，平面，是点到平面的距离.平面，，则是以为斜边的直角三角形，，，点为棱的中点，，的面积，的面积.设点到平面的距离为，则.，解得.点到平面的距离为.【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.19.在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，内角，，的对边分别为，，，且满足条件______（填写所选条件的序号）．（1）求角；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值．【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角，化简整理得即可求解；选②：利用正弦定理角化边，再用余弦定理即可得解；选③：利用正弦定理边化角，再利用差角余弦公式变形即可得解；（2）利用三角形面积定理求出ab，再用余弦定理建立关系，借助基本不等式即可求解.【详解】选①：，，，，，；选②：，，，，，，；选③：，，，，，；（2），又，，在三角形中，，当且仅当时取等号，的最小值为20.已知，为双曲线C的焦点，点在C上．（1）求C的方程；（2）点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由.【答案】（1）（2）存在T（1，－2）使|QT|为定值【解析】【分析】（1）根据题意可得，解之即可求解；（2）设直线AB的方程，，联立双曲线方程，利用韦达定理表示；由直线的点斜式方程可得PA方程，得，同理得N（0,），根据平面向量线性运算的坐标表示，化简计算可得，分类讨论与的情况，即可求解.【小问1详解】设双曲线C的方程为，，由题意知，解得，∴双曲线C的方程为；【小问2详解】设直线AB的方程为，，，，消去y，得，则，，，∴直线PA方程为，令，则，同理N（0,），由，可得，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即，当时，，此时直线AB方程为，恒过定点，显然不可能；∴，此时直线AB方程为，恒过定点，∵，∴，取PE中点T，∴，∴为定值，∴存在点使|QT|为定值.21.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若的最小值为1，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过运算得即可得解.（2）对分类讨论，首先得满足题意，进一步分、以及分类讨论即可求解.【小问1详解】，所以曲线在点处的切线方程，即．【小问2详解】，令，则，令，则，当时，，则，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递增，且，所以，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以．所以成立，当时，当时，在上单调递减，，在上单调递减，因为，所以在上单调递减，此时，舍去．当时，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，舍去；当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，，舍去，综上，．【点睛】关键点睛：第二问的关键是找到适当的临界值对分类讨论，结合导数与函数最值、单调性等关系即可顺利求解.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若点在直线上且，射线与曲线相交于异于点的