新版高中数学人教A版选修2-1习题第三章空间向量与立体几何3.2.3

第3课时用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120° B.60° C.30° D.以上均错解析:∵l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l与平面α所成的角为90°60°=30°.答案:C2设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于()A.45° B.30° C.90° D.60°解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),∴AC=(1,1,0),BF=(0,1,1).∴AC·BF=设异面直线AC与BF所成的角为θ,∴cosθ=|cos<AC,BF>|=又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.答案:D3若a=(λ,1,2)与b=(2,1,2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为()A.λ<52B.λ<52,且λ≠C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥5解析:由已知,得a·b=2λ+(1)4<0,即λ<52而|a|=5+λ2,|b|=3,又<a,b>∴2λ-535+λ2答案:B4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB与平面α所成角为()A.π6 B.πC.23π D.5解析:设AB与平面α所成角为θ,由题意知cosθ=12,则AB与平面α所成角为π答案:B5若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(2,3,3),则l与α所成角的余弦值为()A.1111 B.11C.11011 D.解析:cos<a,n>=(-2,-3故l与α所成角的余弦值为1-答案:D6在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角ABD1B1的大小为.

解析:如图,以点C为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a,则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),∴BA=(0,a,0),BD1=(a,a,a),BB1=设平面ABD1的法向量为n=(x,y,z),则n·BA=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·BD1=(x,y,z)·(a,a,a)=ax+ay+az=∵a≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n=(1,0,1),同理,求得平面B1BD1的法向量m=(1,1,0),∴cos<n,m>=n·m|n||m|=12而二面角ABD1B1为钝角,故为120°.答案:120°7在正四棱锥PABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为.

解析:建立坐标系如图,则B(1,1,0),D(1,1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),∴DB=(2,2,0),PE=(0,1,1).∴cos<DB,PE>=∴<DB,PE>=π3.∴PE与DB答案:π8在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.

答案:99如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60°,试确定此时动点E的位置.解:以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.设E(1,t,0)(0≤t≤2),则A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),D1A=(1,0,1),CE=(1,根据数量积的定义及已知得:1+0×(t2)+0=2×1+(t-2所以t=1.所以点E的位置是AB的中点.10如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值解:以{AB,AD,AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D因为AD⊥平面PAB,所以AD是平面PAB的一个法向量,AD=(0,2,0).因为PC=(1,1,2),PD=(0,2,2).设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则m·PC=0,m·PD=0.即x令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.从而cos<AD,m>=AD·所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为33能力提升1已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.23 B.23 C.53解析:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),E12∴AD1=(1,0,1),设平面AEFD1的法向量为n=(x,y,z),则n·AD1=0取y=1,则n=(2,1,2),而平面ABCD的一个法向量为u=(0,0,1),∴cos<n,u>=23,∴sin<n,u>=5答案:C2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.32 B.1010 C.35解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),M1,12,1,∴AM=∴AM·CN=12,|AM∴cos<AM,CN>=答案:D3在正方体ABCDA1B1C1D1中,EF⊥AC,EF⊥A1D,则EF与BD1所成的角是()A.90° B.60° C.30° D.0°解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a,则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),∴DA1=(a,0,a),AC=(a,a,0),BD1=(a,a∵EF⊥AC,EF⊥A1D,设EF=(x,y,z),∴EF·DA1=(x,y,z)·(a,0,EF·AC=(x,y,z)·(a,a,0)=ax+ay=∵a≠0,∴x=y=z(x≠0).∴EF=(x,x,x).∴BD1=∴BD1∥EF,即BD故EF与BD1所成的角是0°.答案:D4二面角αlβ内有一点P,若点P到平面α,β的距离分别是5,8,且点P在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是()A.30° B.60° C.120° D.150°解析:如图,PA⊥α,PB⊥β,∠ADB为二面角αlβ的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7,由余弦定理,可得cos∠APB=52则∠APB=60°,故∠ADB=120°.答案:C5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),若平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=.

答案:126在长方体ABCDA1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为.

解析:建立如图的空间直角坐标系,可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°.设B1C1=1,则CC1=3=DD1.∴C1D1=3,则有B1(3,0,0),C(3,1,3),C1(3,1,0),D(0,1,3).∴B1C=(0,1,3),C1D=(3∴cos<B1C,答案:67如图,在三棱锥PABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=π2,则PA与底面ABC所成角的大小为.

解析:如图所示,∵PA=PB=PC,∴P在底面上的射影O是△ABC的外心.又∠BAC=π2∴O在BC上且为BC的中点.∴AO为PA在底面上的射影,∠PAO即为所求的角.在△PAO中,PO=32PB=32∴sin∠PAO=POPA∴∠PAO=π3答案:π8在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是.

解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0).BC1=(1,0,1),A1D=(1,0,1),BD=设平面A1BD的一个法向量为n=(1,x,y),设BC1与平面A1BD所成的角为θ,n⊥A1D,n⊥所以n·A1D=0,n·BD所以-所以n=(1,1,1),则cos<BC1,n>=BC所以sinθ=63所以cosθ=1-答案:39如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1A1CC1的大小.解:如图建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2).设AC的中点为M,连接BM.∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面AA1C1C,即BM=(1,1,0)是平面AA1C1C的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y,z).A1C=(2,2,2),A1∴n·A1B1=2x=0,n·A1C=2x+2y2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.设法向量n与BM的夹角为φ,二面角B1A1CC1为θ,显然θ为锐角.∴cosθ=|cosφ|=|n解得θ=π3.∴二面角B1A1CC1的大小为π★10四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=AB=AA1=2BC,E为DD1的中点,F为A1D的中点.(1)求证:EF∥平面A1BC;(2)求直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值.(1)证明∵E,F分别是DD1,DA1的中点,∴EF∥A1D1.又A1D1∥B1C1∥BC,∴EF∥BC,且EF⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,∴EF∥平面A1BC.(2)解:由题意可知AB,AD,AA1两两垂直,以AB所在直线为x轴,以