中考数学几何模型专项复习 模型42 相似形-一线三等角模型-（原卷版+解析）

相似形模型（四十二）——一线三等角模型一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上◎结论1：如图∠A＝∠DBE＝∠C，则①△ADB∽△CBE；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，∠EBC＝∠ADB。同理：∠DBA＝∠BEC，∴△ADB∽△CBE∴ADCB＝改为乘积式：AD.CE＝AB.BC一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右◎结论2：如图∠A＝∠DBE＝∠C，B点是AC的中点，证明：△ABD∽△CEB∴证明：△ABD∽△CEB∴ABCE＝ADCB＝BDEB,∵AB＝BC∴ADAB＝又∵∠DAB＝∠DBE∴△DAB∽△DBE∴∠ADB＝∠BDE△ABD,△BED,△CEB均相似BD,BE为∠ADE,∠DEC角平分线③DB、EB平分∠ADE和∠DEC模型图解常见图形：一线三等角模型应用的四种情况：1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；2.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题；3.图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题；4.图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型解题。1．(2023·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．1．(2023·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=____．2．(2023·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________3(2023·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．1．(2023·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（

）A． B． C． D．2．(2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（）A． B． C． D．3．(2023·湖北襄阳·一模）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．4．(2023·山东菏泽·三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．相似形模型（四十二）——一线三等角模型一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上◎结论1：如图∠A＝∠DBE＝∠C，则①△ADB∽△CBE；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，∠EBC＝∠ADB。同理：∠DBA＝∠BEC，∴△ADB∽△CBE∴ADCB＝改为乘积式：AD.CE＝AB.BC一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右◎结论2：如图∠A＝∠DBE＝∠C，B点是AC的中点，证明：△ABD∽△CEB∴证明：△ABD∽△CEB∴ABCE＝ADCB＝BDEB,∵AB＝BC∴ADAB＝又∵∠DAB＝∠DBE∴△DAB∽△DBE∴∠ADB＝∠BDE△ABD,△BED,△CEB均相似BD,BE为∠ADE,∠DEC角平分线③DB、EB平分∠ADE和∠DEC模型图解常见图形：一线三等角模型应用的四种情况：1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；2.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题；3.图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题；4.图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型解题。1．(2023·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（

）A． B． C． D．答案:A分析由是等边三角形，＝＝＝60°，由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证，利用性质，即，解方程即可【详解】解：∵是等边三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折叠C落在AB边上的点F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意义，∴＝，故选择：A．【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．答案:B分析连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接，四边形是矩形，，，为的中点，为的中点，，，四边形是平行四边形，，矩形是中心对称图形，过矩形的中心．过点，且，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，，，，，设，则，，，解得，或4，或4，当时，，则，，四边形的周长；同理，当时，四边形的周长；故选：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．1．(2023·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=____．答案:2.4分析根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴，即，∵等边△ABC的边长为6，∴，解得：．故答案为：2.4【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．(2023·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________答案:分析根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3(2023·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．答案:【探究】3；【拓展】4或．分析探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．1．(2023·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（

）A． B． C． D．答案:D分析过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，∵，∴△BCE∽△ABO，∴，∵∴AB=，∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．(2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（）A． B． C． D．答案:C分析设，则CD=3x，，根据求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，证明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根据求得AE=4，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，再根据勾股定理求出EF=.【详解】设，则CD=3x，，由折叠得，∴CF=3x-10，∵∴100=，解得x=6或x=0（舍去），∴CD=18，CF=8，=12，∵∠C=∠D=∠,∴∠,∴△∽△,∴，∴，∴DM=9，，∴，AM=9，在Rt△中，，∴,解得EM=5，∴AE=4，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，∴FH=10-4=6，∴EF=,故选：C.【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，解题中多次用到勾股定理求出直角三角形中的边长，根据折叠的性质得到对应的边相等或角度相等是解题的关键.3．(2023·湖北襄阳·一模）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．答案:分析根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF，∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°，∴∠DFB=∠CEF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴，即，设CF=x(x>0)，∵BF=4CF，∴BF=4x，∵BD=3，∴，∵，∴，，∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，∴S△BDF=，∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，∴S四边形ADFE=