第07讲复数的三角表示（2个知识点方法练创新练成果练）

第07讲复数的三角表示（2个知识点+方法练+创新练+成果练）【目录】【新知讲解】知识点1.复数的三角表示式知识点2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义【方法练】【创新练】【成果练】【知识导图】【新知讲解】知识点1.复数的三角表示式(1)复数的三角表示式如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.(2)辐角的主值显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.(3)三角形式下的复数相等每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.例1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由.(1)；(2)．【答案】(1)不是，理由见解析；(2)不是，理由见解析；【分析】根据复数的三角形式即可判断.【详解】（1）括号内两项中间不是加号，故不是复数的三角形式，其三角形式为.（2）不满足复数的模大于等于0，故不是复数的三角形式，其三角形式为.例2．（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：(1)6；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，画向量见解析(2)，画向量见解析(3)，画向量见解析(4)，画向量见解析【分析】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解.【详解】（1）6对应的向量如答图中，，又，.（2）对应的向量如答图中，，又，.（3）对应的向量如答图中，又，.（4）对应的向量如答图中，，又，.例3．（2023·全国·高一随堂练习）把下列复数表示成代数形式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】由诱导公式及特殊角的三角函数化简即可.【详解】（1）；（2）.例4．（2023·全国·高一随堂练习）将复数对应的向量旋转，求所得向量对应的复数．【答案】【分析】利用欧拉公式表达出原复数，利用旋转即可得出旋转后所得向量对应的复数.【详解】由题意，旋转后，变为，∴旋转后所得向量对应的复数为.知识点2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义(1)复数乘法运算的三角表示根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，即(+i)(+i)=[(+)+i(+)].这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.(2)几何意义两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.2．复数除法运算的三角表示及其几何意义(1)复数除法运算的三角表示设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[()+i()]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[()+i()].这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.(2)几何意义如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.例一、多选题1．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考开学考试）已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（

）A．B．若，则C．若，则与的夹角为D．若，则为正三角形【答案】ABD【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式计算即可判断A；根据复数的除法运算即可判断B；根据向量的数量积的运算律求出与的夹角的余弦值即可判断C；结合C选项即可判断D.【详解】因为，，，所以，则，对于A，，故，，所以，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，设与的夹角为，若，则，即，即，所以，所以，即与的夹角为，故C错误；对于D，若，则，则，即，由C选项可知与的夹角为，同理与的夹角为，与的夹角为，又，所以，故D正确.故选：ABD.例二、解答题2．（2021下·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）设复数，(1)写出的三角形式；(2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据公式，即可直接得出答案；（2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，，所以，.（2）由已知可设，则.所以，.由已知可得，所以，所以，.又，所以.所以，.3．（2023·全国·高一课堂例题）解方程，并将其所有的根用复平面上的点表示，观察以这些点为顶点的多边形是什么性状．【答案】答案见解析.【分析】应用复数的三角表示及几何意义即可得解.【详解】在复平面C上，用向量来表示复数。于是，该向量可以分成两个在实轴、虚轴上的分向量。如果向量与实轴正方向的夹角为，那么这两个分向量分别等于（其中）。所以，复数可表示为，设，，则且且．由于正弦、余弦函数的周期均是，为避免复数根重复，只在范围内取值，于是取0，1，2三个值，得三个不同的根1，，．在复平面上画出表示这三个根的点，，，如图所示．观察发现，以这三点为顶点的是以原点为圆心的单位圆的内接正三角形，三个顶点等分圆周．4．（2023·全国·高一课堂例题）根据乘任意复数z的几何意义计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据乘任意复数z的几何意义求解即可.（2）根据乘任意复数z的几何意义求解即可.【详解】（1）设，则用乘任意复数，其几何意义是将对应的向量旋转45°，于是，用乘的几何意义是将对应的向量连续旋转两个45°，也就是将对应的向量旋转90°，又由虚数单位乘任意复数的几何意义可知，，即．（2）设，则用乘任意复数，其几何意义是将对应的向量旋转120°，同理可得，用乘任意复数就是将对应的向量连续旋转三个120°，其结果就是将对应的向量旋转360°后回到原处，因而．【方法练】一、单选题1．（2022·高一课前预习）若，则（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】根据复数乘方的三角运算得到的三角形式，即可确定辐角.【详解】由，所以60°.故选：B2．（2020·高一课时练习）复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据复数的三角形式求解即可.【详解】i的立方根为（其中）当时,得；当时,得；当时,得,故选：D【点睛】本题主要考查了复数的三角形式的应用,属于中档题.二、多选题3．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【分析】若，则，，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.【详解】对于A：若，则，故，所以A正确；对于B：若，则，所以B正确；对于C：设，则，故，所以C正确；对于D：如下图所示，若，，则，，故，所以D错误.故选：ABC4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】BCD【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.【详解】A.若，则，所以该选项正确；B.若，则，所以该选项错误；C.若，，则，所以该选项错误；D.，，则.所以该选项错误.故选：BCD.三、填空题5．（2021下·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为(结果用复数的代数形式表示).【答案】【分析】把绕原点按顺时针方向旋转得到，可知与所对应的复数为，代入三角函数值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到，可得与对应的复数为，故答案为：．四、解答题6．（2020·高一课时练习）化简下列各式.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）1.【解析】根据三角函数的和差公式化简即可.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】本题考查复数的运算法则，三角函数的和差公式，属于基础题.7．（2022·高一课时练习）化简：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.【详解】（1）.（2）.8．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，试用多种解法求解．【答案】【分析】根据复数的代数形式、三角形式和自身的运算规律，可从三个方面出发求．【详解】解法一：设．由知．∴解得．故．解法二：由，设，∴．∴，即，∴，∴．即或．故．解法三：由，知，．又由，易得，即．．故．【创新练】一、单选题1．（2020·高一课时练习）________.A． B．C． D．【答案】C【解析】根据复数的基本运算求解即可.【详解】原式=.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.2．（2023下·高一单元测试）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；对于B，，故选项B正确；对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；对于D，由C的分析得，推不出，故选项D错误．故选：D．二、多选题3．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据题意，设复数，，计算可得，即可选出答案.【详解】因为单位向量分别对应复数，设复数，，因为，所以，即，所以，故选：AD.4．（2021下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由已知可得，由复数三角形式的乘方运算，即可判断各选项的正误.【详解】由，A：，正确；B：，错误；C：由B知：，正确；D：，错误；故选：AC三、填空题5．（2020·高一课时练习）计算：.【答案】【解析】先根据复数的三角形式的运算法则化简，再利用特殊角的三角函数值求值．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的三角形式及其运算，考查复数的代数形式及其运算，属于基础题．6．（2022·高一课时练习）将复数化为三角形式：．【答案】【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值，又所以.故答案为：.四、解答题7．（2021·高一课时练习）已知z1=，z2=6cos+isin，计算z1z2，并说明其几何意义.【答案】3i，几何意义见解析.【分析】利用复数三角形式的乘法运算，即可得到答案；【详解】解：.首先作复数z1对应的向量，然后将绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的6倍，得到的向量即为z1z2所对应向量.8．（2023·全国·高一课堂例题）将正实数连续四次乘得到，，，，并将这些数用复平面上的点，，，表示，观察这些点的相互位置关系，你发现了什么？【答案】向量每旋转，其所对应的复数就相应乘．【分析】根据复数模的特征，结合旋转的性质进行求解即可.【详解】由于，，，的模都等于，且它们在复平面上对应的向量，，，的模都等于，方向分别为轴正方向、轴正方向、轴负方向、轴负方向，如图所示，将依次旋转，旋转四次，则依次得到，，，．于是可发现向量每旋转，其所对应的复数就相应乘．

.【成果练】一、单选题1．（2022·高一课时练习）如果，那么复数的三角形式是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案.【详解】因为，，所以.故选：A.2．（2021下·高一课时练习）已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为，则，所以.故选：D.二、多选题3．（2023·全国·高三专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由题意可知，，求出，再求出所对应的坐标，可得辐角.【详解】由题意可知，又，则，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为，故可以作为复数的辐角的是，，当时，.故选：BD.4．（2022下·高一课时练习）（多选题）关于复数，，下列说法中正确的有（

）A．B．复数是由顺时针旋转得到的C．复数和的夹角为D．复数是由逆时针旋转，再拉伸为原来的倍得到的【答案】ACD【分析】由复数的模长公式判断A；由复数的三角形式旋转计算判断选项B和D；由复数的集合意义判断选项C．【详解】选项A，，，，A正确；选项B，复数，其中，顺时针旋转得到，B错误；选项C，复数对应的向量为，对应的向量为，，复数和的夹角为，C正确；选项D，，其中，逆时针旋转得到，再拉伸为原来的倍可得，D正确；故选：ACD三、填空题5．（2022下·高一单元测试）已知复数，，则.【答案】【分析】设出复数的三角形式，根据复数的三角形式运算即可得解.【详解】因为，可设，所以：，所，则.故答案为：16．（2023·高一课时练习）计算：．【答案】【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.【详解】，，故答案为：.7．（2021·高一课时练习）复数，则.【答案】【分析】利用复数的除法运算进行化简，再借助复数的辐角主值的求法进行求解即可.【详解】复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的辐角主值的计算，属于基础题.四、解答题8．（2023·全国·高一随堂练习）计算的5次方根．【答案】【分析】把复数化成三角形式，利用复数的开方运算法则直接求5次方根.【详解】设的5次方根为，所以，即，所以，得，所以的5次方根是5个复数，记为.9．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6).【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得.（6）把复数化成三角形式，再利用三角形式的复数运算计算即得.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.10．（2023·全国·高一随堂练习）图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．【答案】证明见解析【分析】根据题意，建立以为坐标原点的直角坐标系，分别表