2024版高考数学全程学习复习导学案第四章导数及其应用第一节导数的概念及其意义导数的运算课件

第四章导数及其应用第一节导数的概念及其意义、导数的运算【课程标准】1.理解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能利用导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.知识梳理·思维激活

f'(x0)斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)点睛求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=___f(x)=xα(α∈Q且α≠0)f'(x)=_____f(x)=sinxf'(x)=______f(x)=cosxf'(x)=______f(x)=ax(a>0且a≠1)f'(x)=______f(x)=exf'(x)=___f(x)=logax(a>0,且a≠1)f(x)=lnx0αxα-1cosx-sinxaxlnaex

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)5.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=_______.(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=_______,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.点睛在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.f(g(x))y'u·u'x

教材改编易错易混1,2,3,45,6AD2.(教材提升)已知f(x)=x(2023+lnx),若f'(x0)=2024,则x0= (

)A.e2

B.1 C.ln2 D.eB

答案:y=(e-1)x+26.(混淆在点P处的切线和过点P的切线)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为

;b的值为

.

核心题型·分类突破答案:-2

答案:①②③

B2.某市开始全面实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大;②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大;③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢;④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.其中所有正确结论的序号是 (

)A.①②

B.②③

C.①④

D.③④B【解析】①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的增长量小于乙小区的增长量,所以甲小区的平均分出量小于乙小区,说法错误.②在[t2,t3]这段时间内,甲小区的增长量小于乙小区的增长量,所以乙小区的平均分出量大于甲小区,说法正确.③在t2时刻,乙小区的图象比甲小区的图象陡,瞬时增长率大,说法正确.④甲小区的图象大致为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,说法错误.

A

【方法提炼】(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.

A

B【解析】因为f'(x)=exsinx+excosx,所以f(x)=exsinx+k(k为常数),所以f(2023)-f(0)=e2023sin2023.2.(2022·湖南模拟)已知函数f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cosx+2,其导函数为f'(x),则(

)A.f(0)=-1 B.f'(0)=1C.f(0)=0 D.f'(0)=-1【解析】因为f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cosx+2,所以f(0)=2-f'(0).因为f'(x)=2x+f(0)+f'(0)·sinx,所以f'(0)=f(0),故f'(0)=f(0)=1.B

题型三

导数的几何意义角度1

求切线方程[典例3](1)金榜原创·易错对对碰已知曲线f(x)=x3-x,则①曲线在点(1,0)处的切线方程为

;

答案:2x-y-2=0②曲线过点(1,0)的切线方程为

.

答案:2x-y-2=0或x+4y-1=0

答案:5x-y+2=0

(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为

,

.

【方法提炼】

求曲线y=f(x)过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.

答案:(1,1)

(2)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是

.

答案:(e,1)【方法提炼】

求切点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.角度3

求参数的值(范围)[典例5](1)(2023·青岛模拟)直线y=kx+1与曲线f(x)=alnx+b相切于点P(1,2),则2a+b等于 (

)A.4 B.3 C.2 D.1A

(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)【方法提炼】

利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.提醒(1)注意曲线上横坐标的取值范围;(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.【对点训练】1.已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则点P的坐标为(

)A.(1,3) B.(-1,3)C.(1,3)或(-1,3) D.(1,-3)C2.(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 (

)A.eb<a B.ea<bC.0<a<eb D.0<b<eaD

3.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为

.

答案:x-y-1=0

C

C【思维导图·构网络】1.解题关键.(1)导数的几何意义:切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值;(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.2.求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.

答案:1类型二

求两曲线的公